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【创新设计】(山东专用)2016高考数学二轮专题复习 周周练 第四周 综合限时练 理



星期五

(综合限时练)

2016 年____月____日 解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80 分钟.) 1. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω x?cos ω x(ω >0), 且 y=f(x) 2

π 图象的一个对称中心到最近的对称轴

的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ? 解 (1)f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω x?cos ω x 2

= =

3 3 1 - (1-cos 2ω x)- sin 2ω x 2 2 2 π? 3 1 ? cos 2ω x- sin 2ω x=-sin?2ω x- ?. 3? 2 2 ?

π 2π π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 且 ω >0.所以 =4? .因此 ω 4 2ω 4 =1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 所以- π? 3 3 ? ≤sin?2x- ?≤1,则-1≤f(x)≤ , 3? 2 2 ?

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 2 ? ? 2.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底 面 ABC 成 60°的角,AA1=2,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点,E 是线段

BC1 上一点,且 BE= BC1.

1 3

1

(1)求证:GE∥侧面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值. (1)证明 连接 B1E 并延长,交 BC 于点 F,连接 AB1,AF, 1 1 ∵△B1EC1∽△FEB,BE= EC1,∴BF= BC,∴点 F 为 BC 中点. 2 2 ∵G 为△ABC 的重心,∴ =

FG FE 1 = , FA FB1 3

∴GE∥AB1,AB1? 平面 AA1B1B,GE?平面 AA1B1B, ∴GE∥侧面 AA1B1B. (2)解 侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,∠A1AB=60°,AA1=AB=2,取 AB 中点 O,则 A1O⊥平面

ABC,
以 O 为坐标原点,以射线 OC、OB、OA1 分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C( 3,0,0),

A1(0,0, 3),B1(0,2, 3),C1( 3,1, 3),G?
→ 1→ 1 ∴BE= BC1= ( 3,0, 3), 3 3 ∴E? 3? ? 3 ,1, ?, 3? ?3

? 3 ? ,0,0?. ?3 ?

3? → ? 3 2 3? → ? ∴GE=?0,1, ?,B1E=? ,-1,- ?. 3? 3 ? ? ?3 设平面 B1GE 的法向量为 n=(a,b,c),则由? 又平面 ABC 的法向量 m=(0,0,1), → ? ?n?B1E=0, → ? ?n?GE=0, ∴n=(- 3,1,- 3).

2

∴cos〈m,n〉=

3 3+1+3?1



21 , 7 21 . 7

故平面 B1GE 与底面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

3.(本小题满分 12 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5+a6=24,S11=143,数列{bn}的 前 n 项和为 Tn,满足 2an-1=λ Tn-(a1-1)(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式及数列?
? ?anan+1?
*

1 ? ?的前 n 项和;

(2)是否存在非零实数 λ ,使得数列{bn}为等比数列?并说明理由. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,

由 S11=11a6=143, ∴a6=13,又 a5+a6=24, 解得 a5=11,d=2. 因此{an}的通项公式是

an=a5+(n-5)?2=2n+1(n∈N*),
所以

? ? anan+1 2?2n+1 2n+3?


1

1? 1 =

1 ?



1 1 1 从而前 n 项的和为 + +?+ = 3?5 5?7 (2n+1)(2n+3) 1 1 ? 1?1 1 1 1 n - + - +?+ - . ? ?= 2n+1 2n+3? 6n+9 2?3 5 5 7 (2)因为 a1=3,2an-1=λ Tn-(a1-1)(n∈N ), 1 n 2 n 所以 4 =λ Tn-2? Tn= 4 + . λ λ 6 当 n=1 时,b1= ; λ 3 n-1 当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1= 4 . λ 所以 bn+1=4bn(n≥2), 若{bn}是等比数列,则有 b2=4b1, 6 12 而 b1= ,b2= , λ λ 所以 =2,与 b2=4b1 矛盾,故数列{bn}不是等比数列. 4.(本小题满分 12 分)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避风、休息的 场所,被誉为深海中的翡翠.某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了 16 名学生进行测试, 用“10 分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程度,分别以小数点前的一位数
3
*

b2 b1

字为茎,小数点后的一位数字为叶. (1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若所得分数不低于 9.5 分, 则称该学生对钓鱼岛“非常了解”, 若从这 16 人中随机选 取 3 人,求至多有 1 人“非常了解”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据, 若从该学校(人数可视为很多) 任选 3 人,记 ξ 表示抽到“非常了解”的人数,求 ξ 的分布列及数学期望. 得分 7 8 9 解 3 0 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 7 6 5 5

8.7+8.8 (1)众数:8.6;中位数: =8.75. 2

(2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人对钓鱼岛“非常了解”,至多有 1 人对钓鱼岛“非常了 C12 C4C12 121 解”记为事件 A,则 P(A)=P(A0)+P(A1)= 3 + 3 = . C16 C16 140 (3)ξ 的可能取值为 0,1,2,3.
3 1 2

P(ξ =0)=? ? = ;P(ξ =1)=C1 ; 3 ? ? = 4?4? 64 ?4? 64 P(ξ =2)=C2 = ;P(ξ =3)=? ? = . 3? ? 4 4
所以 ξ 的分布列为: ξ 0 27 64 9 64 1 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64 2 ?1? 3 9 ? ? 4 64

?3?

3 27

1?3?2

27

?1? ? ?

3

1 64

P
27 64 27 64

E(ξ )=0? +1? +2? +3? =0.75.

? 1? 另解:ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则 ξ ~B?3, ?, 4 ? ?
k 3-k ?1? ?3? P(ξ =k)=Ck , 3? ? ? ? ?4? ?4?
1 所以 E(ξ )=3? =0.75. 4 5.(本小题满分 13 分)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点 Q?1,-

x2 y2 a b

? ?

2 2? ?,且离心率 e= 2 , 2?

直线 l 与 E 相交于 M,N 两点,l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C,D 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的方程;
4

→ → → → → → (2)判断是否存在直线 l,满足 2OC=OM+OD,2OD=ON+OC?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,说明理由. + =1, ? ? a 2b (1)由已知得?c 解得 a =2,b =1, 2 = , a 2 ? ?c =a -b , 1 1
2 2 2 2 2 2 2



∴椭圆 E 的方程为 +y =1. 2 (2)假设存在直线 l:y=kx+m(k≠0)交椭圆于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,交 x 轴于 C(c, 0),交 y 轴于 D(0,d).

x2

2

→ → → → → → → → → → 由 2OC=OM+OD,2OD=ON+OC,得MC=CD,ND=DC,即 C、D 为线段 MN 的三等分点,由 y =kx+m,取 y=0, 得 c=- ,

m k

? ? 即 C?- ,0?,取 x=0,得 d=m,
m ? k

?

y=kx+m, ? ? 2 即 D(0,m).联立?x 2 +y =1, ? ?2
得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0,① 4km ∴x1+x2=- 2, 1+2k ∵C、D 为线段 MN 的三等分点, 4km m 则- 2=- , 1+2k k 1 2 2 解得 k = ,k=± . 2 2 当 k= 2 2 2 时,方程①化为 2x +2 2mx+2m -2=0. 2
2 2 2 2 2

- 2m- 4-2m - 2m+ 4-2m 解得 x1= ,x2= . 2 2
5



- 2m- 4-2m m 5 =-2 ,解得 m=± . 2 5 2 2 2 5 时,m=± . 2 5

2

同理求得当 k=

∴满足条件的直线 l 存在,方程为

y=

2 5 2 5 x± 或 y=- x± . 2 5 2 5
2 2 2

6.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=[ax +(a-1) x-a +3a-1]e (a∈R). (1)若函数 f(x)在(2,3)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若 a=0,设 g(x)=

x

f(x)
e
x

+ln x-x,斜率为 k 的直线与曲线 y=g(x)交于 A(x1,y1),

B(x2,y2)(其中 x1<x2)两点,证明:(x1+x2)k>2.
(1)解

f′(x)=[ax +(a +1)x+a]ex,
2 2

当 a≥0 时,∵x∈(2,3), ∴f(x)在(2,3)上单调递增; 1 x 当 a<0,∵f(x)在(2,3)上单调递增,f′(x)=a(x+a)(x+ )?e ≥0,

a

1? 1 1 ? (ⅰ)当-1<a<0 时,得-a≤x≤- ,依题意知(2,3)? ?-a,- ?,得- ≤a<0; a? a 3 ? (ⅱ)当 a=-1 时,f′(x)=-(x-1) ?e ≤0,不合题意,舍去; 1 ? 1 ? (ⅲ)当 a<-1 时,得- ≤x≤-a 依题意知(2,3)? ?- ,-a?,得 a≤-3.
2

x

a

? a

?

? 1 ? 综上得:a∈(-∞,-3]∪?- ,+∞?. ? 3 ?
(2)证明 当 a=0 时,g(x)=

f(x)
e
x

+ln x-x=ln x-1,

k=

ln x2-ln x1 , x2-x1

ln x2-ln x1 要证(x1+x2)k>2,即证(x1+x2)? >2, x2-x1 ∵x2-x1>0,

?x2 ? 2? -1? x2 ?x1 ??x2 ? 即证 ln > ?x1>1?. x1 x2 ? ? +1 x1
2(x-1) 1 4 (x-1) 令 h(x)=ln x- (x>1),则 h′(x)= - = >0,∴h(x) x+1 x (x+1)2 x(x+1)2
6
2

? ? 2? -1? x2 ?x1 ? 在(1,+∞)单调递增,h(x)>h(1)=0.∴ln > .即(x1+x2)k>2 成立. x1 x2 +1
x2 x1

7



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