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2.1.2《指数函数及其性质》教案(第四课时)


“目标导航,问题引领”自主学习法课堂模式备课设计 高一数学组成员:
周连平 杨金银 曹容菊 何兴华 苏春元 郭婷 秦丽

2.1.2《指数函数及其性质》教案(第四课时) 高一数学备课组 课型:习题课
一、 教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法; (2)掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法; (3)培养学生的数学应用意识。 2.情感、态度、价值观 (1)培养学生数学应用意识。 (2)培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 二、重、难点 重点:函数单调性、奇偶性的证明通法 难点:指数函数性质的应用. 三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体. 四、教学过程: (一)复习: (提问) 1、指数函数的图象及性质 2、判断及证明函数单调性的基本步骤:假设→作差→变形→判断 3、判断及证明函数奇偶性的基本步骤: (1)考查函数定义域是否关于原点对称;

主备人:

曹容菊

时间:10 月 3 日

(2)比较 f (? x) 与 f ( x) 或者 ? f ( x) 的关系; (3)根据函数奇偶性定义得出结论。 (二)新课讲解: 例 1.当 a ? 1 时,证明函数 y ?

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

x 证明:由 a ? 1 ? 0 得, x ? 0 ,故函数定义域 {x x ? 0} 关于原点对称。

f (? x) ?

a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ? ? ? ? f ( x) a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ax ?1 是奇函数。 a x ?1

∴ f (? x) ? ? f ( x) ,所以,函数 y ?

评析:此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明,但在证明过程中的恒等变形用到推广的 实数指数幂运算性质。 例 2.设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)试证明:对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学 生注意不同题型的解答方法。 (1)证明:设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? 2 ? 1 2 x1 ? 1
x1

?

2(2 x1 ? 2 x2 ) , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x

由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 ,
x x
x x

又由 2 ? 0 ,得 2 1
x

x ?1

? 0 , 2 x2 ?1 ? 0 ,所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x) 在 R 为增函数。 评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。

(2)解:若 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) , 即a?

2 ? 2x 2 2(2 x ? 1) 2 2 , ? x ? x ? ?(a ? x ) ,变形得: 2a ? ? x (2 ? 1) ? 2 x 2 ? 1 2 ?1 2? x ? 1 2 ?1

解得: a ? 1 ,所以,当 a ? 1 时, f ( x) 为奇函数。 评述:此题并非直接确定 a 值,而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题型。 (三)课堂练习: (1)已知函数 f ( x) 为偶函数,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? ?2
x ?1

,求当 x ? (??,0) 时,

f ( x) 的解析式。
(2)判断 y ? a (四)课堂小结: 灵活运用指数函数的性质,并掌握函数单调性,奇偶性证明的通法。 (五)布置作业: (补充) 1.已知函数 f ( x) ?
x2 ? 4 x

(a ? 0, a ? 1) 的单调区间。

2x ? 1 , 2x ? 1

(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)求证函数 f ( x) 在 x ? (??, ??) 上是增函数。 2.函数 y ? 3
2 x 2 ?3 x ? 6

的单调递减区间是



3.已知函数 f ( x) 定义域为 R ,当 x ? 0 时有 f ( x) ? ( )

1 3

x2 ? x

,求 f ( x) 的解析式。


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