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2010A题评分细则(王尚平)



CUMCM-2010 A 题 摘要(10 分)
?

陕西省赛区评分参考细则

摘要(7 分) ,关键词(1 分) ,参考文献(2 分) ,共计 10 分 摘要(7) 完整 7-6 基本完整 5-4 一般 3-2 差 1-0

1 建立小椭圆型油罐罐体变位后对罐容表的影响模型; 2 给出小椭圆型油罐罐体变位后油

位高度间 隔为 1cm 的罐容表标定值; 3 对于图 1 所示的实际储油罐, 建立罐内储油量与油位高度及变位参数 (纵 向倾斜角度?和横向偏转角度? )之间的一般关系;4 根据建立的数学模型确定变位参数;5 给出罐体 变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值;6 分析检验模型的正确性与方法的可靠性

关键词(1)

1 规范 基本规范

0 无 或者差

参考文献(2)

2 规范

1 基本规范

0 差

问题(1) :小椭圆型实验罐的有关问题(40 分)

(1.1) (10 分)小椭圆型油罐(两端平头的椭圆柱体)正常体位(无变位)的不同油位高度与储油量的计算 模型和公式,正确的结果(具体表达形式不唯一)是:

1 a h ?b V ? [ ? ab ? (h ? b) 2bh ? h 2 ? ab arcsin ]L , 2 b b
其中 a, b, L 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度, h 为罐内的油位高度。 ? 注意: 1 升=1 立方分米; 1 立方分米=1000 立方厘米 本例中, 如果用升做单位, 高度等以分米 (dm) 为宜;本实例中 a ? 6dm, b ? 8.9dm ,

1 ab ? 26.7 2

表 1:正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果 油位高度/cm 10 20 30 简化表 1 油位高度/cm 10 120 油量/L 163.59 4110.1 5 油位高度/cm 40 油量/L 1199.31 油位高度/cm 70 油量/L 2489.15 油位高度/cm 100 油量/L 3659.88 油量/L 163. 59 450. 27 803. 54 油位高度/cm 40 50 60 油量/L 119 9.31 162 1.00 205 5.07 油位高度/cm 70 80 90 油量/L 248 9.15 291 0.84 330 6.61 油位高度/cm 100 110 120 油量/L 3659 .88 3946 .55 4110 .15

? ? ?

注意单位标注:米(m);分米(dm),厘米(cm).
主要考察以上几个考察高度点的标注,本题原题没有明确要求正常情况下小椭圆罐的罐容表标定结 果,给出结果考虑加分。

?

结合问题中给出的数据,对计算结果给予一定的修正。

(1.1)小椭圆罐储油量与油位高度计算公式 (10 分)

模 型较好, 结果误 差 模型一般,结果 小,分析 10-8 误差较大 7-5

模型差 结果误差大 4-0

(1.2)(15 分)小椭圆型油罐(两端平头的椭圆柱体)变位后( ?

? 4.10 )的不同油位高度与储油量的计算

模型和公式 ? ? 讨论罐体变位的影响,要求给出纵向倾斜变位后修正模型, 用不同方法可能有不同的表达形式,但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。需要用分段 函数描述;

(1.2)小椭圆型油罐罐体变位后( ? ? 4.1 )小椭圆罐储油量与油位高度计算公式 (15 分)
0

模型较好 考虑罐体两端有油 / 无油 模型一般,考虑两端有油/ 模型差,没有考虑一
的不同情况(区分 3 种情况)

无油(区分 3 种情况) 10-6

端无油 5-0

15-11

(1.3) (15 分)小椭圆型油罐罐体变位后( ? ? 4.1 )油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值
0

?

将变位参数代入模型,计算出修正后的罐容表标定值,并与正常的标定值进行比较,分析罐体变 位的影响。

?

实际上,对于纵向倾斜变位的影响明显,最大误差在 257L 以上,平均误差达到 190L 以上,平均 相对误差达 30%以上。
表 2:小椭圆罐的修正罐容表的部分结果( ?

? 4.10 )
油位高度/cm 70 80 90 油量/L 2232.50 2661.42 3072.43 油位高度/cm 100 110 120 油量/L 3450.72 3776.64 4012.74

油位高度/cm 10 20 30 简化表 2 油位高度/cm 10 相对误差 5%

油量/L 70.13 281.86 595.25

油位高度/cm 40 50 60

油量/L 965.66 1371.88 1798.52

油量/L 70.1 3 3 (67,7

油位高度/cm 40

油量/L 965.66 48 (917,10 13) 144 ]821,11 09[

油位高度/cm 90

油量/L 3072.43 153 (2919,3 225) 460 ]2612,3 532[

油位高度/cm 120

油量/L 4012.74 200 (3812,4 212) 600 ]3412,4 612[

相对误差 15%

3) 10 ]60,8 0[

(1.3)小椭圆型油罐罐体变位后( ? ? 4.10 )罐容表标定值数据结果(15 分) 结果相对误差(<5%) 15-11 结果相对误差(6%--14%) 10-6 结果相对误差(>15%) 5-0

问题(2) :实际大储油罐的有关问题 (40 分)

(2.1) (15 分)根据储油罐纵向的变位方向,对于不同的油位高度,分别考虑油罐的两端有油和一端 有油的情况建模分析,可以得到罐内实际储油量 V 与纵向倾斜变位参数 ? 、横向偏转变位参数 ? 和油位 高度 h 的关系模型,即 V ? F (? , ? , h) 。 ? 详细的解析模型表述形式比较复杂,重在分析过程,注意油罐两端含油的不同情况。 ? 也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现,但应关注引入变位参 数的方法和表示形式的合理性。

模型较好, 考虑罐体两 模型一般, 模型差,没有考虑一端无油
端有油/无油的不同情况 (区分 3 种情况)

考虑两端 有
油 / 无油( 区 分 3 种情况)

15-11

10-6

5-0

(2.2) (15 分)变位参数的辨识准则 因为实际罐内油量初值未知,所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件 2 的检测数据可以知道不同 时 刻 的 出 油 量 ?Vi* , 同 时 可 以 计 算 出 相 应 油 位 高 度 的 改 变 量 ?hi ? hi ? hi ?1 , 并 由 模 型 表 达 式

V ? F (? , ? , h) 计算得到实际储油量的改变量 Δ Vi ? F (? , ? , hi ) ? F (? , ? , hi ?1 ) ,问题可归结为求解非线
性最小二乘问题:
n 2 ? ?V ?V * ? min S (? , ? ) ? ? ? i ? i ? ,或 min S (? , ? ) ? ? ? ?Vi ? ?Vi* ? 等。 ?hi ? i ?1 ? ?hi i ?1
n 2

? 。其 ?, ? 利用附件 2 中的部分数据(如前半部分) ,借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值 ?
? 略大于 2 度,横向偏转变位角影响不敏 具体的数值用不同的方法会有差别,但结果应是纵向倾斜变位角 ? 感。
注意:如果直接使用附件 2 中的显示储油量 Vi? 和对应的 hi 做参数估计,即求问题

min S (? , ? ) ? ? Vi ? Vi?
i ?1

n

?

?

2

的解,这是不对的,因为 Vi? 是无变位时的显示储油量。若储油量的体积公式 V ? F (? , ? , h) 是正确的,则

? 值会很小。 用该方法得到的参数 ? 如果经分析说明横向偏转变位的影响不大,则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。
? 必须明确给出变位参数的辨识准则。

?

? 无效。 ?, ? 如果没有给出变位参数的辨识准则,为了防止猜测,直接简单所给的参数估计值 ?

(2.2)变位参数的辨识准则(15 分) 明确给出变位参数的辨识准则,

(其中模型 8 分、结果 7 分)

明确给出变位参数的辨识

模型差

? 略大于 2 度, ? 远远 没有给出变位参数的辨识 模型较好,? (横 准则,模型一般,?
向偏转变位角影响不敏感) 。 接近 ? ? 2.110 , ? ? 4.310 大于 2 度, (横向偏转变位 角 影 响 不 敏 感 )。 准则,没有分析过程,直 接简单给出的参数估计值

( 2 ? ? ? 2.5 ,3.3 ? ? ? 5.3 ) 1.5 ? ? ? 2 或 2.5 ? ? ? 4

? ?, ? ?
( ? ? 1.5 或 ? ? 4 )

15-11

10-6

5-0

? ,可以得到变位后的罐容表(参见 ?, ? (2.3) (10 分)根据修正模型 V ? F (? , ? , h) 及参数估计值 ? 表 3) 。并利用附件 2 的实际检测数据(如后半部分)分析检验模型的正确性与方法的可靠性。
? ? 主要看所给出的变位后储油罐的修正罐容表部分结果的差异,确定本部分的得分。 主要观测表 3 给出点的标定结果,判断误差大小。

表 3:变位后储油罐的修正罐容表部分结果(使用参数 ? ? 2.110 , ? ? 4.310 ) 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 简化表 3 油位高度/cm 油量/L 相对误差 5% 10 354.76 17 (337, 371) 相对误差 15% 51 ]303, 405[ **用不同的方法,结果会有误差。 40 70 100 130 160 190 220 250 280 10 354.76 110 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1065.80 2223.04 3702.65 5432.63 7371.38 9487.87 11756.61 14155.51 16664.62 120 130 140 150 160 170 180 190 200

19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17

3702.65 9487.87 16664.62 24674.88 33066.99 41423.11 49322.44 56302.12 61768.90 185 (3517, 3887) 555 474 9961) 1423 833 17497) 2499 ]14165 19163[ 1233 25907) 3699 1653 34719) 4959 ]28107 34025[ 2071 43494) 6213 2466 51788) 7398 ]41924 56720[ 2815 61117) 8445 3088 64856) 9265 ]52503 71033[

(9013, (15831, (23441, (31413, (39352, (46856, (55487, (58680,

( 2.3 ) 变 位 后 储 油 罐 的 修 正 罐 容 表 部 分 结 果 ( 使 用 参 数

? ? 2.110 , ? ? 4.310 ) (10 分)

结果误差小,相
对误差 ? 5%

结果误差较大
5%<相对误差 ? 15%

结果误差大
相对误差 ? 15%

10-8

7-4

3-0

(4)为便于比较计算结果,这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值(见表 4) 。
表 4:无变位情况下油罐的罐容表部分结果 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 10 590.71 110 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88 120 130 140 150 160 170 180 190 200

21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.22 35163.15 37978.76 40763.45 43501.41 46176.46 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45

本参考要点给出的仅是一种可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方法, 请根据实际情况评判。

三 模型假设,表述,推广与印象(10 分)
模型假设(0-2 分) ,记号清晰(0-1 分) , 便于阅读(0-3 分) 书写规范(0-2 分) , 推广是否合理(0-2 分).

好 10-8

一般 7-4

较差 3-0

成绩汇总

摘要

1.1

1.2

1.3

2.1

2.2

2.3

表述

总分

(10) (10) (15) (15) (15) (15) (10) (10) (100)

?

本参考要点给出的仅是部分可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方 法,请各位专家根据实际情况独立判断评判。



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