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高中数学立体几何课后练习题及答案解析



一、选择题 1.(2012· 杭州模拟)设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则 a⊥b 的 一个充分条件是( A.a⊥c,b⊥c C.a⊥α,b∥α ) B.α⊥β,a?α,b?β D.a⊥α,b⊥α

解析:对于选项 C,在平面 α 内存在 c∥b,因为 a⊥α,所以 a⊥c,故 a⊥b;A,B 选项 中,直线 a,b 可能是平行直线

,相交直线,也可能是异面直线;D 选项中一定有 a∥b. 答案:C 2.如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论不成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 解析:因 BC∥DF,所以 BC∥平面 PDF,A 成立;易证 BC⊥平面 PAE,BC∥DF,所 以结论 B、C 均成立;点 P 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,不在中位线 DE 上,故结 论 D 不成立. 答案:D 3.(2012· 上海模拟)若 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题不 . 正确的是( ) A.若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β D.若 α∩β=m,且 n 与 α、β 所成的角相等,则 m⊥n 解析:容易判定选项 A、B、C 都正确,对于选项 D,当直线 m 与 n 平行时,直线 n 与 两平面 α、β 所成的角也相等,均为 0° ,故 D 不正确. 答案:D 4.设 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,下列命题中正确的个数是( ①若 l⊥α,则 l 与 α 相交; ②若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α; ③若 l∥m,m∥n,l⊥α,则 n⊥α; ④若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n. A.1 B.2 ) )

C.3

D.4

解析:由于直线与平面垂直是相交的特殊情况,故命题①正确;由于不能确定直线 m,n 是否相交,不符合线面垂直的判定定理,命题②不正确;根据平行线的传递性,l∥n,故当 l ⊥α 时, 一定有 n⊥α, 命题③正确; m⊥α, n⊥α, m∥n, l∥m, l∥n, 则 又 即 命题④正确. 故 选 C. 答案:C 5.(2012· 长沙模拟)设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是( ①X、Y、Z 是直线 是平面 A.①② C.②③ B.①③ D.③④ ) ④X、Y、Z

②X、Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X、Y 是平面

解析:因为垂直于同一个平面的两条直线平行,垂直于同一条直线的两个平面平行,可 知②③正确. 答案:C 二、填空题 6.(2012· 丹东四校联考)设 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列 5 个命题: ①若 m⊥α,l⊥m,则 l∥α; ②若 m⊥α,l?β,l∥m,则 α⊥β; ③若 α∥β,l⊥α,m∥β,则 l⊥m; ④若 α∥β,l∥α,m?β,则 l∥m; ⑤若 α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则 m⊥β. 其中正确的命题是________. 解析:①l 可能在 α 内,①错;④l 若在 β 内可能与 m 相交,④错;⑤n 垂直于交线,不 一定垂直于 β,⑤错. 答案:②③ 7.(2012· 青岛模拟)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 ________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的 条件即可) 解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC 时,即有 PC⊥平面 MBD,而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD⊥平面 PCD.

答案:DM⊥PC(答案不唯一) 三、解答题 8.(2012· 大连模拟)已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是直角三角形,∠C=90° ,点 B1 在底面上射影 D 落在 BC 上. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)若 AB1⊥BC1,且∠B1BC=60° ,求证:A1C∥平面 AB1D. 解:(1)∵B1D⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴B1D⊥AC. 又∵BC⊥AC,B1D∩BC=D, ∴AC⊥平面 BB1C1C.

(2)

? ? AC⊥BC1 ? ≠? AB1与AC相交? ?
AB1⊥BC1

? BC1⊥平面AB1C? ??BC1⊥B1C, ? B1C?平面AB1C?

∴四边形 BB1C1C 为菱形, ∵∠B1BC=60° 1D⊥BC 于 D,∴D 为 BC 的中点. ,B 连接 A1B,与 AB1 交于点 E,在三角形 A1BC 中,DE∥A1C, ∴A1C∥平面 AB1D. 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 C1D1 的中点,F 为 BC 的中点. (1)求证:直线 AE⊥直线 DA1; (2)在线段 AA1 上求一点 G,使得直线 AE⊥平面 DFG. 解:(1)连接 AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1 AB,又 AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面 ABC1D1, 又 AE?平面 ABC1D1,∴DA1⊥AE. (2)所示 G 点即为 A1 点,证明如下: 由(1)可知 AE⊥DA1,取 CD 的中点 H,连接 AH,EH, 由 DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可证 DF⊥平 面 AHE, ∴DF⊥AE. 又 DF∩A1D=D, ∴AE⊥平面 DFA1,即 AE⊥平面 DFG. ⊥ 棱

10.(2012· 驻马店模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120° ,E、 M 分别为 AB、DE 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A′DE,F 为 A′C 的中点,A′C =4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE. 解:(1)由题意得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折而成,所以△A′DE≌△ADE,∵∠ABC =120° ,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=60° . 又∵AD=AE=2, ∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形. ∵M 是 DE 的中点, ∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC2=42+12-2×4×1· cos60° , ∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M2+MC2=( 3)2+( 13)2=42=A′C2, ∴△A′MC 是直角三角形.∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M,∴A′M⊥平面 BCD. 又∵A′M?平面 A′DE, ∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连接 FN,NB. ∵A′C=DC,F,N 点分别是 A′C,DC 的中点, ∴FN∥A′D. 又∵N,E 点分别是平行四边形 ABCD 的 DC,AB 的中点, ∴BN∥DE. 又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N, ∴平面 A′DE∥平面 FNB.∵FB?平面 FNB, ∴FB∥平面 A′DE.



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