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安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编:三角函数



安徽省各地 2015 届高三上最新考试数学理试题分类汇编

三角函数
一、选择题

1? ? 1、 (蚌埠市 2015 届高三第一次质量检测) 设 a ? tan130 ,b ? cos ? cos 0 ? ,c ? ? x 2 ? ? , 则a, 2? ?
b , c 的大小关系是(
A. c ? a ? b ) B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? c ? a

0

2、(合肥市 2015 届高三第一次教学质量检测)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 的部分图 像如图所示,则 f ( x ) 的解析式可以为

A、 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?

4 1 3? ) C、 f ( x) ? 3sin( x ? 2 4
A.函数 y ? sin( 2 x ?

)

) 4 1 3? ) D、 f ( x) ? 3sin( x ? 2 4


B、 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?

3、(淮北市、亳州市 2015 届高三第一次模拟)下列命题正确的是(

) 在区间 ( ? , ) 内单调递增 3 6 3 4 4 B.函数 y ? cos x ? sin x 的最小正周期为 2?
C.函数 y ? cos( x ? D.函数 y ? tan( x ?

?

? ?

?

?

) 的图像是关于点 ( ,0) 成中心对称的图形 6 3 ) 的图像是关于直线 x ?

?

?

3

6

成轴对称的图形

4、 (淮南市 2015 届高三第一次模拟)将函数 y= cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴方程是 4 ? ? ? A. x ? ? B. x ? C. x ? D. x ? 3 4 2 ? 5、(宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测)在 ?ABC 中, A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,
坐标不变),再向右平移 则

sin B 的值为 sin C 3 (A) 5

(B)

5 3

(C)

5 8

(D)

8 5

6、(宣城市 2015 届高三上学期期末考试)在△ABC 中,已知 AB=4 3 ,AC=4,∠B=30?,则△

ABC 的面积是 A、4 3 B、8 3 D、4 3 或 8 3 D、 3

7、(宣城市 2015 届高三上学期期末考试)若 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小值为

-2,其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为 2? ,且图像过点(0,1),则其解析式是 A、 y ? 2sin( ? C、 y ? 2sin( x ?

x ? ) 2 6

B、 y ? 2sin( ? D、 y ? 2sin( x ?

?

x ? ) 2 3

8、(滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ( ? ? 0 ,

6

)

?

3

)

? ?

?
2

)的部分图象如图所示,则 f ?1? ? (



A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

9、 (合肥八中 2015 届高三第四次段考)函数 f ( x) ? cos(? x ? 为了得到函数 y ? f ( x) 的图象,只需将函数 g ( x) ? sin(? x ?

?
3

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,

?
3

) 的图象

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

10、 (江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知函数 f ( x) ? sin ? x( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? , 为了得到函数 g ( x) ? sin(? x ?

?
4

) 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(
B.向右平移



? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4 ? ? 11、(江淮十校 2015 届高三 11 月联考)若 ? ? ( , ? ), 且 cos 2? ? sin( ? ? ) ,则 sin 2? 的值为 2 4
A.向左平移 ( )

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4

A. ?

1 2

B.

1 2

C. 1

D. ?1

12、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若

a b ? 3c ? ,sin C ? 2 3 sin B ,则 tan A = b a
A、 3 B、1 C、

3 3

D、- 3

二、填空题 1、(合肥市 2015 届高三第一次教学质量检测)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , 若B ? A?

?
3

, b ? 2a ,则 B ? _____

2、 (江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)已知函数 f(x)=|sinx|+|cosx|-sin2x-1 (x ? R) ,则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的序号) 。 (1)f(x)是周期函数; (2)f(x)的图象关于 x ?

?
2

对称;

(3)f(x)的最小值为 2 -2; (4)f(x)的单调递增区间为 [ k? ?

?
4

, k? ?

(5)若 f(x)在(0, n? )内恰有 2015 个零点,则 n 的取值范围为 1007.5<n<1008 三、解答题 1、 (蚌埠市 2015 届高三第一次质量检测)在 ??? C 中,角 ? ,? ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 已知 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

3? ]( k ? z ) 4

? ? ? 求 ? 的大小;
? ?? ? 如果 sin ? ?

3 , b ? 2 ,求 ??? C 的面积. 3
2015 届 高 三 第 一 次 教 学 质 量 检 测 ) 已 知 函 数

2 、 ( 合 肥 市

f ( x? )

s ? i ?n x ( 3

?

? 1 ? ?) xc? o s ?(? ?
6 2

) ( 0 x ? 1对称 ) 的图像关于直线
3

?

(1)求 ? 的值; (2)若 f (? ) ?

1 2? ? , ? ? (? , ) ,求 cos ? 的值 6 3 3

3、(淮北市、亳州市 2015 届高三第一次模拟)已知函数 f ( x) =sin(2x+

? )+ cos 2x. 6

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间。

(2)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= △ABC 的面积. 4、(淮南市 2015 届高三第一次模拟)已知函数 f ( x) ? 3 sin (Ⅰ)若 f (? ) ? 1 ,求 cos( ? ? ? ) 的值;

? 3 ,a=2,B= ,求 3 2

x x x cos ? cos 2 4 4 4

2 3

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求 f ( A) 的取值范围。

5、 (江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对 边,且(a+b) (sinA-sinB)=(c-b)sinC (I)求角 A 的大小; (II)若 cosB 是方程 3x2-10x+3=0 的一个根,求 sinC 的值。 6、 (宣城市 2015 届高三上学期期末考试) 测) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2 。 (1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f(x)的值域;
b ? 3, a

(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足

sin(2 A ? C ) ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f(B)的值。 sin A
7、(滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)在 ??? C 中,角 ? , ? , C 所对边

的长分别为 a , b , c ,且 sin C ? 2sin ? ???? .

? ? ? 证明: tan ? ? 3 tan ? ; ? ?? ? 若 c ? 2b ,求角 ? 的值.
8、(合肥八中 2015 届高三第四次段考)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? 2 cos 2

?x
2

? 1(? ? 0) ,直线

y ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象的相邻两交点的距离为 ? . (Ⅰ )求 ? 的值;
(Ⅱ )在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若点 ( 且 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

B , 0) 是函数 y ? f ( x) 图象的一个对称中心, 2

9、(江淮名校 2015 届高三第二次联考)利用已学知识证明:



sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

1





(2)已知△ABC 的外接圆的半径为 2,内角 A,B,C 满足

sin 2 A ? sin( A ? B ? C ) ? sin(C ? A ? B) ?

1 ,求△ABC 的面积。 2

10、 (江淮名校 2015 届高三第二次联考)合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域 ABCD, AB=100 米,BC=50 3 米,为了便于同学们平时休闲散步,学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到学校整体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示. (1)设∠BOE= ? ,试将△OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式,并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使 铺路的总费用最低?并求出最低总费用.

11、(江淮十校 2015 届高三 11 月联考)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)若 x ? [0,

?

?
2

1 )? . 6 2

], f ( x) ?

11 , 求 cos x 得值; 10

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且满足 2b cos A ? 2c ? 3a, 求 f ( B ) 的取值范围.

12、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考) 已知函数 f ( x) ? cos(? x ?

?

? ?x ) ? cos(? x ? ) ? 2 cos 2 (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 6 6 2

(I)求 ? 的值; (II)求 f(x)的单调递增区间。

参考答案
一、选择题 1、B 2、D 3、C 4、D 5、A 7、A 8、B 9、C 10、B 11、A 二、填空题 1、 6、C 12、C

? 2

2、①③④

三、解答题 1、

2、

3、(1)解: f ( x) ? sin(2 x ? = sin 2 x cos

?
6

) ? cos 2 x

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

=

3 3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x = 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 2 2

= 3 sin(2 x ? 令?

?
3

)

…………………………3 分

? 2k ? 2 3 2 5? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ?? 12 3 12 5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z0 f ( x) 的单调递增区间为: [? …………………………6 分 12 12 ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

(2)由 f ( A) ?

3 ? 1 ,sin(2 A ? ) ? , 2 3 2

2? ? ? 5? , ? 2A ? ? , 3 3 3 3 ? ? 5? 因此 2 A ? ? ,解得: A ? 4 3 6 a B ? 由正弦定理 ,得 b ? 6 , sin A sin B
又0 ? A ? 又由 A ?

…………………………8 分

?
4

,B ?

?
3

可得: sin C ?

6? 2 4

…………………………10 分

故 S?ABC ? 4、

1 3? 3 ab sin C ? 2 2

…………………………12 分

(Ⅱ)由 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 知 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A, cos B ?

3 A ? 1 ? f ( A) ? sin( ? ) ? 2 6 2 ? A ? ? 1 A ? ? ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 6 2 6 2 2 2 6 3 ? f ( A) ? (1, ) …………………………………………..12 分 2
5、

? B ? (0, ? ),? B ?

?

, A ? (0,

2? ) …………………………………9 分 3

1 2

6、

7、解析:(Ⅰ)∵A+B+C=π,∴C=π-(A+B), sinC=sin(A+B)=2sin(A-B),即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB, sinAcosB=3cosAsinB,∴tanA=3tanB.(6 分) (Ⅱ)解法一:由正、余弦定理及 sinAcosB=3cosAsinB,得 a ? 化简得 2b 2 ? c 2 ? 2a 2 ,又 c=2b,故 a ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , ? 3b ? 2ac 2bc

3b, cosA ?

1 .(12 分) , ? A=60° 2

解法二:由正弦定理知 sinC=2sinB,则 2sin(A-B)=2sinB,A=2B, 2tanB 3 代入 tanA=3tanB 中整理得 =3tanB,解得 tanB= ,B=30° ,A=60° .(12 分) 3 1-tan2B 8、解:(1) f ( x) ? sin ? x cos

?
6

? cos ? x sin

?
6

? 2?

1 ? cos ? x ?1 2

?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

f ( x) 的最大值为 3 ,? f ( x) 的最小正周期为 ? , ?? ? 2 …………………………6 分
(2)由(1)知 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
3

),

因为点 ?

?B ? , 0 ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中心 ?2 ?
? ?

? 3 sin( B ? ) ? 0 ? B ? ,……………8 分 3 3

? cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? 9 1 ? ? , ac ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 2ac ? 9 , ac ? 9 2ac 2ac 2
1 3 9 3 9 3 .……………12 分 , ?ABC 面积的最大值为 ac sin B ? ac ? 2 4 4 4

故 S ?ABC ?

9、 解: (1)sin ? ? sin ? ? sin( 分

? ??
2

?

? ??
2

) ? sin(

? ??
2

?

? ??
2

) ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

..........4

(2)? sin 2 A ? sin(? ? 2 B ) ? sin( 2C ? ? ) ?

1 2

? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ?

1 2 A ? 2B 2 A ? 2B 1 cos ? 2 sin C cos C ? 由(1)可得 2 sin 2 2 2 2 1 2 sin C[cos( A ? B) ? cos( A ? B)] ? 4 sin C sin A sin B ? 2 1 ? sin A sin B sin C ? ............................................10 分 8

? 已知△ABC 的外接圆的半径为 2

? S ?ABC ? 2R 2 sin Asin B sin C ? 1 ........................................12 分
10、.解:⑴在Rt△BOE中, OE ?

50 50 ,在Rt△AOF中, OF ? cos ? sin ?

? ?? 50 6 在 Rt△OEF 中, EF ? ,当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, sin ? cos ?
当点 E 在点 C 时,角 ? 最大,

……2 分

??

?

3 ,所以 l ? 50(sin ? ? cos ? ? 1) , ………4 分 sin ? cos ?

[ , ] 定义域为 6 3

? ?

……………………………6 分

t ? sin ? ? cos ? , ? ? [ , ] 6 3 ,所以 ⑵设

? ?

3 ?1 ?t ? 2 2

……………………8 分

l?

50(t ? 1) 100 ? ? [100( 2 ? 1),100( 3 ? 1)] ……………………………10 分 t 2 ?1 t ?1 2

??
所以当

?
4 时, l ? 100( 2 ?1) ,总费用最低为 80000( 2 ? 1) 元 ……12 分 min

1)f ( x) ? sin( x ? 11、 解:(

?

6 11 ? 3 ? ? ? ? ? 4 f ( x ) ? ,∴ sin( x ? ) ? ;又∵ x ? [0, ] ,∴ x ? ? [? , ] ,即 cos( x ? ) ? 10 6 5 2 6 6 3 6 5

)?

1 2

? ? ? ? ? ? 4 3 3 ? cos x ? cos[( x ? ) ? ] ? cos( x ? ) cos ? sin( x ? )sin ? ? 6 6 6 6 6 6 10 10
(2)由2bcosA ? 2c-得: 2sin B cos A ? 2sin c ? 3 sin A ? 2sin B cos A ? 2sin( A ? B) ? 3 sin A ? 2sin B cos A ? 2[sin A cos B ? cos A sin B] ? 3 sin A ? 2sin A cos B ? 3 sin A ? cos B ?
∴ sin( B ?

3 ? ? B ? (0, ] 2 6

1 ? 1 1 ) ? (? , 0] ,即 f ( B) ? sin( B ? ) ? ? f ( B) ? (0, ] 6 2 6 2 2 ? ? 2 ?x 12、【解】(Ⅰ) f ( x) ? cos(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 2 cos 6 6 2 ? sin ? x ? cos ? x ? 1

?

? 2 sin(? x ? ) ? 1 . 4
因为 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0 ,所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 由

?

………4 分

2?

?

? ? ,即 ? ? 2 .………6 分
………7 分

2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

? 2 k? ?

?

k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? (k ? z ) . 8

2

( k ? z ) , 得 2 k? ?

?
4

? 2 x ? k? 2?

3? k? (z 4

,) 即

………10 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

?
8

, k? ?

3? ](k ? z ) . 8

………12 分



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