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数列的求和方法



《数列求和》学案 018 一、考试要求: 1.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式。 二 考点扫描 1 求等比数列前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行分类讨论 2 求和的方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法,等价转化等
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a n ?

a n ?1 5.求数列中最大最小项的方法:最大 ? ? ?a n ? a n ?1

a n ? a n ?1 最小 ? ? ?a n ? a n ?1

考虑数列的单调性

6.(1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ;
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(2)在项数为 2 n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n =n(an ? an?1 ) . 三、小题训练 (1)设 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a3 ? a13 及 S15 值。 (2)等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn=126,求 n 和公比 q。 (3)等比数列中,q=2,S99=77,求 a3+a6+…+a99;

①直接用等差、等比数列的求和公式求和。 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

na1 (q ? 1) ? ? a S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 公比含字母要讨论;②无穷递缩等比数列时, S ? 1 ;③.错位相减 1? q ? 1 ? q (q ? 1) ? 1 ? q ?
法求和:如: ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. ;④.分组求和:把数列的每一项分成若干项,使其转 化为等差或等比数列,再求和;⑤.合并求和:如:求 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 的和;
2 2 2 2 2 2

(4)两个等差数列,它们的前 n 项和之比为

⑥.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项:

5n ? 3 , 求这两个数列的第九项的比。 2n ? 1

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!

四.典型例题 例 1. 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 100n ? n 2 (n ? N ) (1) ?an ? 是什么数列? 前 n 项和. (2)设 bn ? an , 求数列 ?bn ?的

1 1 1 1 ? [ ? ] n ? n!? (n ? 1)!?n! n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
⑦.公式法求和

?k
k ?1

n

2

?

n(n ? 1)(2n ? 1) ;⑧.倒序相加法求和 6
例 2.(1)等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为 66 , a1 ? 1 ,求 其项数和中间项.

3.求最大值: (1)借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解即,邻项变号法求解
a n ? 0 来确定 n。 若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,可由不等式组 ? ? ?a n ?1 ? 0 a n ? 0 来确定。 若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,可由不等式组 ? ? ?a n ?1 ? 0

(2)借助求和公式是关于 n 的二次函数的特点,用配方法求解; (3)借助二次函数图象,利用函数单调性求最值。 (经过原点) 4.数列的性质:(1) 任意数列{an}的前 n 项和的性质 Sn=a1+ a2+ a3+……+ an

(2)等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27,求公差 d.

? S ?n ? 1? 2 (2) S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,?组成公差为 n d 的等差数列;(3) an , an?m , an?2m ,?组成公差为 md an ? ? 1 ?S n ? S n?1 ?n ? 2?
的等差数列; (4)若 S m ? S n (m ? n) ,则 S n?n ? 0 ; (5)若 S p ? q, S q ? p ,则 S p?q ? ?( p ? q)

(3)已知数列 ?an ? , an ? ?2[n ? (?1) n ],求S n 。

例 3.已知数列{a n }是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

1

(2) Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn?m .

7. 项数为奇数的等差数列 ?an ? 中, 奇数项之和为 80, 偶数项之和为 75, 求此数列的中间项 8.一个等比数列的首项为 1, 项数是偶数, 它的奇数项之和为 85, 偶数项之和为 170, 求此数列的项数 9.一凸 n 边形各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小内角为 100°,则边数 n= 10.一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和

。 。 . 。 .

(3)(1996 全国卷)已知 等差数列 ?a n ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为() A、130 B、170 C、210 D、260 (4) 等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S17 ? S 9 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。

1 1 1 a n ?1 (n ? 1) , 若 a n ? 2004,则 n ? 11.已知数列 {a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? 2 3 n ?1
12.已知数列{an},满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 an= 13.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 20 ,前 n 项和为 S n ,且 S10 ? S15 ,求当 n

时, S n 有最大值
n

14. (00 全国)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{ S n } 例 4. (1)求数列 a, 2a , 3a , ……,na , ……的前 n 项和。
2 3 n

的前 n 项和,求 Tn.

15.04 全国卷数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= (2)(2005 天津卷理科)已知 un ? a n ? a n?1b ? a n?2b 2 ? ? ? abn?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) .当

n?2 Sn(n=1,2,3,…)证明:(Ⅰ)数列 n

a ? b 时,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n 。

{ S n }是等比数列;
n

(Ⅱ)Sn+1=4an

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16(1)设等差数列的前 n 项之和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0,求公差 d 的取值范围。 (2)指出 S1,S2,S3,…Sn 中哪一个值最大,并说明理由。 五、强化训练 1. (2002 上海春,16)设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列 结论错误 的是( .. ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 ( ) 通项公式; (Ⅱ) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值. 17.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? 1, a n ?1 ?

2.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和。已知 S 6 ? 36, S n ? 324 , S n?6 ? 144(n ? 6) 。则 n 等于 (A) 16 (B)

1 S n , n ? 1,2,3, ? ,求: (Ⅰ) a 2 , a3 , a 4 的值及数列 {an } 的 3

17

(C) 18

(D) 19

3.设{an}, {bn}都是等差数列,它们的前 n 项和分别为 An, Bn, 已知

a An 5n ? 3 ,求 n = ? bn Bn 2n ? 1
18.数列 ?an ? 的通项 10 ? 2 n ,设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n

4.(2005 年高考·全国卷 II·文 13)在 8 和 27 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数
3 2

的乘积为 . 5.等差数列 {an } 共有 2n ? 1 项,其中奇数项之和为 319 ,偶数项之和为 290 ,则其中间项为___. 6.设数列 1, (1 ? 2),?, (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n?1

19.求和: (1)1×3+2×4+3×5+……+n(n+2). (2) sin 1? ? sin 2? ? sin 3? ? ?? ? sin 89? .
2 2 2 2

),?的前 n 项和为 S n ,则 S n 的值为( )
n ?1

(A) 2

n

(B) 2 ? n
n

(C) 2

?n

(D) 2

n ?1

?n?2

(3) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? ? nCn .
1 2 3 n

2

三。小题训练

15?a1 ? a15 ? ? 15 a8 ? ?30 .(1)由已知可得 a8 ? ?2 所以 a3 ? a13 =2 a8 ? ?4 ,S15= 2

说明:(1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ;(2)在项数为 2 n 项的等 差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n +1 =n(an ? an?1 ) . ( 2 ) 解 : 设 这 个 数 列 的 首 项 为 a1, 公 差 为 d , 则 偶 数 项 与 奇 数 项 分 别 都 是 公 差 为 2d 的 等 差 数 列 , 由 已 知 得

1 ? a ? 2 ?a1 ? 64 a1 ? a n q ?q ? 2 ? ?q ? (2) a1an ? 128 或? 又 Sn ? 或? , a1 ? an ? 66 所以 ? 1 ? 126 ,所以 ? 2 1? q ?n ? 6 ? ?a n ? 64 ? a n ? 2 ?n ? 6

?3?

S99 ? ? a1 ? a4 ?

? a97 ? ? ? a2 ? a6 ?
17

? a98 ? ? ? a3 ? a6 ?

?1 1 ? ? a99 ? ? ? 2 ? ? 1? ? a3 ? a6 ? ?q q ?

? a99 ?? a3 ? a6 ?

? a99 ? 44

?12a1 ? 66d ? 354 ? 6a ? 30d 32 , ? 2 ? ? ? 6a1 ? 30d 27

解得 d=5.

解 2: 设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶, S奇

?S 偶 ? S 奇 ? 354 ? S 32 , , 则由已知得 ? 偶 ? ? S 27 奇 ?



得 S 偶=192,S 奇=162,S 偶-S 奇=6d, ∴ d=5. (3)思路分析: an 解 :

? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。
, 若

(4)解: a9 ? a1 ? a17 ? 2

(a1 ? a17 )

b9

b1 ? b17

17 (b1 ? b17 ) 2

?

m n?m S17 8 ? .(5)思路分析:由 Cn ? Cn 可用倒序相加法求和。 ' 3 S17

an ? ?2n ? 2(?1) n
2m

证 : 令

1 Sn ? Cn0 ? 3Cn ? 5Cn2 ? ?? (2n ? 1)Cnn

(1)
0 n



1 Sn ? (2n ? 1)Cnn ? (2n ? 1)Cnn?1 ? ?? 5Cn2 ? 3Cn ? Cn0

n ? 2m, 则S n ? S 2m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2? (?1) k S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)

(2)
若 n ? 2m ?1, 则Sn

k ?1

?C ? C
m n

n?m n

?(1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)C ? (2n ? 2)C ? (2n ? 2)C ? ? ? (2n ? 2)C
1 n 2 n

n n

? S2m?1 ? S2m ? a2m ? ?(2m ?1)2m ? 2[2m ? (?1)2m ]
(n为正偶数)

0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

? n(n ? 1) ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1) ? ?4m2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2 ? S n ? ? ?
例 3.证明:(1)因为等差数列{a n }的公差 d≠0,所以

2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)

四典型例题 例 1.分析:本题考查数列的基础知识,以及含绝对值的数列前 n 项和的求法.在求和前前首先要确定,从哪一项开始该项的值为 负,然后将和分段表示.解:(1) an

? Sn ? Sn?1 ? (100n ? n2 ) ? [100(n ?1) ? (n ?1) 2 ] ? 101? 2n(n ? 2)

? a1 ? S1 ? 100?1 ? 12 ? 99 ? 101? 2 ?1?数列?an ? 的通项为 an ? 101? 2n(n ? N ? )
又 an?1 (2)令 an

? an ? ?2为常数,?数列?an ?是首项为a1 ? 99, 公差d ? ?2的等差数列 .

Kp 1 p k 是常数(k=2,3,…,n).

? 101? 2n ? 0得, n ? 50.5,? n ? N ? ,? n ? 50(n ? N ? )
? ? 100n ? n 2 ? 0, 此时bn ? an ? an ,所以 ?bn ? 的前 n 项和 S n
2 ? (1) ? An ? Bn ? m (2)解: (法一)基本量法(略) ; (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ? 2 (2) ? ? Am ? Bm ? n (1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n , m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1,

①当 1 ? n ? 50 时an ②当 n ? 51 时an 列

2

? 0, 此时bn ? an ? ?an , 由 b51 ? b52 ? ? ? bn ? ?(a51 ? a52 ? ? ? an ) ? ?(S n ? S50 ) ? S50 ? S n 得数

? ? S50 ? (S50 ? S n ) ? 2S50 ? S n ? 2 ? 2500? (100n ? n 2 ) ? 5000? 100n ? n 2 ?bn ?的前 n 项和为 Sn
(n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 ∴ 2 2
中间项为第 7 项,且 a7

∴ Sn?m

? (n ? m)2 A ? (n ? m)B ? ?(n ? m) .

例 2.(1)解:设数列的项数为 2n ? 1 项,则 S奇 ?

(3)(1996 全国卷)已知 等差数列 C、210 D、260

?an ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为()A、130
n 的二次式函数,则

B、170

S奇 n ? 1 77 , ? ? S偶 n 66

∴n

? 6 ,∴数列的项数为 13 ,

? 11.

分析:等差数列的前 n 项和 Sn =

d 2 d n ? ( a1 ? ) n ,可以看成关于 2 2

Sn n

可以看成关于 n 的一次式函数.

3

S 30 100 ) (2m, ) (3m, 3m ) 就在同一条直线 y ? an ? b 上,利用斜率相等,得 m 2m 3m 17 ? 16 9?8 d ? 9a1 ? d及 它的前 3m 项和为 210. 选 (c). (4) 方法一:利用等差数列的求和公式处理,由 17 a1 ? 2 2 n(n ? 1) (?2) ? ?(n ? 13) 2 ? 169 , 依二次函数性质可知,当 n ? 13 时, S n 取 a1 ? 25 得 d ? ?2 , S n ? 25n ? 2 d 2 d n ? (a1 ? )n(d ? 0) , 最大值,且最大值是 169 。方法二:数形结合处理,由等差数列的求和公式可得 S n ? 2 2 9 ? 17 ? 13 , S n 的图象是开口向下的抛物线上的一群离散点,最高点的横坐标为 2
一次函数图像是一条直线,那么三个点 ( m, 即

n(a1 ? a n ) an Sn ? ? 324 。 答案: B 3. 2 bn

2a n = 2bn

1 (2n ? 1)(a1 ? a 2 n ?1 ) (a1 ? a 2 n ?1 ) 2 A = ? ? 2 n ?1 (b1 ? b2 n ?1 ) 1 B2 n ?1 (2n ? 1)(b1 ? b2 n ?1 ) 2
解得 an?1



10 n ? 2 .4. . 4n ? 3

216 5.依题意,中间项为 a n ?1 ,于是有 ?

?(n ? 1)an?1 ? 319 ? nan?1 ? 290

? 29 .答案: 29

6。方法一:特殊值法,由原

数列知

S1 ? 1, S 2 ? 4 ,在选择支中只有( D )满足。方法二:看通项, an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 ,

S13

最大,易求得最大值为

169

。方法三:利用等差数列的性质处理,



S17 ? S 9

可得

2(2 n ? 1) Sn ? ? n ? 2 n ?1 ? n ? 2 。[简要评述]:方法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用,方法二利用通项 an 2 ?1

a10 ? a11 ? ? ? a17 ? 0 ? a13 ? a14 ? 0 ,又 a1 ? 0 ,从而 d ? 0 , a13 ? 0 , a14 ? 0 ,故 S13 最大。
[简要评述]:数列是特殊的函数,因此求最值问题就是一个重要题型,又因为等差数列前 n 项和一般是不含常数项的二次函 数,因此,求最大值可用二次函数法求之,也可根据对称轴来判断,由于数列的特殊性还可以把通项公式写出来,由 a n 或 an 求 S n ,为求和的通法。7。设等差数列共 2n-1 项,则

S奇 S偶

?a1 ? a2n?1 ?n
?

?0
间项 ?

?a2 ? a2n?2 ?(n ? 1)
2

2

?

n 80 ? ? n ? 16所以此数列共 31 项.中 n ? 1 75

? 0 来解决,特别注意,用 an ? 0 ( an ? 0 )时,若解得 n ? n0 , n0 是正整数时,说明 an 中有为 0 的项,因此
例 4. (1)Sn=a+2a2+3a3+……+nan,
n

S奇 ? S偶 ? 80 ? 75 ? 5

8。 设此数列为 a1, a2, a3, ……, a2n-1, a2n, 公比为 q, q≠1, 则 a1, a3, a5,……,a2n-1, 和 a2, a4,

前 n 项和最大(最小)有两项且它们相等。

当 a=1 时, Sn=1+2+3+……+n
n+1

n( n ? 1) = , 2
3 n

a6, ……,a2n 也是等比数列,公比是 q2, ∴

当 a≠1 时, Sn=a+2a +3a +……+na ,

2

3

aSn=a +2a +3a +……+na
n?2

2

3

4

,

两式相减得 (1-a)Sn=a+a + 2)·180=100n+

2

1 ? q 2n 1? q2

=85,

q(1 ? q 2 n ) =170, 1 ? q2

两式相除得 q=2, ∴ n=4. 9. 解:由(n-

a +……+a -na

n+

a(1 ? a ) 1 = -nan 1? a
n

+1

,

∴ Sn=

na

? (n ? 1)a (1 ? a) 2

n ?1

?a

. (2) 本小题主要考查等差数列和等比数列

n( n ? 1) 2

×10,求得 n2-17n+72=0, n=8 或 n=9,

当 n=9 时, 最大内角为 100+(9-1)×10=180°, ∴ 新

不符合题意,舍去,∴ n=8.

10.在等差数列中,S10, S20-S10, S30-S20, ……,S100-S90, S110-S100, 成等差数列,

的前 n 项和公式、 求数列的前 n 项和的基本方法等基础知识, 考查运算能力( . I) 解: 当 a ? b时, an 的前 n 项和 S n

? (n ? 1)a
4

n

, 这时数列 {an }
n n?1

数列的前 10 项和=原数列的前 100 项和,10S10+

10 ? 9 ·D=S100=10, 2

解得 D=-22

∴ S110-S100=S10+10×D=-120,

? 2a ? 3a ? 4a ? ? ? na ? (n ? 1)a
2 3

n?1

n

得 aSn .①①式两边同乘以 a ,

? 2a ? 3a ? 4a ? ?? na ? (n ? 1)a
2 3

.②

① 式 减 去 ② 式 , 得

(1 ? a)Sn ? 2a ? a ? a ? ?? a ? (n ? 1)a .
2 3 n

n?1



a ? 1,

(1 ? a)S n ?

a(1 ? a n ) ? (n ? 1)a n?1 ? a 1? a

Sn ?

a(1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n?1 (n ? 1)a n?2 ? (n ? 2)a n?1 ? a 2 ? 2a .若 a ? 1 , S ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ? n(n ? 3) . ? ? n 2 1? a (1 ? a) 2 (1 ? a) 2

1 3 ? a1 , a3 ? a1 ? a2 ? a2 , 2 2 4 1 1 1 4 1 5 3 a4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a3 ? a3 , a5 ? a4 ? a4 ? a4 , , 即 a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 , 3 2 3 3 3 4 4 2 5 n n ?1 n ?1 a5 ? a4 , an ? an ?1 , an ?1 ? an . 因为 an ?1 ? an 对 a2 ? a1 并不适用,所以在用迭代法时,只能 4 n ?1 n n n n ?1 3 ? ? ? a2 ,而不能继续下去。正确结果是 n ? 4008. 13.解析:n≥3, 运算到: an ? n ?1 n ? 2 2
∴ S110=-110.12.分析:事实上,仔细分析条件,你会发现 a2

五、 强化训练 1. 解析: 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+…+a5<a1+a2+…+a5+a6, ∴a6>0 又 S6=S7, ∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…

+a6+a7,∴a7=0.由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0.由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项
是 错 误 的 . . 答 案 : C2 .

an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

? (n ?1)an?1 , an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?


? (n ? 2)an?2 ,

两 式 相 减 , 得

S 6 ? (S n ? S n?6 ) ? 6(a1 ? an ) ? 36 ? (324? 144) ? 216 ,

a1 ? an ? 36



an ? n an?1 , 推广 an?1 ? (n ?1) an?2 ,

, a3 ? 3 a2 , 当 n=2 时, a2=a1 an ? n (n ? 1)(n ? 2)

3a2 ?

n! 。 2

点评:本题和原问题很相似,通过条件 an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 得到 an

? n an?1 , 结论成立的前提是 n≥2,因而只能

4

推广到 a3

? 3 a2 , 而不能推出 a2 ? 2 a1 . a2 , a1

的关系只能从条件中求得,因为原条件中容许 n=2,这是此类问题的实

最大。 17 解: (Ⅰ)由 a1

10 ? 9 15 ? 14 d ? 15 ? 20 ? d , 得 120 d ? ?200 , 即 质。 14 . [ 错解 ] 设公差为 d , ? S10 ? S15 , ?10 ? 20 ? 2 2 5 5 5 d ? ? , ? a n ? 20 ? ( n ? 1) ? , 当 an ? 0 时 , 20 ? (n ? 1) ? ? 0 , ? n ? 13 , ? 当 n ? 12 时 , S n 有最大值 3 3 3

? 1, a n ?1 ?

1 S n , n ? 1,2,3, ? , 得 3

S12 ? 130.[ 错因 ] 仅解不等式 an ? 0 是不正确的 , 应解 an ? 0, an?1 ? 0 .[ 正解 ] 由 a1 ? 20, S10 ? S15 , 解得公差
d ?? 5 3
,

? S10 ? S15 ,? a11 ? a12 ? a13 ? a14

? a15 ? 0,? 5a13 ? 0,? a13 ? 0

,

? d ? 0, a1 ? 0

,

? n ? 12, an ? 0, n ? 13, an ? 0 .所以,当 n ? 12 或 13 时, S n 有最大值为 S12 ? S13 ? 130.14.设等差数列{an}
的公差为 d,则 Sn=na1+

?7 a1 ? 21d ? 7, ?a1 ? 3d ? 1, 1 n(n-1)d.∴S7=7,S15=75,∴ ? 即? 解得 a1=-2,d 2 ?15a1 ? 105d ? 75, ?a1 ? 7 d ? 5,
}是等差数列,其首项为-2,公

=1.∴

Sn n

=a1+

S S n ?1 S n 1 1 1 ? ? ,∴数列{ n (n-1)d=-2+ (n-1) .∵ 2 2 n ?1 n 2 n

差为

1 2

S2 2 n?2 2 ?1 S 4a S1 ?1 , ∴ S ? 2 又 15. 证 ( I ) 由 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3 , … ) , 知 a2= S1=3a1, 2 ? 1 ? 2 , 1 n 1 2 2 1 1

1 1 1 S1 ? a1 ? . 3 3 3 1 1 4 a3 ? S 2 ? (a1 ? a 2 ) ? , 3 3 9 1 1 16 a 4 ? S 3 ? (a1 ? a 2 ? a3 ) ? . 3 3 27 1 1 由a n ?1 ? a n ? ( S n ? S n ?1 ) ? a n (n ? 2), 3 3 4 得a n ?1 ? a, (n ? 2), 3 1 1 4 又a 2 ? , 所以a n ? ( ) n ? 2 (n ? 2). 3 3 3 n ? 1, ?1, ? 所以, 数列{a n }的通项公式为a n ? ? 1 4 n ? 2 ( ) , n ? 2. ? ?3 3 a2 ?
(Ⅱ)由(I)可知 a2,a4,…,a2n,是首项为

1 4 , 公比为( 3 3

)2,项数为 n 的等比数列,

S n ?1 n?2 S n ? 1 ? 2 (n=1,2,3, an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3, …),则 Sn+1-Sn= Sn(n=1,2,3, …), ∴nSn+1=2(n+1)Sn, …).故数列{ n }是首项为 1, S n n n n

所以 a 2

? a 4 ? a6 ? ? ? a 2 n

1 ? ? 3

4 1 ? ( ) 2n 3 4 3 ? [( ) 2 n ? 1]. 4 7 3 1 ? ( )2 3

公比为 2 的等比数列 证( II) 由( I)知,
新疆 奎屯

王新敞

Sn ?1 S S ? 4 ? n ?1 (n ? 2) ,于是 Sn+1=4(n+1) · n ?1 =4an(n ? 2 ) 又 a2=3S1=3, 则 n ?1 n ?1 n ?1
新疆

18.若 10 ? 2n

? 0则n ? 5 , n ? 5时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?
? an ?

? | an |

S2=a1+a2=4=4a1, 因 此 对 于 任 意 正 整 数 n ≥ 1 都 有 Sn+1=4an

王新敞
奎屯

16 解 :( 1 )

12 ? 11 S12 ? 12 a1 ? d ?0 2



? a1 ? a2 ?

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an 2
2

?2a ? 11d ? 0 12 ? 13 24 S13 ? 13a1 ? d ? 0 ,即 ? 1 ? d ? ?3 。 ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 12 ,代入得: ? (2)解一: 2 7 ? a1 ? 6d ? 0
由 S12 所以 S6 最大。 解二、S n ? ? 6?a6 ? a7 ? ? 0 ,S13 ? 13a7 ? 0 可知:a6 ? 0 , a7 ? 0 ,

? 9n ? n 2 ? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n ? 9n ? 40故 Sn ? ? 2 ?n ? 9n ? 40

n?5 n?6

19.求和: (1) 解:∵ n(n+2)=n2+2n, ∴ 原式=(12+22+32+……+n2)+2×(1+2+3+……+n)

d 2 ? 5d ? n ? ?12 ? ?n , 2 2 ? ?
S6 最 大 。 解 三 、



?

24 ? d ? ?3 可 知 , 它 的 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 上 的 一 群 离 散 的 点 , 根 据 图 象 可 知 7
2

n( n ? 1)( 2n ? 7) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( . 2) S= sin 1? ? sin 2? ? sin 3? ? ?? ? sin 89? ,又 S= sin 89? ? sin 88? ? sin 87? ? ?? ? sin 1? , 6 89 1 2 3 n ∴ 2S=89, S= (.3) :设 S= Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? ? nCn , 2
= S= nCn
n n?1 n ?2 1 ? (n ? 1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? ? Cn

24 5d ? 24 13 d? 5d ? 24 ? d 5d ? 24 2 ? d ? ?3 得 6 ? ? 又抛物线开口向下,所以 Sn ? ? n ? ) ,由 ? ? ? ( 7 2d 2 2? 2d ? 2 2d

= nCn


0

1 2 n?1 , ? (n ? 1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? ? Cn

∴ 2S=

S6 n( Cn
0 1 2 n )=n·2n, ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn



S=n·2n 1. 5



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