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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第八章 第二节直线的交点坐标与距离公式



第二节 直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点
唯一解

无解

有无数组解

2.三种距离

点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间
的距离 点P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0的距离 两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+

By+C2=0间的距离

| P1P2 |?

_________________
| Ax 0 ? By0 ? C |
2 2 A ? B _______________

(x 2 ? x1 )2 ? (y2 ? y1 ) 2

d?

| C1 ? C2 | A ?B d=_________
2 2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx 0 ? b | .
1? k
2

)

(

)

(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的

距离.(

)

(4)若点A,B关于直线l :y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率 等于 ? , 且线段AB的中点在直线l上.(
1 k

)

【解析】(1)错误,当方程组有唯一解时两条直线相交,若方 程组有无穷多个解,则两条直线重合. (2)错误,应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一 般式,即本问题的距离为 | kx 0 ? y0 ? b | .
1? k2

(3)正确,因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,
即点到直线的距离.

(4)正确,因为线段AB被直线l垂直平分.
答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ (4)√

1.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等 于( (A) 2 (C) 2 ? 1
2

) (B) 2 ? 2 (D) 2 ? 1

【解析】选C.由 | a ? 2 ? 3 | ? 1 且a>0,得 a ? 2 ? 1.

2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点, 则点(m,n)可能是( (A)(1,-3) (C)(-3,1) ) (B)(3,-1) (D)(-1,3)
? x ? y ? 3, ? y ? 2,

y ? 2x, ? x ? 1, 【解析】选A.由 ? 得? ?

∴m+2n+5=0,∴点(m,n)可能是(1,-3).

3.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是( (A)(-a-1,-b-1) (C)(-a,-b) (B)(-b-1,-a-1) (D)(-b,-a)

)

【解析】选B.设对称点为(x′,y′),则
? y? ? b ? (?1) ? ?1, ? ? x? ? a 解得:x′=-b-1,y′=-a-1. ? ? x? ? a ? y? ? b ? 1 ? 0, ? 2 ? 2

4.已知A(a,-5),B(0,10),|AB|=17,则a=_______.
【解析】依题设及两点间的距离公式得:
(a ? 0)2 ? (?5 ? 10) 2 ? 17, 解得a=〒8.

答案:〒8

5.平行线l1:3x-2y-5=0与l2: y ? 3 x ? 3 之间的距离为_______.
2 4 3 【解析】直线l2可化为:3x-2y+ =0,由平行线间的距离公式 2 3 | ?5 ? | 2 ? 13 . d ? 得: 2 32 ? (?2) 2

答案: 13
2

考向 1

直线的交点

【典例1】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点, 且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标,再用点斜式 求解;也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点 的直线系方程求解.

?3x ? 2y ? 1 ? 0, 【规范解答】方法一:先解方程组 ? ?5x ? 2y ? 1 ? 0,

得l1,l2的交点坐标为(-1,2),

再由l3的斜率 求出l的斜率为 ? 5 ,
3

3 5

于是由直线的点斜式方程求出l:
5 y ? 2 ? ? (x ? 1),即5x+3y-1=0. 3

方法二:由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,
而l过l1,l2的交点(-1,2), 故5〓(-1)+3〓2+C=0,由此求出C=-1, 故l的方程为5x+3y-1=0.

方法三:由于l过l1,l2的交点,故l是直线系
3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0. 其斜率 ?
3 ? 5? 5 1 ? ? ,解得 ? ? , 2 ? 2? 3 5

代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.

【拓展提升】 1.两直线交点的求法

求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以
方程组的解为坐标的点即为交点.

2.常见的三大直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R 且m≠C). (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系 方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.

【变式训练】(1)已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0,
求证:无论a为何实数值,直线必过定点,并求出该定点的坐 标.

【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0, 它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系方程, 无论a取何值它都过两直线的交点,由
? x ? 2y ? 5 ? 0, ? x ? 3, 解得 ? ? ?2x ? 3y ? 18 ? 0, ? y ? 4.

所以直线过定点(3,4).

(2)当m为何值时,三条直线l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0, l3:2x-3my-4=0能围成一个三角形? 【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点 .
? 2 ? ?4, ? 1 2 ? 3m 当m≠0时,有 ? 解得:m ? ? 且m ? ? . 6 3 ? 2 ? ?1 , ? ? 3m

又因为l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0的交点为(1,-1), 所以2+3m-4≠0,解得 m ? 2 .
3

当m=0时,l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为 (2,-5),l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2),

能构成三角形,符合题意.
1 2 2 综上可知: m ? ? , 且m ? ? 且m ? . 6 3 3

考向 2

三种距离公式的应用

【典例2】(1)(2012·北京模拟)在△OAB中,O为坐标原点,

A(1,cos θ ),B(sin θ ,1),则△OAB的面积的取值范围
是( )
1 3 B [ ? ? ,] 2 2 1 3 ? D ?[ , ] 4 4

1] ? A ? (0,

? C ?[

1 3 ,] 4 2

(2)圆C:x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为
________. (3)已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行,且l1,l2之 间的距离为 5,求直线l1的方程.

【思路点拨】(1)利用两点间距离公式求出|OA|,再利用点到 直线的距离公式求出点B到直线OA的距离d.然后将S△OAB表示成 θ的函数再求范围. (2)利用几何性质,只需先求圆心到直线l的距离,再加上半径 即得. (3)先由l1∥l2,求出m的值,再根据l1,l2之间的距离为 5, 求出n 的值,即得l1的方程.

【规范解答】(1)选D.由两点间距离公式得 | OA |? cos 2? ? 1, 又直线OA的斜率 k OA ? cos ? ? 0 ? cos ?,
1? 0

∴直线OA的方程为y=xcos θ,即xcos θ-y=0, ∴点B(sin θ,1)到直线OA的距离d ? | sin ?cos ? ? 1|
1 1 ? sin 2? 2 ? , 2 1 ? cos ? 1 1 ? S OAB ? | OA | d ? 2 2
1 1 ? sin2?, 又? ? R, 2 4 1 3 ? ? S OAB ? . 4 4 ?

cos 2 ? ? 1

1 1 ? sin 2? 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ?

(2)圆C:x2+y2=4的圆心(0,0)到直线l:3x+4y-20=0的距离
d? 3 ? 0 ? 4 ? 0 ? 20 3 ?4
2 2

? 4>2,

∴直线l与圆C相离, ∴最大值为4+2=6. 答案:6

2 m ?m ? 4, ?m ? ?4, ?? 或? n ? ? 2 ? ?n ? 2.

m 8 n (3)∵l1∥l2, ? ? ? , ?1

①当m=4时,直线l1的方程为4x+8y+n=0,把l2的方程写成

4x+8y-2=0,? | n ? 2 | ? 5, 解得n=-22或n=18.
16 ? 64

所以,所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.

②当m=-4时,直线l1的方程为4x-8y-n=0,l2的方程为
| ?n ? 2 | 4x-8y-2=0, ? ? 5, 解得n=-18或n=22. 16 ? 64

所以,所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.

2 2 x y 【互动探究】本例题(2)中圆C变为椭圆C′: ? ? 1,则最大 16 9

值如何? 【解析】设与l:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线l′的方 程为:3x+4y+c=0(c≠-20),
?3x ? 4y ? c ? 0, 由? 消去y得关于x的一元二次方程为 ? x 2 y2 ? 16 ? 9 ? 1 ?

18x2+6cx+c2-144=0, ∴Δ=(6c)2-4〓18〓(c2-144)=0, 解得 c ? ?12 2.

数形结合得最大距离为l:3x+4y-20=0与3x+4y+ 12 2 =0间的距
|12 2 ? (?20) | 12 离, ? 4? 2. 2 2 3 ?4 5

【拓展提升】

1.三种距离的求法
(1)两点间的距离

设点A(xA,yA),B(xB,yB),
| AB |? (x A ? x B ) 2 ? (y A ? y B ) 2 .

特例:AB⊥x轴时,|AB|=|yA-yB|; AB⊥y轴时,|AB|=|xA-xB|.

(2)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程 必须为一般式. (3)两平行直线间的距离 ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任 意一点到另一条直线的距离; ②利用两平行线间的距离公式.

【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行
直线方程中x,y的系数必须相等.

2.解析几何中最值问题的两大求解思想
(1)函数思想:选变量构建目标函数,转化为求函数的最值 . (2)数形结合思想:利用待求量(式)的几何意义,数形结合求 解.

【变式备选】已知点A(2,-1),

(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程.
(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多

少?
(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线?若存在,求出方

程;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)当斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时, 原点到直线l的距离为2,符合题意; 当斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0,由已知得
3 4

| ?2k ? 1| k ?1
2

? 2,

解得 k ? ,此时直线l的方程为3x-4y-10=0, 综上可知:直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线,
由l⊥AO,得klkOA=-1,所以 k l ? ?
1 由直线的点斜式得 ? 2, k OA
| ?5 | ? 5. 5

y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,即直线2x-y-5=0是过点A且与原点 距离最大的直线l的方程,最大距离是

(3)由(2)可知,过点A不存在到原点距离超过 5 的直线,
因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.

考向 3

对称问题

【典例3】已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标.

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程.

【思路点拨】(1)设出对称点A′的坐标,利用线段AA′被直线

l垂直平分,构建方程组求解.
(2)可设法找到m′上两个点的坐标,再由两点式求出方程. (3)可设法找到两个点的坐标,即可求出直线l′的方程;或利 用对称性得l∥l′,利用待定系数法求直线l′的方程;也可在 l′上任取一点,利用该点关于点A的对称点在直线l上得出方程.

【规范解答】(1)设对称点A′的坐标为(m,n),由已知可得
33 ? ?n ? 2 2 m ? ? , ? ? ? 1 , ? ? 33 4 ? m ?1 3 ? 13 解得 即 A ? ( ? , ). ? ? 13 13 ?2 ? m ? 1 ? 3 ? n ? 2 ? 1 ? 0, ?n ? 4 , ? ? 13 2 2 ? ?

(2)在直线m上取一点,如B(2,0),则B关于l的对称点必 在m′上. 设对称点为B′(a,b),
b?0 ? a?2 2? ? 3? ? 1 ? 0, ? ? 2 2 则由 ? ? b ? 0 ? 2 ? ?1, ? ?a ? 2 3 得 B?( 6 , 30 ). 13 13

设m与l的交点为N,
由? ?
2x ? 3y ? 1 ? 0, ?3x ? 2y ? 6 ? 0,

得N(4,3).

又m′过N点,由两点式得直线m′的方程为
y?3 x?4 ? ,即9x-46y+102=0. 30 6 ?3 ?4 13 13

(3)方法一:在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).
则M,N关于点A的对称点M′,N′均在直线l′上.

易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l′的方程为
2x-3y-9=0.

方法二:∵l∥l′,∴可设l′的方程为2x-3y+c=0(c≠1).
∵点A到两直线的距离相等,∴由点到直线的距离公式得
| ?2 ? 6 ? c | 2 ? (?3)
2 2

?

| ?2 ? 6 ? 1| 2 ? (?3)
2 2

得c=-9, ,

∴l′的方程为2x-3y-9=0.

方法三:设P(x,y)是l′上任一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)
的对称点为P′(-2-x,-4-y). ∵点P′在直线l上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0. 整理得2x-3y-9=0. ∴l′的方程为2x-3y-9=0.

【拓展提升】
1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,
? x ? 2a ? x1, 则由中点坐标公式得 ? 进而求解. ? y ? 2b ? y1,

(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于 已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; ②求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式得到所求直线 方程.

2.轴对称问题的两个类型及求解方法

(1)点关于直线的对称:
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线

段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1P2的直线垂直于对称轴
y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 A( ) ? B( ) ? C ? 0, ? 2 2 ? l,由方程组 ? y ? y1 A ? 2 (? ) ? ?1 B ? x 2 ? x1 ?

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).

(2)直线关于直线的对称:
一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知 直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行 .

【变式训练】在△ABC中,BC边上的高所在的直线方程为
x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐 标为(1,2),求点A和点C的坐标.

【解析】如图,
由? ?
y ? 0, ? x ? 2y ? 1 ? 0, x ? ?1, 得? ? ? y ? 0,

∴A(-1,0).

∵y=0是∠A的平分线, ∴点B关于y=0的对称点B′(1,-2)在直线AC上, ∴直线AC的方程为
y ?2 即y=-x-1. ? ? ?1 , x ?1 1?1

又∵BC的方程为y-2=-2(x-1),即y=-2x+4. 由? ?
? x ? 5, 解得 ? ? y ? ?2x ? 4, ? y ? ?6. y ? ? x ? 1,

∴点C(5,-6). 综上,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(5,-6).

【创新体验】“距离”创新问题 【典例】(2013·长沙模拟)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在 函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为 ( (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 )

【思路点拨】

【规范解答】选A.设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0,
|AB|= 2 2. 由于△ABC的面积为2,则这个三角形中AB边上的 高h满足方程 1 ? 2 2h ? 2,即 h ? 2. 由点到直线的距离公式
2

2 得 2 ? | t ? t ? 2 |, 即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2. 2

因为这两个方程各有两个不相等的实数根,故这样的点 C有 4个 .

【思考点评】

1.方法感悟:本题充分体现了转化与化归思想和函数与方程思
想在解题中的应用,即通过转化将点C的个数问题转化为关于

点C的横坐标方程解的个数问题求解,这种将“形”转化为
“数”的思想方法值得我们仔细体会.

2.技巧提升:对于“距离”类创新问题,常见的类型有:求有 关长度或三角形面积的最值问题,或知长度、三角形面积情况 探究点的个数以及与圆位置有关的问题等,常用的思想方法有 数形结合、转化与化归及函数与方程思想 . “距离”的创新问题虽然问法新颖,但考查的还是距离公式的 应用,解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解 .

1.(2013·郑州模拟)若直线l与直线y=1和x-y-7=0分别交于点M, N,且MN的中点为P(1,-1),则直线l的斜率等于(
(A) 2 3 (B) ? 2 3 (C) 3 2 (D) ? 3 2

)

【解析】选B.设l与y=1交于点M(m,1),l与x-y-7=0交于点N(n+7, n). 由中点坐标公式得m=-2,n=-3,即M(-2,1), ∴kPM= ? .
2 3

2.(2013·成都模拟)直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程
为( ) (B)3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0

(A)3x+4y+5=0 (C)-3x+4y-5=0

【解析】选A.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.

3.(2013·泉州模拟)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方

程为(

)
(B)2x+y-4=0

(A)x+2y-5=0

(C)x+3y-7=0

(D)3x+y-5=0

【解析】选A.所求直线过点A且与OA垂直时满足条件,而

kOA=2,故所求直线的斜率为 ? , 所以所求直线方程为y-2=
1 ? (x ? 1), 即x+2y-5=0. 2

1 2

4.(2013·青岛模拟)如图,已知
A(4,0),B(0,4),从点P(2,0) 射出的光线经直线AB反射后再射 到直线OB上,最后经直线OB反射 后又回到P点,则光线所经过的路程是( (A) 2 10 (C) 3 3 (B)6 (D) 2 5 )

【解析】选A.由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),

关于y轴的对称点为C(-2,0), 则光线所经过的路程的长为 | CD |? 2 10. 故选A.

5.(2013·北京模拟)已知 1 ? 1 ? 1 (a>0,b>0),则点(0,b)
a b

到直线x-2y-a=0的距离的最小值为_______.

【解析】点(0,b)到直线x-2y-a=0的距离为
a ? 2b 1 1 1 1 2b a 1 d? ? ? a ? 2b ? ( ? ) ? (3 ? ? ) ? (3 ? 2 2) a b a b 5 5 5 5

3 5 ? 2 10 当a2=2b2且a+b=ab,即 a ? 1 ? 2,b ? 2 ? 2 时 ? , 2 5

取等号.
答案: 3 5 ? 2 10
5

1.已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,
且AB线段的中点为 (A)8 (B)9
10 则线段 P(0, ), AB的长为( a

)

(C)10

(D)11

【解析】选C.由已知两直线互相垂直得a=2,∴线段AB中点为 P(0,5),且AB为直角三角形AOB的斜边(O为两直线的交点), 由直角三角形的性质得|AB|=2|PO|=10.

2.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程
x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤ , 求这两条直线之间的距离 的最大值和最小值.
1 8

【解析】∵a,b是方程x2+x+c=0的两个实根, ∴a+b=-1,ab=c, ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c. 又∵两直线间的距离d ? | a ? b | ? 1 ? 4c (0 ? c ? 1 ),
2 2 8

∴这两条直线间的距离的最大值为 2 , 最小值为 1 .
2
2

1 2 ? ?d? , 2 2



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