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北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学理科



北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末试卷

高三数学(理科)2017.1
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x |

x2 ?1 ≤ 0} ,那么 A ? B ? (A) {x | 0 ? x ≤ 1} (C) {x | ?1 ≤ x ? 0} 2.下列函数中,定义域为 R 的奇函数是 (A) y ? x2 ? 1 3.已知双曲线 x ?
2

(B) {x | ?1 ≤ x ? 2} (D) {x |1 ≤ x ? 2}

(B) y ? tan x

(C) y ? 2x

(D) y ? x ? sin x

y2 ? 1 (b ? 0) 的一个焦点是 (2, 0) ,则其渐近线的方程为 b2
(B) 3x ? y ? 0 (D) 3x ? y ? 0

(A) x ? 3 y ? 0 (C) x ? 3 y ? 0

4.在极坐标系中,过点 P (2, ) 且平行于极轴的直线的方程是 (A) ? sin ? ? 1 (C) ? cos ? ? 1 (B) ? sin ? ? 3 (D) ? cos? ? 3

? 6

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 (A) 3 (B) 2 5 (C) 6 (D) 3 5

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6.设 a , b 是非零向量,且 a ? ? b .则“ | a | ? | b | ”是“ (a ? b) ? (a ? b) ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ≤ 3, ? 7.实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 ,则 a ? x ? y ? 6 ≥ 0. ?
的取值范围是 (A) [?1,0] (C) [?1,1] (B) [0,1] (D) (??, ?1] ? [1, ??)

8.在空间直角坐标系 O ? xyz 中,正四面体 P ? ABC 的顶点 A , B 分别在 x 轴, y 轴上移 动.若该正四面体的棱长是 2 ,则 | OP | 的取值范围是 (A) [ 3 ? 1, 3 ? 1] (C) [ 3 ?1, 2] (B) [1,3] (D) [1, 3 ? 1]

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第Ⅱ卷(非选择题
1? i ? ____. 1? i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数

10.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 ,则 an ? ____;

S6 ? ____.
11.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为____.

12.在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 c ? 3 , C ?

? , 3

sin B ? 2sin A ,则 a ? ____.
? 0 ≤ x ≤ a, ? x, 其中 a ? 0 . ? ?log3 x, x ? a,

13.设函数 f ( x) ? ?

① 若 a ? 3 ,则 f [ f (9)] ? ____; ② 若函数 y ? f ( x) ? 2 有两个零点,则 a 的取值范围是____.

14.10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) .规定两人对局胜者得 2 分,平 局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后,10 名选手的得 分各不相同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 ____.

4 .则第二名选手的得分是 5

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2? x ? ) ? 2 cos 2 ? x ? 1 ( ? ? 0) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,

π 6

7π ] 上的最大值和最小值. 12

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AD // BC , ?BAD ? 90 , PA ? PD , AB ? PA ,
?

AD ? 2 , AB ? BC ? 1 .
(Ⅰ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 E 为 PD 的中点,求证: CE // 平面 PAB ; (Ⅲ)若 DC 与平面 PAB 所成的角为 30 ,求四棱锥
P - ABCD 的体积.
?

17. (本小题满分 13 分) 手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之 间所能维持的时间称为手机的待机时间. 为了解 A,B 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取 A,B 两 个型号的手机各 7 台,在相同条件下进行测试,统计结果如下: 手机编号 1 2 125 123 3 122 127 4 124 120 5 124 124 6 123 a 7 123 b

A 型待机时间(h) 120 B 型待机时间(h) 118 其中,a,b 是正整数,且 a ? b .

(Ⅰ)该卖场有 56 台 A 型手机,试估计其中待机时间不少于 123 小时的台数; (Ⅱ)从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台,记待机时间大于 123 小时的台数为 X,求 X 的分布列; (Ⅲ)设 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手机待机 时间的方差最小时,写出 a,b 的值(结论不要求证明).

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18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a ? sin ( x ?1) ,其中 a ? R . (Ⅰ)如果曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率是 ?1 ,求 a 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 (0,1) 上为增函数,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知直线 l : x ? t 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A , B 两点, M 是椭圆 C 上一点. 4 2

(Ⅰ)当 t ? 1 时,求△ MAB 面积的最大值; (Ⅱ)设直线 MA 和 MB 与 x 轴分别相交于点 E , F , O 为原点.证明:| OE | ? | OF | 为定值.

20. (本小题满分 13 分) 数字 1, 2,3,?, n 成的集合. 集合 An ? {(a1 , a2 ,?, an ) ? Sn | 任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j} ;集 合 Bn ? {(a1 , a2 ,?, an ) ? Sn | 任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j} . (Ⅰ)用列举法表示集合 A3 , B3 ; (Ⅱ)求集合 An ? Bn 的元素个数; (Ⅲ)记集合 Bn 的元素个数为 bn .证明:数列 {bn } 是等比数列.

(n ≥ 2) 的任意一个排列记作 (a1, a2 ,?, an ) ,设 Sn 为所有这样的排列构

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北京市西城区 2016 — 2017 学年度第一学期期末

高三数学(理科)参考答案及评分标准
2017.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.C 2.D 6.C 7.C 3 .B 8.A 4 .A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 10. 2 n ?1 ; 63 11. ?3 12. 3 13. 2 ; [4,9) 14. 16 注:第 10,13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分)
2 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin(2? x ? ) ? (2 cos ? x ? 1)

π 6

? (sin 2? x cos

π π ? cos 2? x sin ) ? cos 2? x [4 分] 6 6

?

3 1 sin 2? x ? cos 2? x 2 2

π ? sin(2? x ? ) ,[6 分] 6
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 解得 ? ? 1 .[7 分] (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin(2 x ? 因为 0 ≤ x ≤ 所以,当 2 x ?

2π ?π, 2? π ). 6

7π π π 4π ,所以 ≤ 2 x ? ≤ .[9 分] 12 6 6 3

π π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值为 1;[11 分] 6 6 2

当 2x ?

3 7π π 4π ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值为 ? . [13 分] 12 6 3 2

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16. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 ?BAD ? 90? ,所以 AB ? AD ,[1 分] 又因为 AB ? PA , 所以 AB ? 平面 PAD .[3 分] 所以平面 PAD ? 平面 ABCD .[4 分] (Ⅱ)取 PA 的中点 F ,连接 BF , EF .[5 分] 因为 E 为 PD 的中点,所以 EF //AD , EF ? 1 AD , 2 又因为 BC //AD , BC ? 1 AD , 2 所以 BC //EF , BC ? EF . 所以四边形 BCEG 是平行四边形, EC //BF .[7 分] 又 BF ? 平面 PAB , CE ? 平面 PAB , 所以 CE // 平面 PAB .[8 分] (Ⅲ)过 P 作 PO ? AD 于 O ,连接 OC . 因为 PA ? PD ,所以 O 为 AD 中点,又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD . 如图建立空间直角坐标系 O - xyz .[9 分] 设 PO ? a .由题意得, A(0,1,0) , B (1,1, 0) , C (1,0,0) , D(0, ?1,0) , P(0,0, a) . 所以 AB ? (1,0,0) , PA ? (0,1, ?a) , DC ? (1,1,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
? ? ?? ? n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? ?? ? ? y ? az ? 0. ? n ? PA ? 0, ?
?? ? ?? ? ?? ?

令 z ? 1 ,则 y ? a .所以 n ? (0, a,1) .[11 分] 因为 DC 与平面 PAB 所成角为 30? , 所以 | cos? n, DC ? |? 解得 a ? 1 .[13 分]
?? ?

| n ? DC | | n || DC |
?? ?

?? ?

?

|a| a +1 ? 2
2

=sin 30? ?

1 , 2

1 1 1? 2 1 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP? ABCD ? ? S ABCD ? PO ? ? ?1?1 ? .[14 分] 3 3 2 2

第 7 页共 11 页

17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时,因此,估计 56 台 A 型 手机中有 56 ?
5 ? 40 台手机的待机时间不少于 123 小时.[3 分] 7

(Ⅱ)X 可能的取值为 0,1, 2,3 .[4 分]
P( X ? 0) ?
3 C1 12 1 1 3 C4 P ( X ? 1) ? ? ; ; ? 4 4 35 35 C7 C7 2 2 C3 C4 18 C3 4 4 ? P ( X ? 3) ? ? .[8 分] ; 4 4 35 C7 C7 35

P( X ? 2) ?

所以,X 的分布列为: X P 0
1 35

1
12 35

2
18 35

3
4 35

[10 分] (Ⅲ)若 A,B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等,当 B 型号被测试手机的 待机时间的方差最小时, a ? 124 , b ? 125 .[13 分]

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) ,[1 分] 导函数为 f ?( x) ?

1 ? a ? cos( x ? 1) .[2 分] x

因为曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率是 ?1 , 所以 f ?(1) ? ?1 ,即 1 ? a ? ?1 ,[3 分] 所以 a ? 2 .[4 分] (Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上为增函数, 所以对于任意 x ? (0,1) ,都有 f ?( x) ? 因为 x ? (0,1) 时, cos( x ? 1) ? 0 ,

1 ? a ? cos( x ? 1) ≥ 0 .[6 分] x

第 8 页共 11 页

所以 f ?( x) ?

1 1 ? a ? cos( x ? 1) ≥ 0 ? a ≤ .[8 分] x x ? cos( x ? 1)

令 g ( x) ? x ? cos( x ? 1) ,所以 g ?( x) ? cos( x ? 1) ? x ? sin ( x ? 1) .[10 分] 因为 x ? (0,1) 时, sin ( x ? 1) ? 0 , 所以 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 .[12 分] 所以 a ≤ 1 . 即 a 的取值范围是 (? ?,1] .[13 分]

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)将 x ? 1 代入 解得 y ? ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

6 ,所以 | AB | ? 6 .[2 分] 2

当 M 为椭圆 C 的顶点 ? ?2,0 ? 时, M 到直线 x ? 1 的距离取得最大值 3 ,[4 分]

所以△ MAB 面积的最大值是

3 6 .[5 分] 2

(Ⅱ)设 A, B 两点坐标分别为 A ? t , n ? , B ? t , ?n ? ,从而 t 2 ? 2n 2 ? 4 .[6 分] 设 M ? x0 , y0 ? ,则有 x0 ? 2 y0 ? 4 , x0 ? t , y0 ? ?n .[7 分]
2 2

直线 MA 的方程为 y ? n ?

y0 ? n ( x ? t ) ,[8 分] x0 ? t

令 y ? 0 ,得 x ?

ty0 ? nx0 ty ? nx0 ,从而 OE ? 0 .[9 分] y0 ? n y0 ? n

直线 MB 的方程为 y ? n ?

y0 ? n ( x ? t ) ,[10 分] x0 ? t

令 y ? 0 ,得 x ?

ty0 ? nx0 ty ? nx0 ,从而 OF ? 0 .[11 分] y0 ? n y0 ? n

第 9 页共 11 页

所以 OE ? OF =

2 2 ty0 ? nx0 ty0 ? nx0 t 2 y0 ? n2 x0 ? = 2 y0 ? n y0 ? n y0 ? n2

? 4 ? 2n ? y =
2

2 0

2 ? n2 ? 4 ? 2 y0 ?

2 y0 ? n2

[13 分]

=

4 y0 2 ? 4n2 y0 2 ? n2

= 4.
所以 OE ? OF 为定值.[14 分]

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) A3 ? {(1, 2,3)} , B3 ? {(1, 2,3),(1,3, 2),(2,1,3),(3, 2,1)} .[3 分] (Ⅱ)考虑集合 An 中的元素 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) . 由已知,对任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j , 所以 (ai ? i) ? i ? (a j ? j ) ? j , 所以 ai ? a j . 由 i , j 的任意性可知, (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 是 1, 2,3,?, n 的单调递增排列, 所以 An ? {(1, 2,3,?, n)} .[5 分] 又因为当 ak ? k (k ? N* , 1≤ k ≤ n ) 时,对任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n , 都有 ai ? i ≤ a j ? j . 所以 (1, 2,3,?, n) ? Bn ,所以 An ? Bn .[7 分] 所以集合 An ? Bn 的元素个数为 1.[8 分] (Ⅲ)由(Ⅱ)知, bn

?0. ?2.

因为 B2 ? {(1, 2),(2,1)} ,所以 b2

当 n ≥ 3 时,考虑 Bn 中的元素 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) .

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(1)假设 ak ? n (1 ≤ k ? n) .由已知, ak ? k ≤ ak ?1 ? (k ? 1) , 所以 ak ?1 ≥ ak ? k ? (k ? 1) ? n ?1 , 又因为 ak ?1 ≤ n ?1 ,所以 ak ?1 ? n ? 1 . 依此类推,若 ak ? n ,则 ak ?1 ? n ? 1 , ak ?2 ? n ? 2 ,?, an ? k . ① 若 k ? 1 ,则满足条件的 1, 2,3,?, n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 1 个. ② 若 k ? 2 ,则 a2 ? n , a3 ? n ?1 , a4 ? n ? 2 ,?, an ? 2 . 所以 a1 ? 1 . 此时满足条件的 1, 2,3,?, n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 1 个. ③ 若2 ? k ? n, 只 要 (a1 , a2 , a3? , k a ?
1

是 ) 1, 2,3,?, k ? 1 的 满 足 条 件 的 一 个 排 列 , 就 可 以 相 应 得 到

1, 2,3,?, n 的一个满足条件的排列.
此时,满足条件的 1, 2,3,?, n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 bk ?1 个.[10 分] (2)假设 an ? n ,只需 (a1 , a2 , a3 ,?an?1 ) 是 1, 2,3,?, n ? 1 的满足条件的排列,此时满足条 件的 1, 2,3,?, n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 bn ?1 个. 综上 bn 因为 b3

? 1 ? 1 ? b2 ? b3 ? ?? bn?1 , n ≥ 3 .

? 1 ? 1 ? b2 ? 4 ? 2b2 , ? (1 ? 1 ? b2 ? b3 ? ?? bn?2 ) ? bn?1 ? 2bn?1 ,[12 分]
bn ? 2. bn ?1

且当 n ≥ 4 时, bn

所以对任意 n ? N* , n ≥ 3 ,都有

所以 {bn } 成等比数列.[13 分]

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