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高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.14定积分与微积分基本定理课件 新人教A版



[知识能否忆起] 1.定积分的性质
(1) 1dx= b-a ;
a
?b
?b ? ? ?

(2)? kf(x)dx= ?
a
?b ? ? ?

?

k f(x)dx
?b ? ? ?a

?b ? ? ?a

r />(k为常数);
f1(x)dx± f2(x)dx
?b ? ? ?a

(3) [f1(x)± f2(x)]dx=
a
?b ? ? ?



(4) f(x)dx= f(x)dx+ c f(x)dx (其中a<c<b).
a a

?c ? ? ?

?b ? ? ?

2.定积分的几何意义

[动漫演示更形象,见配套课件]
?b ? ? ?

(1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积[图1中阴影部分].

a

(2)一般情况下,定积分

?b ? ? ?a

f(x)dx的几何意义是介于x

轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积 的代数和[图2中阴影所表示],其中在x轴上方的面积等 于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上 积分值的相反数.

3.微积分基本定理
一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x),那么 f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微 积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.
?b ? ? ?a

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.
b 为了方便,常把F(b)-F(a)记作 F(x) |a

,即

?b ? ? ?

a

f(x)dx=

F(x) |b=F(b)-F(a). a

4.定积分的应用

(1)平面图形的面积: 一般地,设由曲线y=f(x),y=g(x)以及直线x=a,x =b所围成的平面图形的面积为S,则
b ∫af(x)dx-∫bg(x)dx(f(x)>g(x)) a S=



(2)简单几何体的体积 若几何体是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所 围成的区域绕x轴旋转一周得到的,则其体积为V= ∫ π[f(x)]2dx.
b a

[小题能否全取]
?4 ? ? ?2

1 1. xdx等于
A.-2ln 2 C.-ln 2
?4 ? ? ?

(
B.2ln 2 D.ln 2

)

1 解析: xdx=ln x |4=ln 4-ln 2=ln 2. 2 2 答案:D

2.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是 (
A.S=∫1(x2-x)dx 0 C.S=∫1(y2-y)dy 0 B.S=∫1(x-x2)dx 0 D.S=∫1(y- y)dy 0

)

答案:B
1 3.(2011· 福建高考)∫0(ex+2x)dx等于

(

)

A.1 C.e

B.e-1 D.e+1

解析: ∫1(ex+2x)dx=(ex+x2)| 1=(e1+1)-e0=e. 0 0

答案:C

4.若∫1f(x)dx=1,∫2f(x)dx=-1,则∫2f(x)dx= 0 0 1 ________.
1 解析:∵∫2f(x)dx=∫0f(x)dx+∫2f(x)dx, 0 1

∴∫2f(x)dx=∫2f(x)dx-∫1f(x)dx=-1-1=-2. 1 0 0

答案:-2

5.(2012· 山东高考)设a>0,若曲线y= x与直线x=a,y= 0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.
解析:由已知得 S= 2 4 = ,所以 a= . 3 9
4 答案: 9
?a ? ? ?

0

1 2 3a 2 3 2 xdx= x |0= a =a ,所以 a 2 3 2 3 2

1.利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求

定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找
被积函数f(x)的一个原函数F(x),其过程实际上是求导 运算的逆运算,即运用基本初等函数求导公式和导数 四则运算法则从反方向上求出F(x). 2.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注

意:面积非负,而定积分的结果可以为负.

[例1]
?2 ? ? ?

求下列函数的定积分.
?π ? ? ?

(1) (x2+2x+1)dx;(2) (sin x-cos x)dx;
1 0

(3) |3-2x|dx.
1

?2 ? ? ?

[自主解答]
?2 ? ? ?1 ?2 ? ? ?1

(1) (x +2x+1)dx= x2dx+
1 1

?2 ? ? ?

2

?2 ? ? ?

x3 2 19 |1+x2 |2+x |2= . 2xdx+ 1dx= 1 1 3 3
?π ? ? ?0 ?π ? ? ?0 ?π ? ? ?0

(2) (sin x-cos x)dx= sin xdx- cos xdx= (-cos x) |π-sin x |π=2. 0 0

3 3 (3) |3-2x|dx=∫ 1|3-2x|dx+?2 |3-2x|dx ? 2 2 3 3 =∫ 1(3-2x)dx+?2 (2x-3)dx ? 2 2 3 2 23 =(3x-x ) | 1+(x -3x) | 2 2
2

?2 ? ? ?1

1 = . 2

应用微积分基本定理求定积分 下两步进行:

?b ? ? ?a

f(x)dx时,可按以

第一步:求使F′(x)=f(x)成立的F(x); 第二步:计算F(b)-F(a).

1.求下列定积分. (1) (4x3+3x2-x)dx; (2) |1-x|dx.
解:(1) (4x3+3x2-x)dx
0
?2 ? ? ?

?2 ? ? ?0 ?2 ? ? ?0

= (4x3)dx+ (3x2)dx- xdx
0 0 0

?2 ? ? ?

?2 ? ? ?

?2 ? ? ?

1 2 4 2 |0+x3 |2- x2 |0 =x 0 2

1 2 =(2 -0)+(2 -0)- (2 -0) 2
4 3

=16+8-2=22.

(2) |1-x|dx= (1-x)dx+ (x-1)dx
0 0 1

?2 ? ? ?

?1 ? ? ?

?2 ? ? ?

? ? 1 2? 1 ?1 2 =?x-2x ? |0+?2x -x? |2 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? 1? 2 2 =?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1?=1. ? ? ? ? ? ?

[例2]

(2012· 上海高考)已知函数y=f(x)的图象是折
?1 ? ? ,1? ?2 ?

线段ABC,其中A(0,0)、B

、C(1,0).函数y=

xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为 ________.

[自主解答]

1 ? ?2x,0≤x<2, 由题知y=f(x)=? ?2-2x,1≤x≤1, 2 ?

1 ? 2 ?2x ,0≤x<2, 则y=xf(x)= ? 故函数y=xf(x) ?2x-2x2,1≤x≤1, 2 ? 1 1 2 的图象与x轴围成的图形的面积S= ∫ 0 2x dx+ ?1 (2x- ? 2 2 2 3 1 ? 2 2 3 ? 11 1 2 2x )dx= x | 20+?x -3x ?| 2= . 3 4 ? ? 1 [答案] 4

在本例条件下,求y=f(x)(0≤x≤1)的图像与x轴所围 成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积.
解: 所求体积为 V=∫ π(2x) dx+∫1 π(2-2x)2dx
2
? ? 2 2 =4π??∫ x dx+∫1? ?1-2x+x ?dx??

1 2 0

1

1 2 0

1

2

2

? =4π? ? ?

?x3?? 1 ? ?? 2 ? 3 ?? 0

? +?x-x2+ ? ?

1 3 x 3

?? ?? ?? ??

1
1 2

? ? π ?=3 . ?

利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图; (2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分 的上、下限; (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差;

(4)计算定积分,写出答案.

2.(1)(2012· 东北三校联合模拟)由曲线y=2x2,直线y= -4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为 ________.
(2)(2012· 合肥模拟)计算∫1 1-x2dx=________. 0

解析:(1)由

?y=2x2, ? ? ?y=-4x-2, ?

解得x=-1,依题意可
?1 ?

得,所求的封闭图形的面积为
?2 ? 3 2 ? x +2x +2x? ?3 ?
|
-1

-1 (2x2+4x+2)dx= -

1



?2 ? 3 2 ? ×1 +2×1 +2×1? ?3 ?

?2 ? 16 3 2 ? ×?-1? +2×?-1? +2×?-1??= . 3 ?3 ?

(2)令y= 1-x2, 则y2=1-x2(y≥0), 即x2+y2=1(y≥0), 其图形为在x轴上方的半圆,如图, 则∫1 1-x2dx的值为阴影部分的面积, 0 1 π 2 所以所求值为 ×π×1 = . 4 4 16 π 答案:(1) (2) 3 4

[例3]

(2012· 广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/s)的速

度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前 方5 m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发 后物体A追上物体B所用的时间t(s)为 A.3 B.4 ( )

C.5

D.6

[自主解答]

因为物体A在t0秒内行驶的路程为

∫ t00(3t2+1)dt,物体B在t0秒内行驶的路程为 ∫ t0010tdt, 所以 ∫ t00(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) | t00=t03+t0- 5t2=5 0
2 ?(t0-5)(t0+1)=0,即t0=5.

[答案]

C

利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功 问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和

变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积
分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.

3.设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运 动到x=10,已知F(x)=x2+1且方向和x轴正向相 同,则变力F(x)对质点M所做的功为______ J(x的单 位:m,力的单位:N).
解析:变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运 动到x=10所做的功为
10 W=∫1 F(x)dx=∫10(x2+1)dx 1

?1 3 ? 10 =?3x +x? |1 =342(J). ? ?

答案:342

[典例]

(2013· 济南调研)曲线y=sin x(-π≤x≤2π)与x
( )

轴所围成的封闭区域的面积为 A.0 C.-2 B.2 D.6

[尝试解题]
??π ? ?? sin ??0

先求[0,π]上的面积:
π x|0 |=2.

? xdx?=|-cos ?

因为三块区域的面积相等,都是2,故总面积为6. [答案] D

1.解答本题易犯的错误是直接求
| 2? sin xdx |? 2, 或利用? 2? sin xdx ? ? cos x |2? ? 0 ,其结果都是错误的. ?? ?? ? ??

2.解决此类问题由于作图不准确,致使被积函数或 积分区间错误,从而结果出错,因此解题时,必须正确 作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形.

?针对训练 求曲线y= x,直线y=-x+2及x轴所围成的图形的面积.
解:如图所示,由y= x 及y=-x+2

可得x=1.由定积分的几何意义可知, 由y= x,y=-x+2及x轴所围成的封 闭图形的面积为 ∫ 2 f(x)dx= ∫ 1 xdx+ 0 0 x2?2 2 31 ? 2 ∫1(-x+2)dx= x 0+?2x- ?1 2? 3 2 ? 7 = . 6

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(1)= 1 1 4,f′(1)=1, ∫ 0 f(x)dx=3 ,则函数f(x) 6 的解析式为_______.
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(十七)”

解析:由题意知f(1)=a+b+c=4, f′(1)=2a+b=1. 1 1 1 2 又由∫0f(x)dx=∫0(ax +bx+c)dx=3 , 6 a b 1 知 + +c=3 3 2 6

① ②



①②③联立,解得a=-1,b=3,c=2,从而所求的函数 f(x)的解析式为f(x)=-x2+3x+2.

答案:f(x)=-x2+3x+2

2.(2012· 广州一测)已知2≤ 取值范围为________.
解析:
?2 ? ? ?1

?2 ? ? ?

1

(kx+1)dx≤4,则实数k的

(kx+1)dx=

?1 ? 2 ? kx +x? | 2 1 ?2 ?

1 = k×4+2- 2

?1 ? ? k×1+1? ?2 ?

3 3 = k+1,故原不等式等价于2≤ k+ 2 2

?2 ? 2 1≤4,解得 ≤k≤2,故k的取值范围为?3,2?. 3 ? ?

?2 ? 答案:?3,2? ? ?

3.如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在 点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所转成的图 形的面积.
解:由题意,知抛物线y=-x2+4x-3在点A处的切线 斜率是k1=y′ |x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y′ |x
=3

=-2.因此,抛物线在点A处的切线方程为y=4x-

3,在点B处的切线方程为y=-2x+6.

?y=4x-3, ? 设两切线相交于点M,由 ? ?y=-2x+6 ?

3 消去y,得x= ,即 2

3 点M的横坐标为 . 2 ? 3? 在区间 ?0,2? 上,直线y=4x-3在曲线y=-x2+4x-3的上 ? ? ?3 ? 方;在区间 ?2,3? 上,直线y=-2x+6在曲线y=-x2+4x ? ? -3的上方.因此,所求的图形的面积是 3 33 2 S= ∫ 0 [(4x-3)-(-x +4x-3)]dx+ ∫ [(-2x+6)-(- 2 2 3 2 3 2 9 9 9 2 x +4x-3)]dx=∫20x dx+?32(x -6x+9)dx= + = . ? 8 8 4



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