9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

安庆一中学霸整理极值点偏移问题专1



极值点偏移问题专题 已知函数 f ( x) ? x ln x ?

k (k ? R) ,其图像与 x 轴交于不同两点 A( x1,0), B( x2 ,0) ,且 x

x1 ? x2 .
(1) 求实数 k 的取值范围; (2) 证明: x1 ? x2 ?

2 。 e

极值点偏

移问题的不等式解法 我们熟知平均值不等式: a, b ? R?

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2

即 “调和平均数” 小于等于 “几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平 方平均值” 等号成立的条件是 a ? b . 我们还可以引入另一个平均值:对数平均值:
a ?b ln a ? ln b

那么上述平均值不等式可变为:对数平均值不等式
a ?b a?b < ?a ? b, a ? b , ab< ln a ? ln b 2

以下简单给出证明: 不妨设 a ? b ,设 a ? bx ,则原不等式变为:

?x ? 1,

2( x ? 1) x ?1 ? ln x ? x ?1 x

以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不等式的作用. 题目 1: (2015 长春四模题)已知函数 f ( x) ? e x ? ax 有两个零点 x1 ? x2 ,则下列 说法错误的是 A. a ? e B. x1 ? x2 ? 2 C. x1 x2 ? 1 D.有极小值点 x0 ,且

x1 ? x2 ? 2 x0
【答案】C 【解析】函数 f ( x ) 导函数:

f '( x) ? e x ? a
有极值点 x ? ln a ,而极值 f (ln a ) ? a ? a ln a ? 0 ,?a ? e ,A 正确.

f ( x ) 有两个零点: e x1 ? ax1 ? 0 , e x2 ? ax2 ? 0 ,即:
x1 ? ln a ? ln x1 ① x2 ? ln a ? ln x2 ②
①-②得:

x1 ? x2 ? ln x1 ? ln x2
根据对数平均值不等式:

x1 ? x2 x1 ? x2 ? ? 1 ? x1 x2 2 ln x1 ? ln x2

? x1 ? x2 ? 2 ,而 1 ? x1 x2 ,? x1 x2 ? 1 B 正确,C 错误
而①+②得: x1 ? x2 ? 2ln a ? ln x1x2 ? 2ln a ,即 D 成立. 题目 2: (2011 辽宁理)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x . 若函数 y ? f ? x ? 的图像与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0 , 证明:

f ' ? x0 ? ? 0

【解析】原题目有 3 问,其中第二问为第三问的解答提供帮助,现在我们利用不 等式直接去证明第三问: 设 A( x1, f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) , x1 ? x2 ,则 x0 ?
x1 ? x2 , 2

2 ln x1 ? ax1 ? (2 ? a) x1 ? 0 ① 2 ln x2 ? ax2 ? (2 ? a) x2 ? 0 ②

①-②得: ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? (2 ? a)( x1 ? x2 ) ? 0 ,化简得:

1 x1 ? x2 ? ? 0③ a( x1 ? x2 ) ? (2 ? a ) ln x1 ? ln x2
而根据对数平均值不等式:

x1 ? x2 x ?x ? 1 2 ln x1 ? ln x2 2
③等式代换到上述不等式

1 x ?x 1 ? 1 2? ? x0 ④ a( x1 ? x2 ) ? (2 ? a ) 2 2ax0 ? (2 ? a )
根据: 2ax0 ? (2 ? a) x0 ? 0 (由③得出)∴④式变为:
2 2ax0 ? (2 ? a) x0 ?1 ? 0 ? (2x0 ? 1)(ax0 ?1) ? 0

∵ (2 x0 ? 1) ? 0 ,∴ x0 ?

1 ,∴ x0 在函数单减区间中,即: a

? f '( x0 ) ? 0

题 目 3 : (2010 天 津 理 ) 已 知 函 数 f ? x? ? x ? ex

? x ? R? . 如 果

x1 ? x2 , 且

f ? x1 ? ? f ? x2 ? .
证明: x1 ? x2 ? 2 . 【解析】原题目有 3 问,其中第二问为第三问的解答提供帮助,现在我们利用不 等式直接去证明第三问: 设 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? c ,则
x1 x ? c , x22 ? c , ( x1 ? x2 ) 两边取对数 x1 e e

ln x1 ? x1 ? ln c ① ln x2 ? x2 ? ln c ②
①-②得:

x1 ? x2 ?1 ln x1 ? ln x2
根据对数平均值不等式

x1 ? x2 x1 ? x2 ? ?1 2 ln x1 ? ln x2

? x1 ? x2 ? 2
题目 4: (2014 江苏南通市二模)设函数 f ? x ? ? ex ? ax ? a 轴交于 A? x1,0? B ? x2 ,0? 两点,且 x1 ? x2 . 证明: f ?

?a ? R? ,其图象与 x

?

x1 x2 ? 0 ( f ? ? x ? 为函数 f ? x ? 的导函数).

?

【解析】根据题意: ex1 ? ax1 ? a ? 0 , ex2 ? ax2 ? a ? 0 移项取对数得:

x1 ? ln( x1 ? 1) ? ln a ①
x2 ? ln( x2 ? 1) ? ln a ②
①-②得: x1 ? x2 ? ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1) ,即:

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ?1 ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1)
根据对数平均值不等式:

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ?1 ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1)

?( x1 ?1)( x2 ?1) ? 1 ? ln( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0 ,①+②得: x1 ? x2 ? 2ln a ? ln( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2ln a
根据均值不等式:
x1 x2 ? x1 ? x2 ? ln a 2

∵函数 f ( x ) 在 ( ??,ln a) 单调递减 ∴ f '( x1 x2 ) ? 0 题目 5:已知函数 f ( x) ? x ln x 与直线 y ? m 交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点. 求证: 0 ? x1 x2 ?
1 e2

【解析】由 x1 ln x1 ? m , x2 ln x2 ? m ,可得:

x1 ?
①-②得:
x1 ? x2 ? m(

m m ①, x2 ? ② ln x1 ln x2

ln x2 ? ln x1 x1 ? x2 ?m ③ )? ? ln x1 ln x2 ln x1 ? ln x2 ln x1 ln x2

①+②得:

x1 ? x2 ?
根据对数平均值不等式

m(ln x2 ? ln x1 ) ④ ln x1 ln x2

x1 ? x2 ?m ? ( x1 ? x2 ) 2 ln x1 ? ln x2

利用③④式可得:

m(ln x1 ? ln x2 ) ?m ? 2ln x1 ln x2 ln x1 ln x2
由题于 y ? m 与 y ? x ln x 交于不同两点,易得出则 m ? 0 ∴上式简化为:

ln( x1 ? x2 ) ? ?2 ? ln e?2
∴ 0 ? x1 x2 ?
1 e2

不等式恒成立问题专题 已知函数 g ( x) ? ax ? x ? x(a为实数) .
3 2

(1) 讨论函数 g ( x) 的单调性; (2) 若 ?x ? (0, ??) 恒有 g ( x) ? ln x ?

1 , 求实数a的取值范围。 x



更多相关文章:
安庆一中学霸整理极值点偏移问题专1
安庆一中学霸整理极值点偏移问题专1_数学_高中教育_教育专区。极值点偏移问题专题 已知函数 f ( x) ? x ln x ? k (k ? R) ,其图像与 x 轴交于不同...
安庆一中学霸整理极值点偏移整理笔记
安庆一中学霸整理极值点偏移整理笔记_数学_高中教育_教育专区。19、 (本题满分 ...也谈谈极值点偏移问题_王... 暂无评价 3页 1下载券 1-高中英语笔记_知识点...
更多相关标签:
极值点偏移    极值点偏移问题    导数应用之极值点偏移    极值偏移    什么是极值点偏移    高考极值点偏移问题    导数极值点偏移问题    极值点偏移构造函数    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图