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高一数学试题



2011—2012 学年度上学期高一数学期中试题
第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? {1,3}, 集合 B ? {1, 2, 4

,5} ,则集合 A ? B ? A.{1,3,1,2,4,5} C. {1, 2,3, 4,5} 2.化简 ( A.
27 ? 1 ) 3 的结果是 125





B. {1} D. {2,3, 4,5} ( )

3 5
a

B.

5 3

C.3

D.5 ( )

3.若幂函数 f ? x ? ? x 在 ? 0, ??? 上是增函数,则 A. a >0 B. a <0 4.与 y ?| x | 为同一函数的是 A. y ? ( x ) 2 B. y ? x 2 C. a =0 C. y ?

?

D.不能确定 ( ) D. y ? aloga x

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

5.设 f ( x) ? 3x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0在x ? (1,2) 内近似解的过程中, 计算 得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间 A. (1,1.25) C. (1.5,2) 6.下列各式错误 的是 .. A. 30.8 ? 30.7 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1 B. (1.25,1.5) D.不能确定 ( B. log0.5 0.4 ? log0.5 0.6 D. lg1.6 ? lg1.4 ) ) ( )

7.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 2 ,且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为 ( A.4 B.0
2

C.2m

D. ? m ? 4 ( )

8.函数 y ? log0.6 (6 ? x ? x ) 的单调增区间是

A. ? ? ? , ? 2

? ?

1? ?

B. ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

C. ? ? 2, ? 2

? ?

1? ?

D. ? ,3 ? ( )

?1 ? ?2 ?

9.函数 y ?

?1 ? 1 的图象是下列图象中的 x ?1

10.定义集合 A、B 的一种运算: A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B},若 A ? {1,2,3} ,

B ? {1, 2} ,则 A ? B 中的所有元素数字之和为





A.9 B.14 C.18 D.21 11.已知定义在 R 上的函数 f (x) 的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x f (x) 1 6.1 2 2.9 3 -3.5

那么函数 f (x) 一定存在零点的区间是 ( ) A. (-∞,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 12.某研究小组在一项实验中获得一组关于 y、t 之间的数据,将其整理得到如图所示的散 点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是 ( ) y

t A. y ? 2
t

B. y ? 2t

2

C. y ? t

3

D. y ? log2 t

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y ? log3 x 的定义域为 . (用区间表示)

? x 2 ? 4, 0 ? x ? 2 14.已知函数f ( x) ? ? , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2

;若 f ( x0 ) ? 8, 则x0 ?



15.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图像经过点(1,4) , 则 a= 16.已知 f (x) 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) 的图象如右图所示,那么 f (x) 的值域是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 计算: (1) 2
? 1 2

y 3 2


O 2 x

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0 (2) log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}. (1) 若 a ? ?2,求A ? CR B ; (2) 若 A ? B ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? (1)当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调减函数

20. (本小题满分 12 分) 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益 与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知 投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得 最大收益,其最大收益是多少万元? y

y

0.125 0 1

0 .5

x





x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) =

1 -2. x 1 -2 在 (0,+∞) 上是减函数. x

(1)求 f (x) 的定义域; (2)证明函数 f (x) =

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 |, g ( x) ? k (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像。 (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 有 3 个交点,求 k 的值; (3)试分析函数 ? ( x) ?| x2 ? 4 x ? 5 | ?k 的零点个数。

参考答案 一、选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 D

二、填空题 13. [1, ??) ; 三、解答题 17.解: (Ⅰ) = 2
? 1 2

14. 0,4;

15.3

16. {x | -3 ≤ x <-2}∪{x | 2 < x ≤ 3}

?

1 2

?

1 2 ?1

? 1=2

?

1 2

?2

?

1 2

? 2 ?1 ?1 = 2 ? 2

?

1 2

? 2

=

2? 2 ?2 2
2

(Ⅱ) = log2 5

? log3 2?4 ? log5 3?2 =

2 lg 5 (?4) lg 2 (?2) lg 3 ? ? ? 16 lg 2 lg 3 lg 5

18.解: (1)当 a=-2 时,集合 A={x|x≤1} ∴

C R B ={x|-1≤x≤5}

A ? CR B ={x|-1≤x≤1}
A? B

(2)∵A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}, ∴a+3<-1 ∴a<- 4 19.解: (1)a ? ?1, 对称轴 x ? 1, ∴

f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,

f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (?5) ? 37

f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1
? ?a, 当 ? a ? 5 时, f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调

(2)对称轴 x ∴a

? ?5

20.解: (1)设

f ?x ? ? k1 x , g ?x? ? k2 x
1 1 ? k1 g ?1? ? ? k 2 8 2 , f ?x ? ?


f ?1? ?
所以

1 x?x ? 0 ? 8
x )万元

g ?x ? ?

1 x ?x ? 0? 2

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ?

依题意得:

y ? f ?x ? ? g ?20 ? x ? ?

x 1 ? 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 8 2
y? 20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8

令 t ? 20 ? x 0 ? t ? 2 5 所以当 t

?

?



? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元

21. (1)解: f (x) 的定义域是{x∈R| x≠0} ; (2)证明:设 x1,x2 是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x1 < x2, 则 ? x = x1- x2 < 0,

?y=f

(x1) - f (x2) =

1 x1

-2- (

1 x2

-2) =

1 1 x1 x2

=

x2 ? x1 . x1 x2

因为 x2- x1 = - ? x >0,x1x2 >0 , 所以 ? y >0. 因此 f (x) =

1 x

-2 是 (0,+∞) 上的减函数.

22.解: (1)

2 ? ?x ? 4x ? 5 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? ? 2 ? ??( x ? 4 x ? 5) 2

?2 ? x ? ?1或5 ? x ? 6 ?1 ? x ? 5

,如右图.

(2)∵函数

f ( x) 与 g ( x) 有 3 个交点

∴由(1)的图可知此时 g ( x ) 的图像经过 y= ? ( x
2

? 4x ? 5) 的最高点
4 ? (?1) ? 5 ? 4 2 4 ? (?1)
=9

即 g ( x ) =k=

(3)∵函数 ? ( x) ?|

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数等于函数 f ( x) 与 g ( x) 的交点个数

又∵ g ( x ) 的图像是一条与 x 轴平行的直线 ∴由(1)的图可知 k=0 或 k>9 时,函数 ? ( x) ?| 0<k<9 时,函数 ? ( x) ?| k=9 时, 函数 ? ( x) ?| k<0 时, 函数 ? ( x) ?|

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 2 个

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 4 个

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 3 个 x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 0 个



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