高一数学试题

2011—2012 学年度上学期高一数学期中试题
第Ⅰ卷为选择题，共 60 分；第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合 A ? {1,3}, 集合 B ? {1, 2, 4,5} ，则集合 A ? B ? A．{1，3，1，2，4，5} C． {1, 2,3, 4,5} 2．化简 ( A．
27 ? 1 ) 3 的结果是 125

（

）

B． {1} D． {2,3, 4,5} （ ）

3 5
a

B．

5 3

C．3

D．5 （ ）

3．若幂函数 f ? x ? ? x 在 ? 0, ??? 上是增函数，则 A． a >0 B． a <0 4．与 y ?| x | 为同一函数的是 A． y ? ( x ) 2 B． y ? x 2 C． a =0 C． y ?

?

D．不能确定 （ ） D． y ? aloga x

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

5．设 f ( x) ? 3x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0在x ? (1,2) 内近似解的过程中, 计算 得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间 A． （1，1．25） C． （1．5，2） 6．下列各式错误 的是 ．． A． 30.8 ? 30.7 C． 0.75?0.1 ? 0.750.1 B． （1．25，1．5） D．不能确定 （ B． log0.5 0.4 ? log0.5 0.6 D． lg1.6 ? lg1.4 ） ） （ ）

7．已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? 2 ，且 f (?5) ? m, 则 f (5) ? f (?5) 的值为 （ A．4 B．0
2

C．2m

D． ? m ? 4 （ ）

8．函数 y ? log0.6 (6 ? x ? x ) 的单调增区间是

A． ? ? ? , ? 2

? ?

1? ?

B． ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

C． ? ? 2, ? 2

? ?

1? ?

D． ? ,3 ? （ ）

?1 ? ?2 ?

9．函数 y ?

?1 ? 1 的图象是下列图象中的 x ?1

10．定义集合 A、B 的一种运算： A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B}，若 A ? {1,2,3} ，

B ? {1, 2} ，则 A ? B 中的所有元素数字之和为

（

）

A．9 B．14 C．18 D．21 11．已知定义在 R 上的函数 f （x） 的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x f （x） 1 6．1 2 2．9 3 -3．5

那么函数 f （x） 一定存在零点的区间是 （ ） A． （-∞，1） B． （1，2） C． （2，3） D． （3，+∞） 12．某研究小组在一项实验中获得一组关于 y、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散 点图，下列函数中，最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是 （ ） y

t A． y ? 2
t

B． y ? 2t

2

C． y ? t

3

D． y ? log2 t

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数 y ? log3 x 的定义域为 ． （用区间表示）

? x 2 ? 4, 0 ? x ? 2 14．已知函数f ( x) ? ? , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2

；若 f ( x0 ) ? 8, 则x0 ?

．

15．函数 f ( x) ? loga ( x ? 1)（a>0 且 a≠1）的反函数的图像经过点（1，4） ， 则 a＝ 16．已知 f （x） 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数，当 x ? 0 时， f （x） 的图象如右图所示，那么 f （x） 的值域是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17． （本小题满分 10 分） 计算： （1） 2
? 1 2

y 3 2

．
O 2 x

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0 （2） log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9

18． （本小题满分 12 分） 已知集合 A={x|x≤a+3}，B={x|x<-1 或 x>5}． （1） 若 a ? ?2，求A ? CR B ； （2） 若 A ? B ，求 a 的取值范围．

19． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5? （1）当 a ? ?1 时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调减函数

20． （本小题满分 12 分） 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益 与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知 投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0．125 万元和 0．5 万元（如图） （1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 （2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得 最大收益，其最大收益是多少万元？ y

y

０.１２５ ０ １

０ .５

x

０

１

x

21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f （x） =

1 -2． x 1 -2 在 （0，+∞） 上是减函数． x

（1）求 f （x） 的定义域； （2）证明函数 f （x） =

22． （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 |, g ( x) ? k （1）在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像。 （2）若函数 f ( x) 与 g ( x) 有 3 个交点，求 k 的值； （3）试分析函数 ? ( x) ?| x2 ? 4 x ? 5 | ?k 的零点个数。

参考答案 一、选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 B 11 C 12 D

二、填空题 13． [1, ??) ； 三、解答题 17．解： （Ⅰ） = 2
? 1 2

14． 0，4；

15．3

16． ｛x | -3 ≤ x <-2｝∪｛x | 2 < x ≤ 3｝

?

1 2

?

1 2 ?1

? 1=2

?

1 2

?2

?

1 2

? 2 ?1 ?1 = 2 ? 2

?

1 2

? 2

=

2? 2 ?2 2
2

（Ⅱ） = log2 5

? log3 2?4 ? log5 3?2 =

2 lg 5 (?4) lg 2 (?2) lg 3 ? ? ? 16 lg 2 lg 3 lg 5

18．解： （1）当 a=-2 时，集合 A={x|x≤1} ∴

C R B ={x|-1≤x≤5}

A ? CR B ={x|-1≤x≤1}
A? B

（2）∵A={x|x≤a+3}，B={x|x<-1 或 x>5}， ∴a+3<-1 ∴a<- 4 19．解： (1)a ? ?1, 对称轴 x ? 1, ∴

f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2,

f ( x)min ? f (1) ? 1, f ( x)max ? f (?5) ? 37

f ( x)max ? 37, f ( x)min ? 1
? ?a, 当 ? a ? 5 时， f ( x) 在 ? ?5,5? 上单调

（2）对称轴 x ∴a

? ?5

20．解： （1）设

f ?x ? ? k1 x ， g ?x? ? k2 x
1 1 ? k1 g ?1? ? ? k 2 8 2 ， f ?x ? ?
即

f ?1? ?
所以

1 x?x ? 0 ? 8
x ）万元

g ?x ? ?

1 x ?x ? 0? 2

（2）设投资债券类产品 x 万元，则股票类投资为（ 20 ?

依题意得：

y ? f ?x ? ? g ?20 ? x ? ?

x 1 ? 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 8 2
y? 20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8

令 t ? 20 ? x 0 ? t ? 2 5 所以当 t

?

?

则

? 2 ，即 x ? 16 万元时，收益最大， ymax ? 3 万元

21． （1）解： f （x） 的定义域是｛x∈R| x≠0｝ ； （2）证明：设 x1，x2 是（0，+∞）上的两个任意实数，且 x1 < x2， 则 ? x = x1- x2 < 0，

?y=f

（x1） - f （x2） =

1 x1

-2- （

1 x2

-2） =

1 1 x1 x2

=

x2 ? x1 ． x1 x2

因为 x2- x1 = - ? x >0，x1x2 >0 , 所以 ? y >0． 因此 f （x） =

1 x

-2 是 （0，+∞） 上的减函数．

22．解： （1）

2 ? ?x ? 4x ? 5 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? ? 2 ? ??( x ? 4 x ? 5) 2

?2 ? x ? ?1或5 ? x ? 6 ?1 ? x ? 5

,如右图．

（2）∵函数

f ( x) 与 g ( x) 有 3 个交点

∴由（1）的图可知此时 g ( x ) 的图像经过 y= ? ( x
2

? 4x ? 5) 的最高点
4 ? (?1) ? 5 ? 4 2 4 ? (?1)
=9

即 g ( x ) =k=

（3）∵函数 ? ( x) ?|

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数等于函数 f ( x) 与 g ( x) 的交点个数

又∵ g ( x ) 的图像是一条与 x 轴平行的直线 ∴由（1）的图可知 k=0 或 k>9 时，函数 ? ( x) ?| 0<k<9 时，函数 ? ( x) ?| k=9 时, 函数 ? ( x) ?| k<0 时, 函数 ? ( x) ?|

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 2 个

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 4 个

x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 3 个 x2 ? 4x ? 5 | ?k 的零点个数为 0 个