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2015年春季高考模拟三



双甸中学 2015 届春季高考全真模拟三
一 单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.若集合 M ? {x | x ? 2 ? 0} , N ? {x | x ? 3 ? 0} ,则 M ? N 等于 ( A. (-∞,-2) B. (-∞,3) C. (-2,3) ( )
0



D.

(3,+∞)

2.如果向量 a ? (2,?3) , b ? (3,2) ,那么 A. a // b B. a ? b

C. a 与 b 的夹角为 60

D. | a |? 1

3.命题 p : 若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角. 命 题 q : 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 在 (??, 0) 及 (0, ??) 上 都 是 增 函 数 , 则 f ( x ) 在

(??, ??) 上是增函数.
下列说法正确的是( )

A. “ p 或 q ”是真命题
C.
?

B. “ p 且 q ”是假命题
D.
?

p 为假命题


q 为假命题

4.函数 y ? sin x(3sin x ? 4cos x) ( x ? R) 的最大值为 M ,最小正周期为 T ,则有序数对

( M , T ) 为(

A. (5, ? )

B. (4, ? )
1 1 ? a b

C. (?1, 2? )
(
?a

D. (4, 2? )
) D. ( ) ? ( )
a

5.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. 3 ? 3
a b

B.

C. 3

? 4 ?a

1 4

1 4

b

6.若直线 l 的倾斜角是直线 y ? 3x ? 2 倾斜角的 2 倍,且过点(0,5),则直线 l 的方程是 ( A . 3x ? y ? 5 ? 0 C. 3x ? 3 y ? 15 ? 0 7.如果 sin(? ? ? ) ? A. ? B. 3x ? y ? 5 ? 0 D. 3x ? 3 y ? 15 ? 0 ( D. ) )

16 25

3 ,那么 cos 2? 等于 5 7 16 B. ? C. 25 25

8.给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? 具有性质①②的是( ) (B) y ? sin(2 x ?
2

?
3

7 25

对称,则下列四个函数中,同时

x ? (A) y ? sin( ? ) 2 6
2

?
6

) (C) y ? sin x

(D) y ? sin(2 x ?

?
6

)

9.已知 P( x, y) 是圆 x ? ( y ? 3) ? 1上的动点,定点 A(2, 0), B(?2, 0) ,则 PA ? PB 的最大值为( )

A. 12

B. 0

C.

?12

D. 4

10 .已知点 M 的坐标为 (3,2) , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动。当

| PM | ? | PF | 的值最小时,点 P 的坐标为 (
A. (0,0) B. ( ,1)



1 2

C. ( ,3)

9 2

D. ( 2,2)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若 a , b 是方程 x ? 30x ? 100 ? 0 的两个实根,则 lg a ? lg b ?
2



12.若函数 f ( x) ? ? 13.当 a ? 得的弦长为

?1 x ? 0 ,则 f ( f ( x)) ? ?0 x ? 0



2 ? 1 时,直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4(a ? 0) 截


14 .设 a, b ? {1,2,3,4} ,事件 A ? {方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆} ,那么 a2 b2

P ( A) ?

。 。

15.若等差数列 ?an ? 满足 a2 ? S3 ? 4 , a3 ? S5 ? 12 ,则 a4 ? S7 的值是 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)

16.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 向量 p ? (1 ? sin A,
12 ), q ? (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q . 7

(Ⅰ)求 sin A 的值;

(Ⅱ)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a .

D1

C1

A1

B1

17. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2 ,O 是
E D O A B C

AC 与 BD 的交点, E 为 BB1 的中点.

(Ⅰ )求证:直线 B1D ∥ 平面 AEC ; (Ⅱ )求证: B1 D ? 平面 D1 AC ; (Ⅲ )求三棱锥 D ? D1OC 的体积.

18.已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与2的等差中项,数列

{bn }中, b1 = 1 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上。
(1)求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。

19.已知函数 f ?x ? ? x 3 ? ?a ? 6?x ? ?4 ? 2a ? ln x , g ?x? ? ? x 2 ? 2x ? b

1 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ?x1 , x2 ? ?0,??? ,都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求实 数 b 的取值范.

20.抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 , 该抛物线上的每个点到准线
x ? ?2 的距离都与到定点

N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与

直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆. (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2

双甸中学 2014 届春季高考全真模拟三

命题人: 一 单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.若集合 M ? {x | x ? 2 ? 0} , N ? {x | x ? 3 ? 0} ,则 M ? N 等于 ( C ) A. (-∞,-2) B. (-∞,3) C. (-2,3) ( B )
0

D. (3,+∞)

2.如果向量 a ? (2,?3) , b ? (3,2) ,那么 A. a // b B. a ? b

C. a 与 b 的夹角为 60

D. | a |? 1

3.命题 p : 若 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角. 命 题 q : 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 在 (??, 0) 及 (0, ??) 上 都 是 增 函 数 , 则 f ( x ) 在

(??, ??) 上是增函数.
下列说法正确的是( B )

A. “ p 或 q ”是真命题 C.
?

B. “ p 且 q ”是假命题 D.
?

p 为假命题
B )

q 为假命题

4.函数 y ? sin x(3sin x ? 4cos x) ( x ? R) 的最大值为 M ,最小正周期为 T ,则有序数 对 ( M , T ) 为(

A. (5, ? )

B. (4, ? )
1 1 B. ? a b

C. (?1, 2? )

D. (4, 2? )
( A )

5.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是 A. 3 ? 3
a b

C. 3

?a

? 4 ?a

D. ( ) ? ( )
a

1 4

1 4

b

6.若直线 l 的倾斜角是直线 y ? 3x ? 2 倾斜角的 2 倍,且过点(0,5),则直线 l 的方程是 ( B A . 3x ? y ? 5 ? 0 C. 3x ? 3 y ? 15 ? 0 7.如果 sin(? ? ? ) ? A. ? B. 3x ? y ? 5 ? 0 D. 3x ? 3 y ? 15 ? 0 ( D. D ) )

16 25

3 ,那么 cos 2? 等于 5 7 16 B. ? C. 25 25

8.给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? 具有性质①②的是( D ) (A) y ? sin( ?

?
3

7 25

对称,则下列四个函数中,同时

x ? ) 2 6
2

(B) y ? sin(2 x ?
2

?
6

) (C) y ? sin x

(D) y ? sin(2 x ?

?
6

)

9.已知 P( x, y) 是圆 x ? ( y ? 3) ? 1上的动点,定点 A(2, 0), B(?2, 0) ,则 PA ? PB 的最大值为( A )

A. 12

B. 0

C.

?12

D. 4

10 .已知点 M 的坐标为 (3,2) , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动。当

| PM | ? | PF | 的值最小时,点 P 的坐标为 (
A. (0,0) B. ( ,1)

D

) D. ( 2,2)

1 2

C. ( ,3)

9 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若 a , b 是方程 x ? 30x ? 100 ? 0 的两个实根,则 lg a ? lg b ?
2

2



12.若函数 f ( x) ? ? 13.当 a ?

?1 x ? 0 ,则 f ( f ( x)) ? ?0 x ? 0

1

2 ? 1 时,直线 l : x ? y ? 3 ? 0 被圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4(a ? 0) 截

得的弦长为 2 3 。 14.设 a, b ? {1,2,3,4} ,事件 A ? {方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆} ,那么 a2 b2

P ( A) ?

3/8

。 24 。

15.若等差数列 ?an ? 满足 a2 ? S3 ? 4 , a3 ? S5 ? 12 ,则 a4 ? S7 的值是 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 16.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 向量 p ? (1 ? sin A,

12 ), q ? (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q . 7
(Ⅱ)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a .

(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅰ)

p // q

?

12 cos 2 A ? (1 ? sin A) ? 2sin A , 7

?6(1 ? 2sin 2 A) ? 7sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A ? 7sin A ? 6 ? 0 ,
? sin A ? 3 . (sin A ? ?2舍) 5 1 (Ⅱ)由 S ?ABC ? bc sin A ? 3, b ? 2 , 得 c ? 5 , 2 4 2 又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ? , 5

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5cos A ? 29 ? 20cos A ,

4 时, a2 ? 13, a ? 13 ; 5 4 当 cos A ? ? 时, a2 ? 45, a ? 3 5 . 5 17. 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , O 是 AC 与 A1 BD 的交点, E 为 BB1 的中点. (Ⅰ )求证:直线 B1D ∥ 平面 AEC ;
当 cos A ? (Ⅱ )求证: B1 D ? 平面 D1 AC ; (Ⅲ )求三棱锥 D ? D1OC 的体积. (Ⅰ )连接 OE ,在 ?B1 BD 中, ∵E 为 BB1 的中点, O 为 BD 的中点, ∴OE ∥B1D 又∵B1D ? 平面 AEC ∴ 直线 B1D ∥ 平面 AEC . (Ⅱ )在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
A

D1

C1

B1

E D O B C

B1B ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD

∴B1B ? AC .

BD ? AC 且 BB1 ? BD ? B ∴B1D ? AC ∴ AC ? B1D
同理可证 B1D ? AD1 ∵ AC ? AD1 ? A ∴B1 D ? 平面 D1 AC . 18.已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与2的等差中项,数列 {bn }中, b1 = 1 , 点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上。 (1)求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 解: (1)

Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2,


又Sn-Sn?1=an,(n ? 2, n ? N * )

? an ? 2an ? 2an?1 , an ? 0,
?

an ∵a1=2,∴ an ? 2 n 。 ? 2,(n ? 2, n ? N * ),即数列?an ? 是等比数列。 an?1

点( P bn , bn?1 )在直线x-y+2=0上, ?bn ? bn?1+2=0 。
∴ bn ?1 ? bn ? 2,即数列 ?bn ?是等差数列,又 b1 ? 1 , ? bn ? 2n ? 1 。 (2)

cn=(2n ?1)2n ,

?Tn=a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1 。

? (2n ?1)2n ,

?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ?

因此: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+ +2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 , 即 : ?Tn ? 1? 2 ? 19.已知函数 f ? x ? ?
3 4 ( ?2 ? 2 ? n? 1 ) ? 2n ? n?

( 2,1 ∴ 1 ) Tn 2 ? (2n ? 3)2 n?1 ? 6 。

1 3 x ? ?a ? 6?x ? ?4 ? 2a ? ln x , g ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? b 3 (Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ?x ? 的单调区间;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ?x1 , x2 ? ?0,??? ,都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求实数 b 的取值范 解: (Ⅰ) f ( x ) 定义域为 (0,??) 当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 3 x ? 4 x , f ' ( x) ? x 2 ? 4 ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 (舍) 3
(0,2) ↘ 2 0

x
f ' ( x) f ( x)

(2,??)
+ ↗

∴ f ( x ) 的递减区间为(0,2) ,递增区间为 (2,??) (Ⅱ)∵ ?x1 , x2 ? (0,??) 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立∴ g ( x) max ? f ( x) min

16 3 2 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? b , g ( x) max ? g (1) ? 1 ? b 16 19 ∴1 ? b ? ? ,∴ b ? ? 3 3
由(Ⅰ)知 f ( x) min ? f ( 2) ? ? 20.抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 , 该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与 到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆. (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2
2 解: (1)因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1?

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , 因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d ?

2k ? 1

4 ? 1 ,解得 k ? 0或 , 3 1? k
2

-

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ? 由?

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0 3

-

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ? y?x ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y ? ?x
显然 AB 中点不是 E (4,1) ,

由?

矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l .



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