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对IYPT2015部分题目的研究(深圳中学高二11班)



SHENZHEN MIDDLE SCHOOL

研究性学习论文

对 IYPT2015 部分题目的研究

徐文乐 余浩民 钟沥文 陈悦琳

论文在线阅读链接 指导教师 年级 班级 电子邮箱 联系电话 黄睿 2013 级 高二 11 班 965844855@qq.com 15814798769

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摘要:国际青年物理学家竞赛简称 IYPT,由前苏联在 1988 年发起,每年举办一届。它和国际物理奥 林匹克竞赛、国际青年学生科学论文竞赛并称为三大顶级国际中学生物理竞赛。IYPT2015 共有 17 道题目, 我们对其中的第 6 题 (Magnus glider) , 第 16 题 (Wet and dark) , 第 17 题 (Coffee cup) 进行了研究。在第 6 题上,建立了含有重力、空气阻力、马格努斯力的动力学模型,进行了较详细的 定量计算, 并发展出了一套能较好解释实验结果的物理模型,实验结合了高速摄影技术和视频分析技 术,能较精确地测定滑翔机的各种飞行参数。在第 16、17 题上仅进行了验证性实验,得出了浅显的 定性解释。

1.问题回顾与题目分析
1.1 问题回顾

IYPT2015 第 6 题:马格努斯滑翔机(Magnus

Glider) 将两个杯子的底部粘在一起,将一根弹性带 子缠绕在滑翔机的中心,并抓住余下的自由端, 拉伸后释放滑翔机。研究它的运动。

这个仅由两个杯子组成的所谓“滑翔机”外 形十分独特(图 1.1-1) ,和一般人们心中的滑翔 机形象相去甚远(图 1.1-2) ,甚至不禁令人产生 怀疑:这东西也能飞? 通过查阅资料我们得知,此“马格努斯滑翔 机”能够飞行靠的是“马格努斯效应” ,即在空 气中, “当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物 体飞行速度矢量不重合时,在与旋转角速度矢量 和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将 产生一个力,在这个力的作用下物体飞行轨迹发 生偏转的现象” 。在 1852 年德国物理学家海因里 希·马格努斯(Heinrich Magnus )描述并研究 了这种效应。[1] 一般的解释是,旋转物体之所以能在横向产 生力的作用,是由于物体旋转可以带动周围流体 旋转,使得物体一侧的流体速度增加,另一侧流 体速度减小。根据伯努利定理,流体速度增加将 导致压强减小,流体速度减小将导致压强增加, 2.理论计算 这样就导致旋转物体在横向上的气压差,并形成 横向力。同时由于横向力与物体运动方向相垂直, 2.1 建立物理模型 因此这个力只改变飞行速度的方向。 想要用理论精确预测整个物理过程,就要先 知道这个过程涉及到的一切参量。因此第一步的 工作就是建立完整的物理模型。 2.1.1 杯子

1.获得能量:弹射(能量来源于弹性势 能)或高空释放(能量来源于重力势能) 2.自由飞行 因此,一个理想的分析过程也就有这样两个 部分: 1.得到起飞时的初始运动情况 2. 每一时刻的运动情况决定下一时刻 的运动情况(根据动力学方程) 再进一步提炼, 这个问题的数学本质也就是: 1.得到初始条件 2.得出微分方程(组) 因为每一时刻的运动情况决定下一时刻的 运动情况,因此知道了起飞时的初始运动情况, 后来的运动就完全确定了。但很显然,以这样一 生二,二生三的方式计算,需要无穷的步骤,怎 样化无穷为有穷呢? 微积分就是专门解决这类问题的工具。 至此,这一物理问题的数学本质已经很清晰 了,即“求满足初始条件的微分方程的特解” (或 者说,求出通解后代入初始条件得出特解) 。

图 1.1-1 IYPT 官方给出的“马格努斯滑翔机”示例

图 1.2.2.1-1 一个典型的杯子

图 1.1-2 普通的滑翔机

1.2 题目分析 我们先对题目中的一些概念进行辨析。 滑翔机的定义:滑翔机是指不依靠动力装置 飞行的重于空气的航空器。起飞(弹射或高空释 放) 后仅依靠空气提供的升力进行自由飞行。 [2] 也就是说滑翔机的飞行过程可分为两个部 分:

图 1.2.2.1-1 是一个典型的杯子,它是一个 很对称的几何体(圆台) ,上下两个面都是正圆 (它的杯沿有小小的突出来的一圈,我们在建立 模型时可以忽略这一点) 。在杯子身上我们可以 找到的参量如下: 1.质量 2.几何参数(包括:杯口半径,杯底半径, 高度) 当然,杯子的材质种类繁多,但在本题的条 件下,根据流体力学的一大基本假设——无滑移 边界条件(和物体表面接触的一层流体分子,与 物体之间没有相对运动) ,材质表面性质的不同

造成的空气动力学性质的差异完全可以忽略不 计。因此在参量中不考虑杯子的材质。 2.1.2 初始运动情况

图 1.2.2.2-1 “后旋球”示意图 图 1.2.2.3-1 美丽的地球

2.2 空气阻力的计算 空气阻力是流体力学的重要研究课题,但由 于人们对流体现象本质的不了解,至今都没有空 气阻力的理论计算公式,而只有实验公式。在一 般的速率区间内,流体阻力近似满足下式[3]:

图 1.2.2.2-2“前旋”形成的马格努斯力的方向向下

我们假设马格努斯滑翔机在飞行的全过程中, 飞行姿态都是水平的。马格努斯滑翔机的初始运 动状态,很明显是平动和转动的结合。在转动方 面, 本文仅讨论 “后旋” 的情况 (图 1.2.2.2-1) 。 因为马格努斯力具有方向性(这一点稍后解释) , 而只有在后旋的情况下,向前飞行产生的马格努 斯力方向才是向上的,才能作为升力。否则,受 到的马格努斯力向下(图 1.2.2.2-2) 。 在初始运动情况方面的参量有: 1.初始速度(矢量,包含大小和方向) 2.初始角速度(本文中默认转动的方向 为“后旋” ) 2.1.3 运动环境 同一个滑翔机在地球上和在月球上的表现迥 然不同,因此规定一些有关运动环境的参量也是 有必要的。 本文设定的环境为美丽的地球表面(图 1.2.2.3-1) ,相关参量有: 1.重力加速度(g = 9.8m/s 2 ,方向竖直向下) 2.空气密度(ρ = 1.2kg/m3 )

在上式中: Cd 是阻力系数(与速度、物体形状等有关,需 要实验测定) ρ 是流体密度 A 是迎风面积 v 是速率 实验发现速率与流体阻力的关系是非线性 的。物体在空气中运动受到的阻力,与物体运动 速度的大小有密切关系:物体的速度很低时,阻 力与物体速度大小的一次方成正比。物体的速度 低于 200m/s 时,可认为阻力与物体速度大小的 平方成正比;速度达到 400~600m/s 时,空气阻 力和速度大小的三次方成正比;在速度很大的情 况下,阻力与速度大小的高次方成正比。[4] 2.3 马格努斯力的计算 马格努斯效应被发现后,前人已经对定量计 算马格努斯力进行过许多尝试,主要途径有两个。 2.3.1 通过无滑移边界条件和伯努利原理推导: 简单介绍一下这种方法[5]。 根据无滑移边界 条件,可以得知物体表面某处的气体的运动速度, 就等于物体表面那一点的运动速度 (图 2.3.1-1) 。 将这一速度和吹来的气流速度相加,再根据伯努 利方程计算出压强,进而计算出压力大小,通过 积分便能知道整个物体所受的马格努斯力的大 小。

图 2.3.1-1 圆柱体的横截面(图中气流速度为-v)

通过这种方法可以证明马格努斯力的方向垂 直于气流方向。得出的静止旋转圆柱体在“气流 的方向与圆柱体的轴垂直的气流”中受到的马格 努斯力的大小为:

如图,将滑翔机视为质点,以初始位置为原 点,以水平向前为 x 轴正方向,以竖直向上作为 y 轴正方向,初始速度 vo 的方向 x 轴正方向形成 的仰角为θ (向下的俯角记为负角) 。由此可以 设定初始条件,即 t=0 时: x=0 y=0 vx = v0 cos θ vy = v0 sin θ 2.4.2 建立微分方程组

在上式中: r 是圆柱体的半径 ρ 是空气密度 ω 是圆柱体旋转的角速度大小 v 是气流的速率(或者是静止空气中圆柱体平 动的速率,二者等价) L 是圆柱体的高 然而在试验中我们测得的马格努斯力的大 小与这一结果严重不符。究其原因,很可能是因 为这一方法仅考虑了和物体直接接触的一层气 体,而事实上物体会带动外部很厚的一层气体一 起旋转,而这被遗漏的部分也会贡献一部分马格 努斯力。 2.3.2 通过库塔-儒科夫斯基升力定理与位势流 理论推导[6][7]: 由于篇幅有限, 无法对库塔-儒科夫斯基升力 定理和位势流理论下的推导进行详细解释。 采用这种方法也可以证明马格努斯力的方向 垂直于气流方向。但是推得的马格努斯力大小的 表达式为:

如图, 只要有速度, 滑翔机就必然受到重力、 空气阻力、马格努斯力。三种力的表达式如下:

因为表达式中很多参量在运动中都可视为 常数,所以为了书写的简便我们将其提取出来设 为参数:

这是上一种方法结果的两倍!根据实验数据, 我们认为这个表达式才是正确的。 2.4 飞行轨迹解析式的推导 2.4.1 设定初始条件

度的大小。 上式中的 A1,A2,B1,B2,C, 在运动过程中都 是常量。D,E,F 都是时间 t 的函数。具体关系如 下:

如图,为了规定马格努斯力的方向,我们再 加一个 z 轴建立空间直角坐标系,且规定 x,y,z 方向上的单位向量分别为 i,j,k,这样一来就可 以用 z 方向上的单位向量叉乘速度矢量确定马格 努斯力了。 受力分析可得:

由此可得微分方程方程组:

然而咨询老师和查阅数学手册后我们发现 这个方程是二阶非线性常微分方程,目前解不出 通解。主要原因是因为其中包含的平方和根号。 难道一切就要在这里止步了吗?并不!这时 我们灵机一动,若空气阻力和速率的一次方成正 比,不就没有平方和根号了吗? 在这种假设下求得的微分方程组为:

3.实验与数据分析
3.1 实验材料 1.原料: 杯子(不同大小、形状、质量)若干对 白纸 2.手工制作工具: 剪刀、胶带、胶水、刻度尺、笔 3.数据采集与分析工具: 高速摄影机(iPhone6)、 Tracker (视频分析软件) Excel、Mathematica、Origin(数据处理与画图 软件)

而且我们发现这种形式的微分方程早有通 解[8], 文献中忽略了空气阻力, 也没有初速度, 但微分方程的基本形式是相同的。仿照文献中的 方法就可以求出运动轨迹的参数方程。 求解结果如下:

图 3.1-1 我们制作的 6 种机型

上式中的唯一参数是时间 t,ω 是初始角速

3.2 实验步骤

1.拍摄实验视频(图 3.2-1) 。 2.获得视频每一帧中标记的坐标(图 3.2-2)。 3.计算质心坐标、质心速率、旋转角速度等。

图 3.2-1 实验场地照片

图 3.3.1-1 三大飞行轨迹

3.3.2 v—t 图像:质心速率随时间如何变化

图 3.2-2 在 Tracker 中标记坐标

3.3 实验结果 为了确保马格努斯滑翔机平稳飞行(无倾斜、 无机翼晃动、飞行路径不偏离设定的平面) ,我 们进行了大量实验。以下是其中的典型图像。 3.3.1 轨迹 这是典型的 v—t 图像,可以明显看到质心 速率的最低时刻总是在飞行高度最大时刻附近。 3.3.3 ω —t 图像:角速度随时间如何变化

图 4.1-1 左为理想飞行姿态,右为不水平的飞行姿态

图 3.3.3-1 实验ω —t 图像

图中拟合出的直线斜率的物理意义是角加速 度。可见在飞行初期,马格努斯滑翔机旋转的角 速度只和飞行时间有关,呈现出以恒定角加速度 衰减的规律。

4.误差分析
4.1 不理想的飞行状态 首先是 z 方向上的偏移。为了简化问题,我 们假设滑翔机是在一个竖直平面 xOy 内运动的, 但由于是手动发射,难免产生 z 方向上的偏移。 这对角速度测量值应无较大影响,但由于物体距 离拍摄点更近,质心速率测量值会偏大。 第二,滑翔机有时也会出现不水平的飞行姿 态(图 4.1-1) ,由于视角的差异,角速度测量值 会出现微弱的周期性波动(图 4.1-2) 。 第三,转轴不稳定。有时发射得不好,会导 致转轴不稳定的转动。这对角速度测量值影响有 限,但会使质心速率测量值在飞行初期出现剧烈 波动(图 4.1-2) 。

图 4.1-2 同一次飞行的 v—t 和ω —t 图像

4.2 不理想的拍摄条件 由于分辨率的限制,要有足够的清晰度用于 视频中的坐标分析(图 3.2-2) ,拍摄距离就不能 太远。 然而太近也会出问题,比如有的滑翔机飞行 轨迹很平(图 3.3.1-1) ,很快就飞出视野,可获 得的 v—t 数据就较少。 4.3 视角差异 从面前经过的物体看起来更快,这就是视角 差异的影响。但在本例中,理论分析可知视角差 异造成的测量相对误差小于 5%,可以忽略。

5.理论修正

之前提到,空气阻力正比于速率的二次方的 情况,我们没有求出轨迹的解析解,但是利用分 割时间的方法,利用计算机也可以求出某特定参 数下的轨迹。这样就可以对比空气阻力正比于速 率的一次方和空气阻力正比于速率的二次方两 种情况下的理论预测情况。

数) ,并用于理论预测中。 2. 通过尝试与拟合测出对每特定一机型适 用的“空气阻力速率阈值” ,其实就是一特定速 率值,高于此值时采用二次方方法计算空气阻力, 低于此值时采用一次方方法计算空气阻力。 修正后理论的预测精度得到了提升。

虽然我们的修正理论在预测马格努斯滑翔 机的运动上有一定的准确性,但过分简单地 将 可见不论是哪一种假设,预测结果都不是完 美的。另外我们之前假定飞行的角速度不会衰减, 从实验中可看出这一假设是错误的 (图 3.3.3-1) 。 于是在修正理论的过程中重新考虑了这两 个因素(角速度的线性衰减规律,空气阻力和速 率的关系) ,解决方案是: 1.对每一特定机型角速度的衰减速度(即角 加速度) 先进行测定, 视为该机型的重要参数 (常 与 两种情况用一速度值分割

开还是略显粗糙。并且一些重要的参数都不能直 接从理论推出,而要根据若干次实验估值得到。 根据流体力学中的雷诺数、粘滞系数等知识 是有可能解决这些问题的,未来若能解决了上述 几大问题,相信这一模型将会更加精确,更加普 适。

图 6.1-1 湿的衣物更透明

有一个更明显的例子。如果打湿窗帘,从明 亮的室外和从昏暗的室内观察,现象完全相反 (图 6.1-2) 。从室外看,湿的部分确实更暗。但 从室内看,反倒是更亮。由此可以得出结论,织 物在湿时更透明。而我们常常只认为湿的衣物更 暗,是因为从未有人想到可以从衣服内部观察!

图 6.1-2 同一处湿的部分,从室内、外看起来效果不同

综上所述, “衣物受潮时看起来更暗”很大 程度上是因为衣服更透明了, 所以更多的光 “漏” 了进去,但为什么会这样我们也不懂。至于吸收 的光是不是变多了我们不清楚,目前的文献也都 不能给出确定的回答。

6.对第 16、17 题的研究
在这两道题目上我们也进行了理论分析的 尝试,但由于涉及到较复杂的液体晃动动力学和 波动光学,最终未能成功。只能做出浅显的定性 解释 6.1 湿而暗 6.2 咖啡杯

IYPT2015 第 16 题:潮湿且黑暗(Wet and dark) 衣服受潮时会看起来更暗或者改变颜色。研究这 一现象。
这是个很普遍的生活中的物理现象,也早有 许多人进行过讨论。但主流的声音都认为变暗是 由于吸收的光更多[9] 。可是逆转思维,这也可 以是因为织物变得更透明了(图 6.1-1) !

IYPT2015 第 17 题:咖啡杯(Coffee cup) 物理学家们喜欢喝咖啡,但端着一杯咖啡在 实验室间行走会很麻烦。研究杯子的形状、步行 速度和其他参量如何影响走路时咖啡溅出的可 能性。
换句话说,为什么咖啡会洒出来呢? 这听起来有点像废话,但液体晃动的机制其 实非常复杂。实验方面,我们仿照 2012 年搞笑 诺贝尔奖获得者的方法[10],得到了很相似的实 验数据(杯子的 v—t 图像,a—t 图像等) 。

参考文献 [1]百度百科编者.马格努斯效应[G/OL] .百度百 科,[2015-05-06] http://baike.baidu.com/link?url=A2_Qd2FJU t76KESm3o_aa2yfxQ8c3k4EjvLGHCsXRiUc2DCLY8miWbjeLnjVM_tc25OV5j9IC7l08xmAmGWXq

[2] 百度百科编者 . 滑翔机 [G/OL]. 百度百科, [2015-05-27] http://baike.baidu.com/link?url=dc3rPsfh_ 9ekxqepz_SnezV9-IDMzFWFcWNlP1KyYUyAvEmEi_ Dk-WomGcaM8J_zT66eI6s7itE4BkmCCq-fwK

图 6.2-1 相似的实验方法

至少我们较成功地验证了前人的实验。而且 从附录的实验图像中也可以很清楚的看出速度、 加速度、倾斜角度和步伐的密切关系。 可见杯子在横向上的加速度是来回变化的, 采用相对性原理可知,如果以杯子自身作为参考 系,则杯子内的液体收到来回的惯性力做功。如 果惯性力来回的频率适当,惯性力做正功,杯子 内液体的机械能就会越来越大,直到液体溢出。

[3] 百度百科编者 . 滑翔机 [G/OL]. 百度百科, [2015-05-06] http://baike.baidu.com/link?url=J5xDnBYEF Hm4uDEk6ITTXFzKG5mMEmz01GiCSo3dvaPWf17jNB ENL-Opsotftb3GY6Po5h20LKFVEXAyNrirb_

[4]张怀华.空气阻力与速度关系 [EB].新浪博客, [2013-10-12] http://blog.sina.com.cn/s/blog_554f6db101 02e9u2.html [5] 潘慧炬 . 马格努斯效应的力学模型 [J]. 浙江 体育科学,1995,17(3):16-19 [6]卢俊,钱作勤,严新平.转筒帆空气动力性能 的数值研究 [J]. 航海工程, 2010,39 ( 6 ) : 135-137 [7]马格努斯涵道飞行器动力学分析及控制仿真 [8]于凤军.马格努斯效应与空竹的下落运动[J]. 大学物理,2012,31(9):19-21 [9]John Lekner & Michael C.Dorf. Why some things are darker when wet.Applied Optics,1988,27(7):1278-1280 [10] H. C. Mayer and R. Krechetnikov.Walking with coffee: Why does it spill?[J]. Physical Review E,2012,85(046117):1-2

附录: 本文使用的 Mathematica 程序: 1.空气阻力和速率的一次方成正比时,计算速度 -时间图像和轨迹图像。 m = 0.012;(*质量*) L = 0.175;(*两个杯子的总高度*) Rmin = 0.02568;(*杯底半径*) Rmax = 0.035;(*杯口半径*) l = L/2;(*一个杯子的高度*) r = (Rmin + Rmax)/2;(*平均半径*) A = 2*L*r ; (*投影面积*) rho = 1.2;(*空气密度*) g = 9.8;(*重力加速度*) omega0 = 50*2*Pi; (*初始角速度*) omega = omega0;(*后来的角速度*) v0x = 10.2694;(*初速度 x 方向*) v0y = 3.942*0.6;(*初速度 y 方向*) gap = 1/1000; n = 2/gap; i = 1; vx = v0x; vy = v0y; x = 0; y = 0; data = Table[{0, 0}, {n}]; v = Table[{0, 0}, {n}]; Ax = 2*((Rmax^2)*L/6 + (Rmin^2)/6 + Rmin*Rmax*L/6); Cl = 0.1 Cd = 2.2 While [i <= n, { vx -= gap*Ax*(Cl*rho*vy*Pi*omega/m); vy += gap*Ax*(Cl*rho*vx*Pi*omega/m); vx -= (Abs[vx]/vx)*gap*0.5*Cd*rho*(vx)*A/m; vy -= (Abs[vy]/vy)*gap*0.5*Cd*rho*(vy)*A/m; vy -= gap*g; x += gap*vx; y += gap*vy; data[[i]] = {N[x], N[y]}; v[[i]] = {i*gap, Sqrt[vx^2 + vy^2]}; i++; }] ListPlot[v, PlotRange -> {0, 10}] ListPlot[data, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> {-1, 3}]

2. 分段计算空气阻力时,计算速度-时间图像和 轨迹图像。 m = 0.012;(*质量*) L = 0.175;(*两个杯子的总高度*) Rmin = 0.02568;(*杯底半径*) Rmax = 0.035;(*杯口半径*) l = L/2;(*一个杯子的高度*) r = (Rmin + Rmax)/2;(*平均半径*) A = 2*L*r ; (*投影面积*) rho = 1.2;(*空气密度*) g = 9.8;(*重力加速度*) omega0 = 50*2*Pi; (*初始角速度*) v0x = 10.2694;(*初速度 x 方向*) v0y = 3.942*0.6;(*初速度 y 方向*) gap = 1/1000; n = 2.5/gap; i = 1; vx = v0x; vy = v0y; x = 0; y = 0; data = Table[{0, 0}, {n}]; v = Table[{0, 0}, {n}]; Ax = 2*((Rmax^2)*L/6 + (Rmin^2)/6 + Rmin*Rmax*L/6); Cl = 0.1 Cd = 2 vlim = 4.8; omega = 49*2*Pi; While [i <= n, { omega = 2*Pi*(-7.038*i*gap + 49); vx -= gap*Ax*(Cl*rho*vy*Pi*omega/m); vy += gap*Ax*(Cl*rho*vx*Pi*omega/m); If[vx^2 + vy^2 >= vlim^2, {vx -= (Abs[vx]/vx)*gap*0.5*Cd*rho*(vx^2)*A/m; vy -= (Abs[vy]/vy)*gap*0.5*Cd*rho*(vy^2)*A/m; }, {vx -= (Abs[vx]/vx)*gap*0.5*Cd*rho*(vx)*A/m; vy -= (Abs[vy]/vy)*gap*0.5*Cd*rho*(vy)*A/m;}]; vy -= gap*g; x += gap*vx; y += gap*vy; data[[i]] = {N[x], N[y]}; v[[i]] = {i*gap, Sqrt[vx^2 + vy^2]};

i++; }] ListPlot[v, PlotRange -> {0, 10}] ListPlot[data, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> {-1, 1.5}] 3.咖啡杯实验图像(我们的结果和前人结果的对比) : 图中蓝色为左脚踏在地上的时刻,红色为右脚踏在地上的时刻。实验人是右撇子,右手拿杯子, 先迈出左脚。

图中虚线为踏步的时刻(未标明左右脚) 。



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