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一轮复习 第六章 不等式与推理证明 6.5 合情推理与演绎推理课时规范训练



【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证 明 6.5 合情推理与演绎推理课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确
2 2 2

) B

.大前提不正确 D.全不正确

解析:因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 答案:C 2.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
2 2 2

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇 函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N+,(n+1) >2
2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

解析:选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前 n 项和等于 Sn= 答案:A 1 3.三角形的面积为 S= (a+b+c)r,a、b、c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的 2 半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为( 1 A.V= abc 3 1 B.V= Sh 3 1 C.V= (S1+S2+S3+S4)r(S1、S2、S3、S4 为四个面的面积,r 为内切球的半径) 3 1 D.V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 3 解析:设△ABC 的内心为 O,连接 OA、OB、OC,将△ABC 分割为三个小三角形,这三个 小三角形的高都是 r,底边长分别为 a、b、c;类比:设四面体 A-BCD 的内切球的球心为 O, 连接 OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以 O 为顶点,以原来面为底面的四面体,高都
1

n?1+2n-1?
2

=n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.

2

)

为 r,所以有

V= (S1+S2+S3+S4)r.
答案:C 4.观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=2 ×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=2 ×1×3×5 ? 照此规律,第 n 个等式可为______________. 解析:由前三个式子观察归纳可得结论. 答案:(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1) 5.(2016·深圳模拟)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长 都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为
n
3 2

1 3

a2
4

.类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两

个正方体重叠部分的体积恒为________.

解析:本题考查类比推理知识.可取特殊情况研究,当将一个正方体的一个顶点垂直放 1 a 在另一个正方体的中心时,易知两正方体的重叠部分占整个正方体的 ,故其体积为 . 8 8 答案:
3

a3
8

6.(2016·陕西质量检测)观察下列等式:1=1,1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2 +3+4+3+2+1=16, ?, 由以上可推测出一个一般性结论: 对于 n∈N+, 1+2+?+n+? +2+1=________. 解析:∵1=1 1+2+1=2 1+2+3+2+1=3 1+2+3+4+3+2+1=4 ,?,∴归纳 可得 1+2+?+n+?+2+1=n . 答案:n
2 2 2, 2, 2, 2

7.如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实 心圆点,1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点.

2

(1)求第 n 行实心圆点个数与第 n-1,n-2 行实心圆点个数的关系; (2)求第 11 行的实心圆点的个数. 解: (1) 设第 n 行实心圆点有 an 个,空心圆点有 bn 个,由树形图的生长规律可得
?bn=an-1, ? ? ?an=an-1+bn-1, ?

∴an=an-1+bn-1=an-1+an-2, 即第 n 行实心圆点个数等于第 n-1 行与第 n-2 行实心圆点个数之和. (2)由(1)可得数列{an}为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,?,∴第 11 行实心圆点的 个数是该数列的第 11 项 55. 8.已知等差数列{an}的公差为 d=2,首项 a1=5. (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)设 Tn=n(2an-5),求 S1,S2,S3,S4,S5,T1,T2,T3,T4,T5,并归纳 Sn,Tn 的大小 规律. 解:(1)Sn=5n+

n?n-1?
2

×2=n(n+4).
2

(2)Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]=4n +n. ∴S1=5,S2=12,S3=21,S4=32,S5=45,

T1=5,T2=18,T3=39,T4=68,T5=105.
由此可知 S1=T1,当 5≥n≥2(n∈N+)时,Sn<Tn, 猜想,当 n≥2,n∈N+时,Sn<Tn. [B 级 能力突破] 1. (2016·枣庄九中模拟)已知 f1(x)=sin x+cos x, fn+1(x)是 fn(x)的导函数, 即 f2(x) =f′1(x),f3(x)=f′2(x),?,fn+1(x)=f′n(x),n∈N+,则 f2 017(x)=( A.sin x+cos x C.sin x-cos x B.-sin x-cos x D.-sin x+cos x )

解析: f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x, f3(x)=f′2(x)=-sin x-cos x, f4(x)=f′3(x) =-cos x+sin x,f5(x)=f′4(x)=sin x+cos x,f6(x)=f′5(x)=cos x-sin x,?, 可知 fn(x)是以 4 为周期的函数,∵2 017=504×4+1, ∴f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x.故选 A.
3

答案:A 2.(2016·昆明调研)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=2a8-3a4, 则

S8 =( S16
A. C. 3 10 1 9

) B. D. 1 3 1 8

5 S8 8a1+28d 5 解析:由已知得 a1=2a1+14d-3a1-9d,得 a1= d,又 = ,将 a1= d 代 2 S16 16a1+120d 2 入化简得

S8 3 = . S16 10

答案:A 3 .(2014·高考北京卷 ) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优 秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门 成绩高于乙, 则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生 成绩好, 并且不存在语文成绩相同、 数学成绩也相同的两位学生, 那么这组学生最多有( A.2 人 C.4 人 解析:利用反证法解决实际问题. 假设满足条件的学生有 4 位及 4 位以上,设其中 4 位同学分别为甲、乙、丙、丁,则 4 位同学中必有两个人语文成绩一样, 且这两个数学成绩不一样, 那么这两个人中一个人的成 绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过 3 人.当有 3 位学生时,用 A,B,C 表示“优 秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有 AC,CA,BB,所以最多有 3 人. 答案:B 4.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的, 1 1 第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2), 其余每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如 = n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + , = + , = + ,?,则第 7 行第 4 个数(从左往右数)为( 2 2 2 3 6 3 4 12 ) B.3 人 D.5 人 )

4

A. C.

1 140 1 60

B. D.

1 105 1 42

1 1 解析:由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为 ”可知,第 7 行第 1 个数为 ,由“其余每 n 7 1 1 1 个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第 7 行第 2 个数为 - = ,同理易知,第 7 6 7 42 1 1 1 1 1 1 行第 3 个数为 - = ,第 7 行第 4 个数为 - = . 30 42 105 60 105 140 答案:A 5.(2015·高考山东卷)观察下列各式: C1=4 ; C3+C3=4 ; C5+C5+C5=4 ; C7+C7+C7+C7=4 ; ?; 照此规律,当 n∈N+时, C2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=________. 解析:用归纳法求解. 观察每行等式的特点,每行等式的右端都是幂的形式,底数均为 4,指数与等式左端最 后一个组合数的上标相等,故有 C2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=4 答案:4
n-1
0 1 2 0 1 2 0 1 2 3 3 0 1 2 2 0 1 1 0 0

n-1

n-1

n-1

.

→ → 6.已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界),且AB·AC=2 3,∠BAC=30°,若△MBC,△

BMA 和△MAC 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z)= + + ,则 f(x,y,z)的最小值是 x y z
________. → → → → → → 1 → 解析: 由题意得AB·AC=|AB|·|AC|cos ∠BAC=2 3, 则|AB|·|AC|=4, ∴S△ABC= |AB 2 → 1 4 9 x+y+z 4?x+y+z? |·|AC|·sin ∠BAC=1, x+y+z=1, ∴f(x, y, z)= + + = + +

1

4 9

x y z z?

x

y

9?x+y+z?

z

?y 4x? ?9x z? ?4z 9y? = 14 + ? + ? + ? + ? + ? + ? ≥14 + 4 + 6 + 12 = ?x
y?

?z

x?

?y

1 1 1 ? ? 36?当且仅当x= ,y= ,z= 时等号成立?. 6 3 2 ? ? 答案:36
5

7.(2014·高考北京卷)对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),?,(an,bn),记 T1(P) =a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+?+ak}(2≤k≤n),其中 max{Tk-1(P),a1+a2 +?+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+?+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对 序列 P:(a,b),(c,d)和 P′:(c,d),(a,b),试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P) 和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小,并写出 T5(P)的值.(只需写出结论) 解:(1)T1(P)=2+5=7,

T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.
(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},

T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.
当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′). 所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小.

T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.

6



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