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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修1-2:第二章 推理与证明 2.1《综合法与分析法》



第二章 推理与证明
2.2.1 综合法与分析法

内容:

1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证 明题目. 2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目. 3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明 过程.
应用: 1、证明不等式 2、证明等式

本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例

出发,引入综合 法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的 区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重 点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过 程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法. 本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对 性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用 分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用, 另外,第二个例题可以用综合法,也可以用分析法,从而锻炼学生 灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式, 重点理解综合法与分析法的应用。

如何测的恒星之间的距离

通过观看视频,大家一起讨论一下我们应该 如何测的恒星之间的距离呢?

复习
推 理

合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳
(特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

合情推理是 发现的方法, 演绎推理是数学中严格 证明的工具 怎样用演绎推理来证明呢?这是要讲究方法的 . 今天 ,我们就来认识一些基本的证明方法……

?合情推理得到的结论是不可靠的, 需要证明.数学中证明的方法有哪些 呢?
? ?综合法 ?直接证明 ? 证明的方法 ? ?分析法 ? ?间接证明(反证法)

引例一:证明不等式: x2 ? 2 ? 2 x( x ? R) 证法1:由 x2 ? 2 ? 2 x ? ( x ?1)2 ? 1 ? 1 ? 0 ? x2 ? 2 ? 2 x 2 ( x ? 1) ? 0 ?( x ?1)2 ? 1 ? 1 ? 0 证法2:由

? x2 ? 2 x ? 2 ? 0

? x ? 2 ? 2x
2

证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法

引例二:求证 3 ? 7 ? 2 5
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接 从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.

证明:要证明 3 ? 7 ? 2 5 , 在本例中,由于我们很难想到从 只需证 ( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 , “ 21<25”入手,所以用综合法 即证 10 ? 2 21 ? 20 , 以上采用的证明方法就是分 即证 2 21 ? 10 , 析法. 即证 21 ? 5 , 即证 21 ? 25 , 因为 21 ? 25 显然成立,所以原不等式成立.
证明比较困难.

综合法概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:

P ? Q1
特点:由因索果

Q1 ? Q 2

Q2 ? Q3



Qn ? Q

综合法是由一个个推理组成的.

分析法概念
从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每 一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证 明的方法叫做分析法.

这个明显成立的条件可以是: 已知条件、定理、定义、公理等

则分析法用框图表示为:
Q ?P 1
特点:

P 2 1 ?P
执果索因(逆推)

P P 3 2?



得到一个明显 成立的条件

综合法与分析法的比较
1. 综合法:
要点:顺推证法;由因导果.

2. 分析法:
要点:逆推证法;执果索因.

3.综合法与分析法的区别及优缺点 (1) 区别: 综合法是从已知条件出发 ,逐步推向未知 , 每步 寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已 知,每步寻找的是充分条件. (2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法, 两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地 解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻 找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.

【分析法】

从结论出发,寻找结论成立的充分条件 直至最后,把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件. 要证:?? 要证:??
?? ?? ??

格 式

只要证:?? 只需证:??
??显然成立

上述各步均可逆

??

所以 结论成立

所以 结论成立

a+b ? 分析基本不等式: 2

ab (a>0,b>0)的证

明.

a+b ? ab 证明:要证 2 只需证 a + b ? 2 ab

还原成综合法: 证明:
2 ( a ? b ) ?0 因为;

只需证 a + b ? 2 ab ? 0
只需证 ( a ? b ) ? 0
2

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

因为 ( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab成立

a b 例1、已知a ? 0, b ? 0, 求证: ? ? a? b b a a b 综合法: ? ? a ? b 证明:要证 b a 证明: 只需证a a ? b b ? b a ? a b 因为; a ? 0, b ? 0

只需证a


a ?b b ?b a ? a b ? 0

a ( a ? b ) ? b( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b ) 2 ? 0

a b ? b ? 2 a , ? a ?2 b 所以 b a

当且仅当a=b时取等号

当且仅当 a=b 成立 所以
a b ? ? a ? b成立 b a

所以
所以

a b ? b? ? a ?2 a ?2 b b a
a b ? ? a? b b a

成立

设a, b是两个正实数,且a ? b,求证:a3 ? b3 ? a2b ? ab2
证明:方法一(分析法) 方法二(综合法)

证明:要证 a 3 +b3 ? a 2b ? ab 2
只需证 (a+b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b)
2 2

证明: ? a ? b ?(a ? b)2 ? 0
2 2 a ? 2 ab ? b ?0 即
2 2 a ? ab ? b ? ab 即

2 2 a ? ab ? b ? ab 只需证

2 2 只需证 a ? 2ab ? b ? 0

由条件可知 a ? b ? 0

即只需证 (a ? b)2 ? 0 而由已知条件可知 a ? b (a ? b)2 ? 0 显然成立,所以命题得证.

?(a+b)(a2 ? ab ? b2 ) ? ab(a ? b)
即 a3 ? b3 ? a2b ? ab2 , 所以命题得证.

例 2 :在△ABC中,三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、 b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

证明: ? A、B、C成等差数列 ? 2B ? A ? C

? A? B ?C ??

3 ? a、b、c成等比数列 ?b2 ? ac
由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac

?B ?

?

? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ?即(a ? c)2 ? 0 ? ?ABC是等边三角形 ?a ? c
解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言 转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言。还要通 过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.

求证:对任意锐角 ?, cos4 ? ? sin 4 ? ? cos2?
证明: 左边cos4 ? ? sin 4 ? ? (cos2 ? ? sin 2 ? )(cos2 ? ? sin 2 ? )

? cos ? ? sin ? ? cos2? ? 右边
2 2

? 等式成立

1.知识与技能:

(1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. (2)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条 件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知条件、定理、定义、公理等). (3)综合法与分析法的区别:综合法是从已知条件出发,逐步推 向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发, 逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.
2.思想与方法: 顺推与逆推的思想.

必做题:

1. 要 证 明 不 等 式 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 成 立 , 只 需 证 2 2 明: ( 6 ? 7) ? (2 2 ? 5) .
2 2.已知 a ? 2 ? 2 a ?2
2

2 a ?2? 2 ?2 2 与 2 2 的大小关系是 . a ?2
2

3. 已知 a , b 是不相等的正数, x ?

a? b 2

, y ? a ? b ,则

x? y . x, y 的大小关系是_________

4. 已 知 a, b, c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 :

a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc .

必做题:

4.证明:?b2 ? c2 ? 2bc, a ? 0 , ① ? a(b2 ? c2 ) ? 2abc , 同理 b(c2 ? a2 ) ? 2abc , ② 2 2 ③ c(a ? b ) ? 2abc , 因 为 a, b, c 不 全 相 等 , 所 以 b2 ? c2 ? 2bc , c2 ? a 2 ? 2ac , a 2 ? b2 ? 2ab 三式不能全取等号,从而①、 ②、③三式也不能全取等号, ∴ a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

选做题:

1. 用分析法证明:若 a ? 0 ,则 a 2 ? 2. 已 知 函 数

1 1 ? 2 ?a? ?2. 2 a a

y ? x ?1 ,

y ? x2 ? 2 x ? 2 ? t



1 1? t y ? (x ? ) ( x ? 0) 的最小值恰好是方程 2 x

x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的 三 个 根 , 其 中 0 ? t ? 1 . 求 证 : a 2 ? 2b ? 3 ;

选做题答案: 1.证明:要证 a 2 ? 12 ? 2 ? a ? 1 ? 2. ,
a a

只需证 a 2 ? 12 ? 2 ? a ? 1 ? 2.
a a

由 a ? 0 ,所以两边均大于零,因此只需证
( a2 ? 1 1 2 ? 2) ? ( a ? ? 2) 2 2 a a

只需证 a 2 ? 12 ? 4 ? 4 a 2 ? 12 ? a 2 ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 2(a ? 1 ) ,
a a a a

只需证 a 2 ? 12 ? 2 (a ? 1 ) ,只需证 a2 ? 12 ? 1 (a2 ? 12 ? 2) ,
a 2 a

a

2

a

即证 a2 ? 12 ? 2 ,它显然成立.
a

∴原不等式成立.

2.证明:三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ? a ? b ? 1 ∴
? ( x ? 1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,

1? t



f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1)

故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1 . 由 ( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ? 1)2 , 可得 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2 . ∴ a 2 ? 2b ? 3 .



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