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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题五 第1讲 圆与圆锥曲线的基本问题



第1讲
一、选择题

圆与圆锥曲线的基本问题

1.(2015·广东卷)平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是( A.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0<

br />
2

2

)

|0+0+c| 解析 设所求切线方程为 2x+y+c=0,依题有 = 5,解得 c=±5,所以所求 2 2 2 +1 切线的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0,故选 D. 答案 D 2.(2015·安徽卷)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4
2

)

y2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x2

2

y2

2

x2

解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在

y 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C.
答案 C 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线

1 2

x2 y2 a b

y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为(
A. C. - =1 36 108 - =1 108 36

) B. - =1 9 27 D. - =1 27 9

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 解析 由双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,可设双曲线的方程 a b x2 y2 2 为 x - =λ (λ >0).因为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线 y =24x 的 3 a b
2

y2

准线上,所以 F(-6,0)是双曲线的左焦点,即 λ +3λ =36,λ =9,所以双曲线的方程 为 - =1.故选 B. 9 27
1

x2

y2

答案 B 4.(2015·浙江卷)如图, 设抛物线 y =4x 的焦点为 F, 不经过焦点的直线 上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A. |BF|-1 |AF|-1 ) B. |BF| -1 2 |AF| -1
2 2 2

|BF|+1 C. |AF|+1 解析 由图象知

|BF| +1 D. 2 |AF| +1

S△BCF |BC| xB = = , 由抛物线的性质知|BF|=xB+1, |AF|=xA+1, ∴xB=|BF| S△ACF |AC| xA S△BCF |BF|-1 = .故选 A. S△ACF |AF|-1

-1,xA=|AF|-1,∴ 答案 A

5.(2015·山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5
2

2

2

) 5 4 C.- 或- 4 5 4 3 D.- 或- 3 4

3 2 B.- 或- 2 3
2

解析 圆(x+3) +(y-2) =1 的圆心为(-3, 2), 半径 r=1.(- 2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一 定过点(2,-3)且斜率 k 存在,∴反射光线所在直线方程为 y +3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0. |-3k-2-2k-3| 2 ∵反射光线与已知圆相切,∴ =1,整理得 12k +25k+12=0,解得 k 2 2 k +(-1) 3 4 =- 或 k=- . 4 3 答案 D 二、填空题 6.圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则 圆 C 的标准方程为________. 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a =( 3) +b ,解得 a=2,
2 2 2

b=1.所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
答案 (x-2) +(y-1) =4 7.(2015·湖南卷)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的 中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________.
2
2 2

x2 y2 a b

解析 不妨设 F(c,0),则由条件知 P(-c,±2b),代入 2- 2=1 得 2=5, ∴e= 5. 答案 5

x2 y2 a b

c2 a

8.(2015·青岛模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x +5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为________.

x2 y2 a b

2

2

x2 y2 b 解析 ∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, a b a
圆 C 的标准方程为(x-3) +y =4, ∴圆心为 C(3,0).又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切,∴ 3b
2 2

a +b

2

2

=2,∴5b =4a .①
2 2

2

2

又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a +b ,0)为圆心 C(3,0),∴a +b =9.② 由①②得 a =5,b =4.∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 答案
2 2

x a

2

y b

2 2 2

x2 y2

x2 y2
5

- =1 4

三、解答题 9.已知曲线 C 上的动点 P(x,y)满足到定点 A(-1,0)的距离与到定点 B(1,0)的距离之比 为 2. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两点 M、N,若|MN|=4,求直线 l 的方程. 解 (1)由题意得|PA|= 2|PB|,
2 2 2 2

故 (x+1) +y = 2 (x-1) +y
2 2 2

化简得:x +y -6x+1=0(或(x-3) +y =8)即为所求. (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1. 将 x=1 代入方程 x +y -6x+1=0 得 y=±2, 所以|MN|=4,满足题意. 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx-k+2, 由圆心到直线的距离 d=2= |3k-k+2| , 2 1+k
2 2

2

解得 k=0,此时直线 l 的方程为 y=2.
3

综上所述,满足题意的直线 l 的方程为 x=1 或 y=2. 10.(2015·安徽卷)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 点 O 为坐标原点, 点 A 的坐标为(a, 0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 7 为 ,求 E 的方程. 2 解 5 b 5 ?2 1 ? (1)由题设条件知,点 M 的坐标为? a, b?,又 kOM= ,从而 = , 10 2a 10 ?3 3 ? 5 . 10

x2 y2 a b

c 2 5 2 2 进而得 a= 5b,c= a -b =2b,故 e= = . a 5
(2) 由题设条件和 (1) 的计算结果可得,直线 AB 的方程为

x
5b

+ = 1 ,点 N 的坐标为

y b

7? 1 ? ? 5 ? ? b,- b?.设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为?x1,2?, ? ? 2 ? ?2 1 7? ? 5 x1 则线段 NS 的中点 T 的坐标为? b+ ,- b+ ?. 4 2 4 4? ? 又点 T 在直线 AB 上,且 kNS·kAB=-1,

? 4 b+ 2 +-4b+4=1, ? 5b b 从而有? 7 1 解得 b=3. + b 2 2 ?x - 5b= 5. ? 2
5

x1

1

7

1

所以 a=3 5,故椭圆 E 的方程为 + =1. 45 9 11.(2015·重庆卷)如图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

x2

y2

x2 y2 a b

F1,F2,过 F2 的直线交椭圆于 P、Q 两点,且 PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 解 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故 a=2.

设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1⊥PF2, 因此 2c=|F1F2|= |PF1| +|PF2|
2 2 2 2

= (2+ 2) +(2- 2) =2 3,
4

即 c= 3,从而 b= a -c =1. 故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)连接 F1Q, 法一 如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1⊥PF2,则 2+ 2=1,x0 +y0=c ,
2 2

2

2

x2

2

x2 y2 0 0 a b

2

a 2 b2 2 求得 x0=± a -2b ,y0=± . c c
由|PF1|=|PQ|>|PF2|得 x0>0,从而|PF1| =?
2

?a a2-2b2 ?2 b +c? + 2. c ? ? c
4

=2(a -b )+2a a -2b =(a+ a -2b ) . 由椭圆的定义, |PF1|+|PF2|=2a, |QF1|+|QF2|=2a, 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= 2|PF1|, 因此,(2+ 2)|PF1|=4a, 即(2+ 2)(a+ a -2b )=4a, 于是(2+ 2)(1+ 2e -1)=4,解得
2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

e=
法二

2? 1? ? 4 -1? ? ?= 6- 3. 1 + ? ? 2? ?2+ 2 ? ? 如图,由椭圆的定义, |PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|

=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|, 知|QF1|= 2|PF1|, 因此,4a-2|PF1|= 2|PF1|,得|PF1|=2(2- 2)a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2- 2)a=2( 2-1)a. 由 PF1⊥PF2,知|PF1| +|PF2| =|F1F2| =(2c) , 因此 e= =
2 2 2 2

c a

|PF1| +|PF2| 2a
2

2

2

= (2- 2) +( 2-1) = 9-6 2= 6- 3.

2

5



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