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2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件(人教A必修4)


2.1
读教材·填要点

第 二 章 平 面 向 量

平 面 向 量 的 实 际 背 景 及 基 本 概 念

课前预习·巧设计

小问题·大思维

考点一
名师课堂·一点通

考点二 考点三 解题高手
NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

NO.2课下检测

[读教材·填要点]
1.向量的定义 既有 大小 ,又有 方向 的量称为向量. 2.向量的表示方法 (1)用有向线段表示: 带有 方向 的线段叫做有向线段, A 为起点, 为终点的 以 B 有向线段记作 AB . (2)用字母表示: 通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c,…表示向量,

??? ?

? ? ? 书写时用带箭头的小写字母 a , b , c ,…表示向量.

3.向量的长度(模) | AB |(或|a|)表示向量 AB (或 a)的 大小 ,即长度(或称模).

??? ?

??? ?

4.向量的有关概念
零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 长度等于 零 的向量,记作 长度等于 1个单位的向量 方向 相同或相反 的非零向量.

0

向量a,b平行,记作 a∥b .
规定:零向量与任一向量 长度 相等 且方向 相同 的向量. 向量a,b相等,记作 a=b

相等向量

[小问题·大思维] 1.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”这一说法 对吗? 提示:不对.向量只有大小和方向两个元素,与起点无

关,有向线段有起点、大小和方向.
2.单位向量都是相等向量对吗? 提示:不对.单位向量大小相等而方向不一定相同. 3.零向量没有方向是否正确? 提示:不正确.零向量的方向不确定,即方向是任意

的.

[研一题] [例 1] 有下列说法:
①若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线; ②若 AB = DC ,则 A,B,C,D 四点是平行四边形的四个 顶点; ③在?ABCD 中,一定有 AD = BC ; ④若 a=b,b=c,则 a=c; ⑤共线向量是在一条直线上的向量. 其中,正确的说法是________.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

[解析]:对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,但 方向相同或相反,所以 a 与 b 有共线的可能,故①不正确; 对于②,A,B,C,D 四点可能在同一条直线上,故②不正 确;对于③,在?ABCD 中,| AD |=| BC |, AD 与 BC 平行且方向 相同,所以 AD = BC ,故③正确; 对于④,a=b,则|a|=|b|,且 a 与 b 方向相同;b=c,则|b| =|c|,且 b 与 c 方向相同,所以 a 与 c 方向相同且模相等,故 a =c,故④正确; 对于⑤, 共线向量可以是在一条直线上的向量, 也可以是所 在直线互相平行的向量,故⑤不正确.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

[答案] ③④

[悟一法]
1.解决此类问题的关键是准确理解相关概念,并注 意零向量的特殊性. 2.两向量平行(共线),有两向量所在的直线平行或 重合两种可能.

[通一类]
1.判断下列说法是否正确. (1)若向量 a= AB ,b= BA ,则|a|=|b|; (2)若 a 是单位向量,b 也是单位向量,则 a 与 b 的方向相 同或相反; (3)若向量 AB 是单位向量,则 BA 也是单位向量; (4)以坐标平面上的定点 A 为起点,所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心的单位圆.

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???

??? ?

???

解:(1)正确,由于|a|=| AB |=|AB|,|b|=| BA |=|BA|=|AB|,因 此有|a|=|b|. (2)不正确,由单位向量的定义知,凡长度为 1 的向量均称为单位 向量,但是对方向没有任何要求,因此说法(2)不正确. (3)正确,因为| AB |=| BA |,所以当 AB 是单位向量时,BA―→也 是单位向量. (4)正确,由于向量| AP |=1,所以点 P 是以点 A 为圆心的单位圆 上的一点.反过来,若点 P 是以点 A 为圆心,1 为半径的单位圆 上的任一点,则由于| AP |=1,所以向量 AP 是单位向量,因此说 法(4)正确.

??? ?

???

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[研一题] [例 2] 已知汽车从 A 地按北偏东 30° 的方向行驶 200 km 到
达 B 地,再从 B 地按南偏东 30° 的方向行驶 200 km 到达 C 地, 再从 C 地按西南方向行驶 100 km 到达 D 地, 作出向量 AB , , BC

??? ??? ? ?

CD (用 1 cm 表示 100 km)

??? ?

[自主解答] 向量 AB , BC , CD 如图.

??? ?

??? ?

??? ?

例2中汽车的实际位移可用图中的哪个向量表示? ??? ? 解:实际位移即为向量 AD .

[悟一法] 画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的 方向,最后根据向量的大小确定终点标出箭头方向.

[通一类] 2.在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中,用
直尺和圆规画出下列向量.

(1)| OA|=3,点 A 在点 O 正西方向; (2)| OB |=3 2,点 B 在点 O 北偏西 45° 方向; (3)| OC |=2,点 C 在点 O 南偏东 60° 方向.

???

??? ?

??? ?

解:如图所示:

[研一题]
[例 3] 如图, E、 分别是正三角形 ABC D、 F 各边的中点. (1)写出图中所示向量中与向量 DE 长度相等 的向量; (2)写出图中所示向量中与向量 FD 相等的向量; (3)分别写出图中所示向量中与向量 DE 、 FD 共线的向量.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

[自主解答]

(1)与 DE 长度相等的向量是 EF 、 FD 、 AF 、

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

FC 、 BD 、 DA、 CE 、 EB .
(2)与 FD 相等的向量是 CE 、 EB . (3)与 DE 共线的向量是 AC 、 AF 、 FC ;与 FD 共线的向量 是 CE 、 EB 、 CB .

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??? ?

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[悟一法] 判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方 向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.而对于共 线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可.

[通一类] 3.如图,△ABC 和△A′B′C′是在各
1 边的 处相交的两个全等的等边三角形, 3 设△ABC 的边长为 a,图中列出了长度均 a 为 的若干个向量,则 3 (1)与向量GH 相等的向量是________; (2)与向量GH 共线,且模相等的向量是________; (3)与向量 EA 共线,且模相等的向量是________.

???? ????

??? ?

解析:向量相等?向量方向相同且模相等.

向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合.
答案:(1) LB? , HC

????

????

(2) EC? , LE , LB? ,GB , HC

????

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????

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????

(3) EF , FB , HA? , HK , KB?

??? ?

??? ?

????

????

????

在蔚蓝的大海上,有一艘巡逻艇在执行巡逻任务,它
从A点出发向西航行了200 km到达B点,然后改变方向,向 西偏北50°航行了400 km到达C点,最后又改变方向,向

东航行了200 km到达D点,此时,它完成了此片海区的巡
逻任务.请你回答下列问题: ??? ??? ??? ? ? ? (1)作出向量 AB , BC , CD ;
(2)求| AD |. [巧思] 运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.根据 向量的关系确定| AD |.

??? ?

??? ?

[妙解] 如图.

(1)作向量 AB , BC , CD ,

??? ?

??? ?

??? ?

(2)由题意,易知 AB 与 CD 方向相反, 所以 AB 与 CD 共线. 所以 AB∥CD. 又因为| AB |=| CD |, 所以四边形 ABCD 为平行四边形. 所以| AD |=| BC |=400(km).

??? ?

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