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(5)高中数学导数的应用之极值和最值



利用导数求函数的极值与最值
内容再现 1、函数的单调性与其导数正负的关系: 在某个区间 ? a , b ? 内,如果 某个区间 ? a , b ? 内, 如果 ,那么函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减;若恒有 , ,那么函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增;在

则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内是常函数。 2

、利用函数判断函数值的增减快慢: 值 如果一个函数在某一范围内导数的绝对

,那么函数在这个范围内变化的快,这时函数的图像比较“陡峭” (向上或 ,那么函数在这个范围内变

向下) :反之,若函数在这个范围内导数的绝对值 化的比较慢,这时函数的图像比较“平缓” 。 3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程 f (1)如果在 x 0 附近的左侧 极大值点。 (2)如果在 x 0 附近的左侧 ,右侧
'

? x 0 ? ? 0 ,当 f ' ? x 0 ? ? 0 时:
,那么 f ? x 0 ? 是极大值, x 0 是

,右侧

,那么 f ? x 0 ? 是极小值点。

4、 (1)函数 f ? x ? 的闭区间 ? a , b ? 上的最值: 如果在闭区间 ? a , b ? 上函数 y ? f ? x ? 的图像 是 一 条 和 曲 线 , 则 该 函 数 在 ,并且函数的最值必在 或

?a, b?

上 一 定 能 取 得 取得。

( 2 ) 求 函 数 y ? f ? x? 在 区 间 ? a , b ? 上 的 最 值 的 步 骤 : 求 函 数 y ? f ? x? 在 ? a , b ? 的 ;将函数 y ? f ? x ? 的 与 比较,其中最大的一个是

最大值,最小的一个是最小值。 三、巩固练习 1、 已知函数 y ? f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导, x 0 ? ( a , b ) , lim 且 则 ( ) (A) f ' ( x 0 ) (B) 2 f ' ( x 0 ) (C) ? 2 f ' ( x 0 ) (D) 0
f (x0 ? h) ? f (x0 ? h) h ?

h? 0

2、函数 y ? x ln x 在区间 ( (A) ( 0 , ) 上单调递减
e 1

) (B) ( , ?? ) 上单调递减
e 1

(C) ( 0 , ?? ) 上单调递减

(D) ( 0 , ?? ) 上单调递增

3、已知 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? a ( a ? R ) 在 [ ? 3,] 上有最小值 3 ,则在 [ ? 3,] 上, f ( x ) 的最 3 3 大值是 4、 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? m x 3 ? 3( m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m , n ? R , m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ? ? ? 1,1 ? 时,函数 y ? f ( x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的 取值

五、典型例题 1、一个物体的运动方程为 s = 1 - t + t 2 其中 S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( A、 7 米/秒 ) C、 5 米/秒 D、 8 米/秒

B、6 米/秒

2、用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等 的小正方形,然后把四边折起,就能焊接成铁盒,所做铁盒容积最大时,在四角截去的正 方形的边长为( A.6cm B.8cm
y D C

) C.10cm D.12cm

A O

B

x

3、如图,某农场要修建 3 个养鱼塘,每个面积为 10 000 米 2,鱼塘前面要留 4 米的运料通 道,其余各边为 2 米宽的堤埂,则占地面积最少时,每个鱼塘的长宽分别为 A.长 102 米,宽
5000 51

( )

米 2 2 米 2 2 2

B.长 150 米,宽 66 米 C.长宽均为 100 米 D.长 100 米,宽
200 3

4

4、过抛物线 y=x2-3x 上一点 P 的切线的倾斜角为 45°,它与两坐标轴交于 A,B 两点,则 △AOB 的面积是 5、 如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成 一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大. 6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到 100 人的团体,每人收费 1000 元。 如果团体的人数超过 100 人,那么每超过 1 人,每人平均收费降低 5 元,但团体人数不能超过 180 人,如何组团可使旅行社的收费最多? (不到 100 人不组团)

7、某机车拖运货物时对货物所做的功 W(单位:J)是时间 t(单位:s)的函数,设这个函 数可以表示为: w ( t ) ? t ? 5 t ? 7 。 (1) 求 t 从 1s 变到 3s 时,功 W 关于时间 t 的平均变化率,并解释它的实际意义; (2) 求在 t=1s 和 t=3s 时,该机车每秒做的功。
3

8、用长为 90cm ,宽为 48cm 的长方形做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方 形,然后把四边形转 90 0 角,再焊接而成(如图所示) ,问该容器的高为多少时,容器的容 积最大?最大容积是多少?

9、某 公里的甲、 乙两地的客运航线权,已

轮船公司争取一个相距 1 000 知 轮船平均 载客人数为 400

人,轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,轮船的最大速度为 25 公 里/小时.当轮船的速度为 10 公里/小时,它的燃料费用是每小时 30 元,轮船的其余费用(与 速度无关)都是每小时 480 元.若公司打算从每个乘客身上获利 10 元,试为该公司设计一种 较为合理的船票价格.

10、 一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比, 与它的厚度 d 的平方成正 比,与它的长度 l 的平方成反比. (1)将此枕木翻转 90°(即宽度变为了厚度)后,枕木的安全负荷会变大吗?为什么? (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为 R)的柱形木材,用它来截取成长方形的枕木,其长 度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?

11、用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆 心角 ? 多大时,容器的容积最大?

六、课堂练习 1、一质点做直线运动,由始点起经过 ts 后的距离为 s= ( ) A 4s 末 B 8s 末 C 0s 与 8s 末 D 0s,4s,8s 末 )
1 4

t -4t +16t ,则速度为零的时刻是

4

3

2

2、要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高应为( A
20 3 3

cm

B 100cm

C 20cm

D

20 3

cm

3、做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料 每单位面积价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的直每径与高的比为( A.a/b B.a2/b C.b/a D.b2/a )

4、某天中午 12 时整甲船自 A 处以每小时 16 公里的速度向正东行驶,乙船自 A 的正北 18 公里处以每小时 24 公里的速度向正南行驶,则当日 12 时 30 分时两船间的距离对时间的变 化率是 。
? ?

5、函数 y ? x ? 2 cos x 在 ? 0,

??
2? ?

上取最大值时, x 的值为__

_.

6、一容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为

时,材料最省。

7、如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成 一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?

8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关系式

为:p=24200-

1 5

x2,且生产 x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利

润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)

9、在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位 于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个 供水站 C, 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元, 问供水站 C 建在 岸边何处才能使水管费用最省?

10、已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1. (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

11、统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千
y ? 1 128000 x ?
3

3 80

米每小时)的函数解析式为: 100 千米。

x ? 8 , ( 0 ? x ? 120 )

,已知甲乙两地相距

(1)当汽车以每小时 40 千米的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

七、家庭作业 1、某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,已 1 ? ?400x-2x2 (0≤x≤400) 知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)=? ,则总利润最大时, ?80 000 (x>400) ? 每年生产的产品是________. 2、在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 3、如果物体做直线运动的方程为 s(t)=2(1-t) ,则其在 t=4 s 时的瞬时速度为( A.12 B.-12 C.4 D.-4
2 2

)

4、从时间 t=0 开始的 t s 内,通过某导体的电量(单位:C)可由公式 q=2t +3t 表示,则 第 5 s 时的电流强度为( A.27 C/s ) B.20 C/s C.25 C/s D.23 C/s

5、球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积的平均膨胀率为______. 6、 如果一质点从固定点 A 开始运动, 位移 s(单位: m)关于时间 t(单位: s)的函数为 y=s(t) =t +3. 求:(1)t=4 时,物体的位移 s(4); (2)t=4 时,物体的速度 v(4); (3)t=4 时,物体的加速度 a(4).
3

7、 、如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4 m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环 呈水平状态,并且与天花板的距离(即 OB)为 2 m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3. 点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B),同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接, 且细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等.设细绳的总长为 y m. (1)设∠CA1O=θ (rad),将 y 表示成θ 的函数关系式; (2)请你设计θ ,当角θ 正弦值是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为多长.

8、已知 a、b 为实数,且 b>a>e,其中 e 为自然对数的底,求证:ab>ba.

9、设关于 x 的方程 2x2-ax-2=0 的两根为α 、β (α <β ),函数 f(x)= (1)求 f(α )?f(β )的值; (2)证明 f(x)是[α ,β ]上的增函数;

4x ? a x ?1
2

.

(3)当 a 为何值时,f(x)在区间[α ,β ]上的最大值与最小值之差最小?

10、某地建一座桥,两端的桥墩已经建好,两桥墩相距 m 米,余下的工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩,经测算:一个桥墩的工程费用是 256 万元,距离为 x 米的相邻两桥墩之 间的桥面工程费用为 ( 2 ?
x ) x 万元,假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑

其它因素,记余下的工程费用是 y 万元, (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式。 (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

附答案: 典型例题答案: 1、 C 2、 A 3、 D 4、 8 3 1 5、设被切去的全等四边形的一边长为 x, 则正六棱柱的体积 V=6× 4 (1-2x)2× 3x (0<x<2),利 1 2 用导数知识可求得:当 x=6时,V 有最大值,此时正六棱柱的底面边长为3.

6、解:设参加旅游的人数为 x,旅游团收费为 y 则依题意有
f ( x ) =1000x-5(x-100)x

(100≤x≤180)

令 f ?( x ) ? 1500 ? 10 x ? 0 得 x=150 又 f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000 所以当参加人数为 150 人时,旅游团的收费最高,可达 112500 元。 7、解: (1)t 从 1s 变到 3s 时,功 W 关于时间 t 的平均变化率为:
w ( 3 ) ? w (1 ) 3 ?1

? 18 ,其实

际意义是:t 从 1s 变到 3s 时间内机车对货物所做的功的平均值,即平均功率。 (2) 根据导数的意义, t=1s 和 t=3s 时, 在 机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为 w ? (1) 和 w ? (3 ) ,
w ? ( t ) ? 3 t ? 5 ,所以: w ? (1) ? 8 , w ? (3 ) ? 32 。
2

8、 设截去的小正方形的边长为 xcm , 解: 则此容器的长、 高分别为:90 ? 2 x , 48 ? 2 x , x 宽、 (单位: cm ) 。∴容积为: y ? x (90 ? 2 x )(48 ? 2 x )( cm ) (0 ? x ? 24)
3

即: y ? 4 x ? 276 x ? 4320 x (0 ? x ? 24)
3 2

∴ y ? ? 12 x ? 552 x ? 4320
2

令 y ? ? 0 得: x ? 36 (舍)或 x ? 10

又当 x ? (0,10) 时, y ? ? 0 , y ↗;当 x ? (10, 24) 时, y ? ? 0 , y ↘ ∴ x ? 10 时, y 最 大 ? 19600 故:该容器的高为 10cm 时,容积最大,最大容积为 19600( cm )
3

9、解:设轮船航行速度为 v 公里/小时,则 0<v≤25.又设总费用为 y 元,则 1 000 1 000 3 3 y=480· + · .(其中 a 为比例系数).由条件 30=a· 3,所以 a= .代入上 av 10 100 v v

式有 y=

60(v3-8 000) 480 000 480 000 +30v2,v∈(0,25],所以 y′=- +60v= 2 v v v2

令 y′=0,解得 v=20.当 v<20 时,y′<0;当 v>20 时,y′>0,又 v=20 是(0,25]内 唯一极值点且是极小值点,于是,当 v=20 时,y 有最小值 36 000 元.所以平均每个 36 000 乘客的费用为 =90(元).因此,该公司可定票价为 100 元. 400

10、 (1)由题可设, 解: 安全负荷 y1=k?

( k 为正常数), 翻转 90°后, 安全负荷 y2=k?

.

∵ 小;

,∴当 0<d<a 时,y1<y2,安全负荷变大;当 0<a<d 时,y2<y1,安全负荷变

当 d=a 时,y1=y2,安全负荷不变.故将此枕木翻转 90°后,安全负荷不一定变大.

(2)设截取的宽为 a,高为 d,则

,即 a2+4d2=4R2.

∵枕木的长度不变.∴u=ad2 最大时,安全负荷最大. 1 由题意可设 u(a)=ad2=a(R2- a2),u′(a)=R2- a2,令 u′(a)=0,可得 a= 4

R.

当 0<a<

R 时,u′(a)>0,函数 u(a)单调递增;当

R<a<2R 时,u′(a)<0,函数

u(a)单调递减.所以当 a=

R,