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分段函数论文



分段函数初探 (三门峡实验高中 河南 三门峡 472000) 摘要:本文就分段函数在高中数学中的应用做了初步的探究。 关键词:分段函数;求值;解析式;最值;奇偶性;单调性;方 程;不等式 【中图分类号】g623.5 高中数学新课标人教必修一课本提到了分段函数,但并没有明确 给出定义,学生对其认知不够深入,而在近几年高考中分段函数屡 屡出现,有的试题还有一定难度。本文就分段函数相

关问题作一探 讨,供大家参考。 所谓分段函数,即在定义域内不同部分上,有不同的对应法则; 它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的定义域是各段函数定 义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 一、 分段函数的求值问题 分段函数求值关键是搞清楚自变量取值范围,然后代入到对应的 解析式求值即可。 例 1、 (2009 山东卷)定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)= , 则 f(3)的值为() a. b. c.1 d.2 解:f(3)=f(2)—f(1)=[f(1)—f(0)]—[f(0)—f(— 1)] =f(1)—2f(0)+f(—1)=[f(0)—f(—1)]—2f(0)+f(— 1) =—f(0)=—log24=—2 二、 分段函数的解析式问题 求分段函数的解析式问题,关键是利用函数的奇偶性等性质然后 根据所给的定义域等条件来求得另外部分定义域的解析式。 例 2、已知奇函数 f(x) (x∈r) ,当 x>0 时,f(x)=x(5—x) +1.求 f(x)在 r 上的表达式。 解 ∵f(x)是定义域在 r 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x0, 故有 f(—x)=—x[5—(—x)]+1=—x(5+x)+1。 再由 f(x)是奇函数,当 x1 时,y= f(x)=—x+5,此时 y 无最 大值.比较可得当 x=1 时,ymax=4. 方法 2 利用函数的单调性 由函数解析式可知,f(x)在 x∈(∞,0)上是单调递增的,在 x∈(0,1)上也是递增的,而在 x∈(1,+∞)上是递减的, 由 f(x)的连续性可知 f(x)当 x=1 时有最大 值 4 方法 3 利用图像,数形结合求得 作函数 y= f(x)的图像(图 1) , 显然当 x=1 时 ymax=4. 说明:分段函数的最值常用以上三种方法求得. 四、 分段函数的单调性问题 考虑分段函数的单调性应该是研究每一段的单调性,然后在考虑 在整个定义域内的单调性(注意函数的连续性) 。 例 4、若 是 r 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为。 分析:函数 f(x)在 r 上单调递增,则函数 f(x)在每一段都是 增函数,并且在 x>1 时的取值不小于 x≤1 时的取值。 解:函数 f(x)在 x≤1 时单调递增,则 ,即 a1 时单调递增则 a>1;由函数 f(x)在 r 上单调递增,所以 ,得 a≥4,综上 4≤a0 时,—x0,f(—x)=(—x)2+5(—x)+1=—x2—5x+1=—f(x) 当 x=0 时,f(0)=0 综上,函数 f(x)是奇函数。 六、 分段函数的周期性问题 例 6、 (2009 年高考山东卷理科)定义在 r 上的函数 f(x)满足 , 则 f(2009)的值为 (a)—1 (b)0 (c)1 (d)2 解:由已知得 f(—1)=lgo22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)—f (—1)=—1, f(2)=f(1)—f(0)=—1,f(3)=f(2)—f(1)=—1—(— 1)=0, f(4)=f(3)—f(2)=0—(—1)=1,f(5)=f(4)—f(


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