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【2017参考】金版教程2016高考数学理二轮复习训练1-5-2 圆锥曲线的定义、方程与性质


一、选择题 1.[2015· 唐山一模]已知抛物线的焦点 F(a,0)(a<0), 则抛物线的标 准方程是( ) B.y2=4ax D.y2=-4ax A.y2=2ax C.y2=-2ax 答案 解析 B 以 F(a,0)为焦点的抛物线的标准方程为 y2=4ax.

2.[2015· 陕西质检(一)]已知直线 l:x-y-m=0 经过抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点,l 与 C 交于 A、B 两点.若|AB|=6,则 p 的值为 ( ) 1 A.2 C.1 答案 解析 B p 因为直线 l 过抛物线的焦点,所以 m=2.联立 p2 得,x -3px+ 4 =0.设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2
2

3 B.2 D.2

?x-y-p=0 2 ? ?y2=2px

3 =3p,故|AB|=x1+x2+p=4p=6,p=2,故选 B. y2 x2 3.[2015· 云南统测]已知 F1、F2 是双曲线 M: 4 -m2=1 的焦点, 2 5 3 y= 5 x 是双曲线 M 的一条渐近线,离心率等于4的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同,P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点,设|PF1|· |PF2| =n,则( A.n=12 C.n=36
1

) B.n=24 D.n≠12 且 n≠24 且 n≠36

答案 解析

A y2 x2 x2 由题意易得,双曲线的方程为 4 - 5 =1,椭圆的方程为 7

? ? ?|PF1|+|PF2|=8 ?|PF1|=6 y2 +16=1, 不妨设|PF1|>|PF2|, 从而可知? ?? ?|PF1|-|PF2|=4 ?|PF2|=2 ? ?

?|PF1|· |PF2|=n=12.故选 A. 4.[2015· 石家庄一模]已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 恰好是双 x2 y2 曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一个焦点, 两条曲线的交点的连线过点 F, 则双曲线的离心率为( A. 2 C.1+ 2 答案 C p ? c = ? 2 由题意可知? b2 ? ?2p=2 a ) B. 3 D.1+ 3

解析

,∴2ac=b2=c2-a2,∴e=1+

2,故选 C. 5 x2 y2 5.[2015· 大连双基测试]已知离心率 e= 2 的双曲线 C:a2-b2= 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,O 为坐标原点,以 OF 为直径的圆与双曲 线 C 的一条渐近线相交于 O,A 两点,若△AOF 的面积为 4,则 a 的 值为( C.4 答案 解析 C 因为 e=
?b? 5 b 1 |AF| b 1 1+?a?2= 2 ,所以a=2,|OA|=a=2,设|AF| ? ?

) B.3 D.5

A.2 2

1 =m,|OA|=2m,由面积关系得2· m· 2m=4,所以 m=2,由勾股定理,

2

c 5 得 c= m2+?2m?2=2 5,又a= 2 ,所以 a=4,故选 C. 6.[2015· 山西质监]已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 E 在 C 的准线上,且在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 3? ? Q?-1,2?,与 C 交于点 P,则点 P 的坐标为(
? ?

)

A.(1,2) C.(3,2 3) 答案 解析 D

B.(2,2 2) D.(4,4)

由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1,F(1,0).设 E(-

3 1,y),因为 PQ 为 EF 的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即 y-2= 4-0 ?3? 1 ?-1-1?2+?2?2,解得 y=4,所以 kEF= =-2,kPQ=2,所 ? ? -1-1 3 1 以 直 线 PQ 的 方 程 为 y - 2 = 2 (x + 1) , 即 x - 2y + 4 = 0. 由
? ? ?x-2y+4=0 ?x=4 ? 2 ,解得? ,即点 P 的坐标为(4,4),故选 D. ?y =4x ? ? ?y=4

x2 y2 7.F 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F 向 C 的 → → 一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线于点 B.若 2AF=FB, 则 C 的离心率是( A. 2 2 3 C. 3 答案 解析 C b b 由已知得渐近线为 l1:y=ax,l2:y=-ax,由条件得,F ) B.2 14 D. 3

到渐近线的距离|FA|=b, 则|FB|=2b, 在 Rt△AOF 中, |OF|=c, 则|OA| = c2-b2=a.设 l1 的倾斜角为 θ,即∠AOF=θ,则∠AOB=2θ.在 Rt
3

b 3b 2tanθ △AOF 中, tanθ=a, 在 Rt△AOB 中, tan2θ= a , 而 tan2θ= , 1-tan2θ 2b a 3b c2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 即 a = b2,即 a =3b ,∴a =3(c -a ),∴e =a2=3,即 e= 3 . 1-a2 故选 C. x2 y2 8.[2015· 洛阳统考]已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0),斜率为 → 1 的直线过双曲线 C 的左焦点且与该双曲线交于 A,B 两点,若OA+ → OB与向量 n=(-3,-1)共线,则双曲线 C 的离心率为( A. 3 4 C.3 答案 解析 B 由题意得,可将直线方程设为 y=x+c,代入双曲线的方 2 3 B. 3 D.3 )

程并化简可得(b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0,设 A(x1,y1),B(x2, → → 2a2c 2b2c y2),则 x1+x2= 2 2,y1+y2=x1+x2+2c= 2 2,∴OA +OB = b -a b -a → → ? 2a c 2b c ? 2a2c ? 2 ? 2, 2 b -a2? ,又∵OA +OB 与 n= (-3,- 1)共线,∴b2-a2= ? b -a
2 2

2b2c c 2 3 3· 2 2?e=a= 3 . b -a 9.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上.若 |F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( 1 A.4 2 C. 4 答案 A
4

) 1 B.3 2 D. 3

解析

? ?|F1A|-|F2A|=2a, 由题意得? ?|F1A|=2|F2A|, ?

解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, c 又由已知可得a=2,所以 c=2a,即|F1F2|=4a, |F2A|2+|F1F2|2-|F1A|2 ∴cos∠AF2F1= 2· |F A|· |F F |
2 1 2

4a2+16a2-16a2 1 = =4.故选 A. 2×2a×4a 10.[2015· 贵州七校联考(一)]已知圆 C 的方程为(x-1)2+y2=1, P → → x2 y2 是椭圆 4 + 3 =1 上一点, 过 P 作圆的两条切线, 切点为 A、 B, 则PA· PB 的取值范围为(
?3 ? A.?2,+∞? ? ? ?

) B.[2 2-3,+∞)
?3 56? D.?2, 9 ? ? ?

56? ? C.?2 2-3, 9 ?
?

答案 解析

C π 1 设 PA 与 PC 的夹角为 α,则 0<α<2,|PA|=|PB|=tanα,

→ → 1 cos2α 所 以 PA ·PB = |PA|· |PB|cos2α = tan2α · cos2α = sin2α · cos2α = → → cos2α?1+cos2α? 2 ,令 t=1-cos2α,则设 f(t)=PA· PB=t+ t -3.由图易 1-cos2α 1 知, P 在椭圆左顶点时 α 取得最小值,此时 sinα=3,而 P 接近椭圆
?1 ? ?2 ? π 右顶点时, α→2, 所以 sinα∈?3,1?, 所以 t=1-cos2α=2sin2α∈?9,2?. ? ? ? ?

?t+ 2??t- 2? ?2 ? ? , 2?上单调递减,在( 2, 因为 f′(t)= ,所以 f ( t ) 在 2 t ?9 ?

5

?2? 56 2)上单调递增,则 f(t)min=f( 2)=2 2-3,而 f?9?= 9 ,f(2)=0,所 ? ?

56? ?2? 56 ? 以 f(t)max=f?9?= 9 ,所以PA· PB的取值范围为?2 2-3, 9 ?,故选 C. ? ? ? ?

→ →

二、填空题 11.[2015· 兰州诊断]椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,若椭 1 圆 C 的离心率等于2, 且它的一个顶点恰好是抛物线 x2=8 3y 的焦点, 则椭圆 C 的标准方程为________. x2 y2 答案 16+12=1 解析 由题设知抛物线的焦点为(0,2 3),所以椭圆中 b=2 3. c 1 因为 e=a=2,所以 a=2c,又因为 a2-b2=c2,联立解得 c=2,a= x2 y2 4,所以椭圆 C 的标准方程为16+12=1. 12.已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之 和的最小值是________. 答案 解析 17-1 由题意知,圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,

抛物线的焦点为 F(1,0). 根据抛物线的定义, 点 P 到点 Q 的距离与点
6

P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦 点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17-1. 13.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线 交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________. 9 答案 4 解析 3? 3? 易知直线 AB 的方程为 y= 3 ?x-4?,与 y2=3x 联立并消 ? ?

去 x,得 4y2-12 3y-9=0.设 A(x1,y1), 9 1 1 3 B(x2, y2), 则 y1+y2=3 3, y1y2=-4.S△OAB=2|OF|· |y1-y2|=2×4 3 9 ?y1+y2?2-4y1y2=8 27+9=4. 14.[2015· 南宁适应性测试(二)]设椭圆中心在坐标原点,A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆相 → → 交于 E,F 两点.若ED=6DF,则所有 k 的值为________. 2 3 答案 3或8

解析

x2 2 依题意得椭圆的方程为 4 +y =1,直线 AB,EF 的方程 2 . 1+4k2

分别为 x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设 D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2, kx2), 其中 x1<x2, 则 x1, x2 满足方程(1+4k2)x2=4, 故 x2=-x1=

7

→ → 1 5 由ED=6DF知 x0-x1=6(x2-x0),得 x0=7(6x2+x1)=7x2= 由 D 在直线 AB 上知 x0+2kx0=2,x0=

10 . 7 1+4k2

2 2 10 .所以 = , 1+2k 1+2k 7 1+4k2

2 3 化简得 24k2-25k+6=0,由此解得 k=3或 k=8.

8


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