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高中数学 1.2 空间几何体的三视图和直观图课件 新人教版必修2



2016年10月11日星期二4时53分1秒

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1.了解中心投影和平行投影的概念. 2.会画简单的空间几何体(柱、锥、台、球及其组合)的三视 图,能够识别三视图所描述的模型. 3.会用“斜二测画法”画出空间几何体的直观图.

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在前一节中我们主要学习了柱、锥、台、球的结构特征, 对空间几何体有了一个直观性、概念性的认识.
本节我们将要学习如何将空间几何体用平面图形表示出 来,同时能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构. 我们将在了解投影知识的基础上,学习空间几何体的三 视图和直观图.

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在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影.其 中,光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.

投射线可自一点发出,也可是一束与投影面成一定角度的 平行线,这样就使投影法分为中心投影和平行投影
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光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.其投影 线交于一点(投影中心).

在中心投影中,如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置,则其投影的大小也随之改变.
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从图中可以看出,空间 图形经过中心投影后,直线 变成直线,但平行线可能变 成了相交的直线.

中心投影后的图形与原图 形相比,虽然改变很多,但直 观性强,看起来与人的视觉效 果一致,最象原来的物体.所 以在绘画时,经常使用这种方 法,但在立体几何中很少用中 心投影原理来画图.
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如果将投影中心移到无穷远处,则所有的投影线都相互平 行,这种投射线为平行线时的投影称为平行投影. 正投影:投 射线垂直于 投影面 斜投影:投 射线倾斜于 投影面

正投影能正确的表达物体的真实形状和大小,作图比较方 便,在作图中应用最广泛. 斜投影在实际中用的比较少,其特点是直观性强,但作图 比较麻烦,也不能反映物体的真实形状,在作图中只是作为一 种辅助图样.
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三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

S

投 射 方 向

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的,则 为平行投影,如果聚于一点,则为中心投影.
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平行光线

? ? ? ? ? ? ?

?

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中心投影:投射线交于一点 投影的分类 斜投影 平行投影 投射线平行 正投影(本节主要学习利用正投影绘制 空间图形的三视图,并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征)

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把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面 图形.视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌,因此我们需 要从多个角度进行投影. 1.光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图 叫做几何体的正视图. 2.光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 叫做几何体侧视图. 3.光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图 叫做几何体的俯视图.

三 视 图

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根据长方体的模型,请您画出它们的三视图,并 观察三种图形之间的关系. 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样,俯视图和正 视图的的长度一样,侧视图和俯视图的宽度一样.
高平齐
正视图 正视图 侧 视 图

? 侧视图
高度

长对正?

长度

宽相等
宽度

俯视图

俯视图

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请您画出圆柱的三视图 俯



圆柱

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请您画出圆锥的三视图





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请您画出圆台的三视图 俯



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请您画出六棱柱的三视图





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请您画出六棱锥的三视图





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请您画出四棱台的三视图





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请您画出球的三视图





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三通水管

图2

图1 如果要做一个水管的三叉接头,工人事先看到的不是图 1, 而是图2,然后根据这三个图形制造出水管接头.
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画出下面这个组合图形的三视图.

遮挡住看不见的线用虚线
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请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型. 圆锥

圆台

冰淇淋
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(1) 四棱柱 (2) 圆锥与半球组成的简单组合体 (3) 四棱柱与球组成的简单组合体

(4) 两个圆台组成的简单组合体
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五棱锥

三棱柱

四个圆柱组成的简单组合体

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2.根据下列三视图,想象对应的几何体.

三棱柱

圆台

四棱柱
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四棱柱与 圆柱组成的 简单组合体

5.如图,已知几何体的三视图,想象对应的几何体的结构特征

?

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图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 以了解空间图形的一些性质和特征.
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般 采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但 斜的平行线则会相交,交点称为消点.
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中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复 杂,又不易度量.
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法. 投影规律 1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变; 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 直线在地面上的投影长不变.

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例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,对称轴MN 所在直线为Y轴,两轴交于点O.画对应的 X ' , Y ' 轴,两轴相交 于点 O ' ,使 ?X ' OY ' ? 45?
y
F A

M

E D
x

y'
O

O

x'

B

N C

注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.
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1 (2)以O 为中心,在 x 上取 A D ? AD ,在 y 轴上取 M N ? 2 MN ' '为中心,画 B'C ' ? x ' 轴,并等于 BC ,再以 M 为中心,画 以点 N
' '

'

'

'

'

E ' F ' ? x' 轴,并等于 EF
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,铅垂放置的线段长变为原 来的一半.
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(3)连接 A' B' , C ' D' , E ' F ' , F ' A' , 并擦去辅助线x’轴和y’轴,便获得 ' ' ' ' ' ' 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
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斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点. 画直观图时,把它画成对应的x’轴、y’轴,两轴交于O’,使 ?x'Oy' ? 45? (或135? ) ,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不 变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

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关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画 法.在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.

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例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体的直观图

联想水平放置的平 面图形的画法,并注意 到高的处理

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?1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使?xOy=45? , ?xOz ? 90?.
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD

Z

y
O

Z

y
Q

x

M

D
O

C

A

N
B

x

P

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?3? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA?,BB?,CC?,DD?.

?4? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.

D?

Z
B?
O

C?
Q

A?
M

y

D?

C?
B?
C

D
P

C

N
B

A

x

A?

D

A

B

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例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图

Z ·
O?

y?

· O? · O
正视图

· O? · O
侧视图

y

x?

O

x

·
俯视图

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三视图从细节上刻画了空间几何体的结构, 根据三视图,我们可以得到一个精确的空间几 何体,正是因为这个特点,使它在生产活动中得 到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等).直观 图是对空间几何体的整体刻画,我们可以根据 直观图的结构想象实物的形象.
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中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体
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斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象



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