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高等数学-第七版-课件-9-10 多元函数的极值及其求法



第十讲 多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件

(四)求法

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

回顾: 一元函数的极值与最值
?定义 极值 最值 区别 联系 ?存在条件 在x0的邻域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0) 在定义域内f(x)≥f(x0)(f(x)≤f(x0) 局部概念、 整体概念 若最值在区间内部取得,则最值一定是一个极值
驻点 驻点 极值嫌疑点 不可导点

必要条件 极值点(可导)
充分条件 ?求法 第一条件 第二条件

极值嫌疑点左右侧一阶导数的符号 驻点处二阶导数的符号 比较函数值 最值在内部取得 实际意义

极值

明确定义域 求驻点和不可导点 最值 判定

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

?定义 设函数z=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的内点. 若存在P0 的某个邻域U(P0),使得对于该邻域内异于P0 的任何点(x,y)都有: 在(x0,y0)有极大值 (极小值)

(? )

则称函数f(x,y) 点(x0,y0)称为函数

f (x,y)的极大值点 (极小值点).极大值和极小值统称为 极值, 使得函数取得极值的点称为极值点.

?例1
在点(0,0) 有极小值; 在点(0,0) 有极大值;

z z z
x x x
y y y

在点 (0,0) 无极值.

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

?定理1 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值 , 则有:

f x? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y? ( x0 , y0 ) ? 0.
?注 (1) 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 几何意义: 曲面z=f(x,y)在驻点处的切平面平行于xoy面. (2) 驻点不一定是极值点. 例如: 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. (3) 函数在一点处偏导数不存在,也可能取得极值. 例如: 在(0,0)处偏导数不存在,但取得极小值.

?定理2 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶

? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ? ( x0 , y0 ) ? 0 连续偏导数,又 f x
令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 ) 则f (x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下: 则: 1) 当AC-B2>0时,具有极值 2) 当AC-B2<0时,没有极值 3) 当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论. A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

一、多元函数的极值
(一)引言 (二)定义 (三)存在条件 (四)求法

?定理2 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶

? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ? ( x0 , y0 ) ? 0 连续偏导数,又 f x
令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 ) 则f (x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下: 则: 1) 当AC-B2>0时,具有极值 2) 当AC-B2<0时,没有极值 3) 当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论. ?例2 求 的极值. A<0 时取极大值; A>0 时取极小值.

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

?假定
(1) f (x,y)在有界闭区域D上连续; (2) f (x,y)在D内可微分且只有有限个驻点.

?求法
(1) 求出f (x,y)在D内的所有驻点及驻点处的函数值; (2) 求出f (x,y)在D的边界上的最大值和最小值; (3) 上述函数值中,最大者为最大值,最小者为最小值.

?注 (1) 上述求法中无须驻点处取得极值的情况 (2) 若根据问题的性质可以断定f (x,y)的最值在D内部取得,
而函数在D内只有一个驻点,则函数在该点处取得最值.

?例3 某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? ?例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成一个 断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积 最大?

x 24

? x
24 ? 2 x

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、最值问题

三、条件极值

?问题
对自变量只有定义域限制 极值 无条件极值 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值 ?条件极值的求法 1. 代入法 无条件极值 例, 在条件 下,求函数 的极值

?问题
对自变量只有定义域限制 极值 无条件极值 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值 ?条件极值的求法 1. 代入法

2. 拉格朗日乘数法
例, 在条件
拉格朗日函数

下,求函数

的极值

对x和y分别求偏导数 与附加条件联立

可能的极值点

?拉格朗日乘数法的推广 例, 求函数 在附加条件

下的极值. (自变量对于两个,条件多于一个) 作拉格朗日函数: 求其一阶偏导数,与两个附加条件联立,得方程组:

解方程组, 得出的

即为可能极值点.

?例5 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. ?注 在实际问题中往往可根据问题本身的性质判定 用拉格朗日乘数法求得的点是否为极值点. ?例6 求函数 在附加条件 下的极值. ?注 判定用拉格朗日乘数法求得的点P0是否为极值点 还可用如下方法:
用二元函数极值的 充分条件判断

例, 在条件
隐函数

下,求函数

的极值

?例7 设电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机 的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测, 销售量x与 销售价格p之间有下面的关系: 其中M为市场最大需求量,a是价格系数.同时,生产部门根据 对生产环节的分析,对每台电视机的生产成本c作如下测算: 其中 的成本,k是规模系数. 根据上述条件,应如何确定电视机的售价p,才能使该厂获得 是只生产一台电视机时

最大利润.



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