9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三第五次月考试题数学理



2014 届高三第五次月考数学试题(理科)
时量:120 分钟 一、选择题(8*5 分=40 分) 1.设 x, y ? R ,则“ x ? 2且y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的 (
2 2

总分:150 分



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分

必要条件 D.既不充分也不必要条件
x ( x ? 2)

2.已知 M ? {x | y ? ln(1 ? x)} , N ? {x | 2 A. {x | 0 ? x ? 2}
sin(

? 1} ,则 M ? N 为

( D.



B. {x | 0 ? x ? 1}
1

C.

? x | 0 ? x ? 1?

{x 0 ? x ? 1}

?
3

??) ? ?

3.若
7 A. 9 ?

cos( ? 2? ) ? 3 ,则 3
1 B. 3 ? 1 C. 3

?





7 D. 9

4. 设

{an }

是公差为正数的等差数列,若 D.75

a1 ? a2 ? a3 ? 15, 且a1a2 a3 ? 80, 则a11 ? a12 ? a13

等于(



A.120 B.105 C.90

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 2 b 5. 过双曲线 a 的右焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线 FM (切点为 M ),交 y 轴于点

P .若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为
A.2 B. 2 C. 3



) D. 5 )

6. 设直线 l 的方程为: x ? y sin ? ? 2013 ? 0 ( ? ? R ),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是(

A.

? 0, ? ?

?? ? ? , ? ? 4 2? ? B.

? ? 3? ? , ? ? 4 4 ? ? C.

? ? ? ? ? ? 3? ? , ??? , ? ? 4 2? ?2 4 ? ? D.

? ? x ? 1 ( ?1 ? x ? 0) 1 f ( x) ? ? 2 f ( x)dx ? ? ? 1 ? x (0 ? x ? 1) , 则 ?1 7. 已知函数 的值为





1?
A.

?
2

1 ? ? B. 2 4

1?
C.

?
4

1 ? ? D. 2 2

8.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1

③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x) 为理想函数.

1

下面有三个命题: (1)若函数 f ( x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 ?1( x ? [0,1]) 是理想函数;
x

x ? [0,1] f ( x0 ) ? [0,1] f [ f ( x0 )] ? x0 (3)若函数 f ( x) 是理想函数,假定存在 0 ,使得 ,且 ,


f ( x0 ) ? x0



其中正确的命题个数有(

) C.2 个 D.3 个

A. 0 个 B.1 个 二、填空题: (7*5 分=35 分)

?x ? y ? 2 ? 0 ? x?0 ? ? y?0 9 .若在 区域 ? 内 任取一点 P ,则点 P 恰好在单位 圆
x 2 ? y 2 ? 1内的概率为
10.某几何体的三视图如右,其中正视图与侧视图上半部分为半圆,则该 何体的表面积为 . 11. 已知 A、B 是圆 C (C 为圆心)上的两点, | AB | =2,则 AB ? AC = . 几

???

??? ??? ?

x2 y 2 ? ?1 12.双曲线 C: 9 7 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 右支上一动点,点 Q 的坐标是(1,4) ,

则|PF1|+|PQ|的最小值为



?0 ? x ? 2 ? ?y ? 2 ? x ? 2y 13. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的动点, 点A
的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为

???? ? ??? ?

.

( x?
14. 在二项式

1 2 x
4

)n
的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,

则有理项都不相邻的概率为 15.下列命题: ①当 ?x ? 1 时,

lg x ?

1 ?2 lg x ;② m ? 1 ? n 是 m ? n 成立的充分不必要条件;

③对于任意 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足:
2 sin A ? s i2n B?

s2iC n?

2B s i n Cs i n; Acos

2

b、 c 都在函数 y ? f ( x) 的定义域内, ④定义: 如果对任意一个三角形, 只要它的三边长 a 、 就有 f (a ) 、
f (b) 、 f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 y ? f ( x) 为“三角形型函数”.函数 h( x) ? 1nx, x ?[2, ??) 是
“三角形型函数”. 其中正确命题的序号为 .(填上所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

2asin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C.
(1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长是 ? , 侧棱长是 3, 点 E、 F 分别在 BB1、 DD1 上, 且 AE⊥A1B, AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥面 AEF; (2)求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 ? 的正切值.

18. (本小题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动,活动规则如下:消费 额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在

B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转
盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为 X (元) ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 13 分) .
3

已知数列

{an }

S 的前 n 项和为 n ,点
,且

(n,

Sn 1 11 ) y ? x? n 在直线 2 2 上 . 数 列 {bn } 满 足

bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 (n ? N * )
(1)求数列

b3 ? 11

,前 9 项和为 153.

{an } {bn }


{的通项公式;

cn ?
(2)设

3 ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1)

,数列

{cn }

的前 n 和为

Tn

,求使不等式

Tn ?

k 57 对一切 n ? N * 都成立

的最大正整数 K 的值;

? 1 , k?N )* ? an ( n ? 2 k ? f ( n) ? ? * * ? ?bn (n ? 2k , k ? N ) , (3) 设 问是否存在 m ? N , 使得 f (m ?15) ? 5 f (m) 成立?若存在, 求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 13 分 )

???? 2 5 ???? ? ???? ? ON ? OM M MM1 ? y 5 直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,| OM |? 5 , . 过点 M 作 轴于 1 ,
过N 作

NN1 ? x

轴于点

N1 OT ? M1 M ? N1 N 5 ,0 ) , . 记点 T 的轨迹为曲线 C , 点 A(

、B(1, 0) , 过点 A

作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P 、 Q (点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 | BP |?| BQ | ,并说明理由. 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 ( a ? 0 , e 为自然对数的底数).
x

(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若 f ( x) ≥0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;

1 2 n ?1 n n n e ( )n ? ( ) n ? ??? ? ( ) ?( ) ? (其中n ? N*) n n n e ?1 (3)在(2)的条件下,证明: n

4

张家界市民中 2014 届高三第五次月考数学答卷(理科) 选择题(8×5′=40′) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

班 级

二.填空题(7×5′=35′) 9. 11. 13. 15. 10. 12. 14.

学 号

三 解答题(每大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 16、(本小题满分 12 分)

姓 名

17. (本小题满分 12 分)

5

18. (本小题 12 分)

19. (本小题满分 13 分)

6

20. (本小题满分 13 分)

21.(本小题满分 13 分)

7

高三第五次月考理科数学参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 8 ? 40 )
/ /

题号 答案 8、

1 A

2 C

3 A

4 B

5 B

6 C

7 B

8 D

【解析】 ?1? 取x1 ? x2 ? 0,可得f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 0 ?, 所以f ? 0 ? ? 0.又由条件①f ? 0 ? ? 0,故f ? 0 ? ? 0.

? 2 ? 显然f ? x ? ? 2 x ? 1在 ? 0,1? 上满足条件①f ? x ? ? 0; 也满足条件②g ?1? ? 1.
若x1 ? 0,x2 ? 0,x1 ? x2 ? 1,

? x1 ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? 2x1 ? x2 ? 1 ? ? ?? 2x1 ? 1? ? ? 2x2 ? 1? ? ? ? 2x1 ? x2 ? 2x1 ? 2x2 ? 1 ? ? 2x2 ? 1? ? 2x1 ? 1? ? 0, 即满足条件③. 故f ? x ? 是理想函数.
则f

? 3?由条件③知,任给m、n ? ?0,1?,当m ? n时,由m ? n知n ? m ? ? 0,1?, 所以f ? n ? ? f ? n ? m ? m ? ? f ? n ? m ? ? f ? m ? ? f ? m ?. 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0,前后矛盾; 若x0 ? f ? x0 ?,则f ? x0 ? ? f ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0,前后矛盾.所以f ? x0 ? ? x0 .
二、填空题(35 分)

? 9、 4

10. 7? ;

11、2

12、11

13.4;

5 14. 12 ;

15.①③④.

三、解答题: 16.解: (1)由已知,根据正弦定理得 即 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

2a 2 ? ? 2b ? c ? b ? ? 2c ? b ? c
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A

1 cos A ? ? , 2 故

A ? 120?

………………6 分
?

(2)由(1)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60 ? B)

?

3 1 cos B ? sin B ? sin(60? ? B), ? 0? ? B ? 60? 2 2
?

故当 B ? 30 时, sin B ? sin C 取得最大值 1.………………12 分
8

17. 证明: (1)连接 正四棱柱 ? 又?

AC 1
-------2 分

CB ? 平面ABB1 A1 ? CB ? AE A E? A 1 B

?

A E ? 平面 A 1 BC 1 C ? A E? A -------4 分 AF ? AC 1

D1 A1

C1 B1

同理可得:

? 平面AEF 1 ? AC --------------------6 分
F (2)?

A E? A 1 B ? R t? A B1 A ∽

D A

C

E B

A 1 ? ? B E-------8 R t? A B E ? ?A B A 分
又 底面边长是 ? ,侧棱长是 3

?
得 同理

tan ?ABA1 ?

3 ,?ABA1 ? 3 --------9 分

?

?EAB ?

?
6 , BE ? 1

DF ? 1 -----------(10 分)
tan ? ? BE 2 6 ? ? 1 3 6 AC 2 --------------12 分



AC ? 6 ,

?

证法二 建立空间直角坐标系(略) 18、解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C.

1 1 1 P ( A) ? , P ( B ) ? , P (C ) ? 6 3 2 ………………3 分 则
(Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.[

p ? p( A) ? p( B) ?
所以

1 1 1 ? ? 6 3 2 ………………4 分

1 即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 2 .
(Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.………5 分
9

1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? 2 2 4; 1 1 1 1 5 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? 2 6 3 3 18 ;

1 1 1 P( X ? 30) ? ? ? 2 ? 2 3 3; 1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? 3 6 9;

1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? 6 6 36 …………10 分
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36 其数学期望 …………12 分

Sn 1 11 1 11 ? n ? , Sn ? n 2 ? n 2 2 即 2 2 …………1 分 19、解: (1)由题意,得 n
1 11 11 ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ( n 2 ? n) ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? n ? 5 2 2 2 ?2 ? 故当 n ? 2 时,
当 n =1 时, 所以, 又

a1 ? S1 ? 6

,而当 n =1 时, n +5=6, …………2 分

an ? n ? 5 ? n ? N ? ?
,即

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0

bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ? n ? N ? ?

…………3 分

所以(

bn

9 ? b3 ? b1 ?
)为等差数列,于是

2

? 153



b3 ? 11 bn

, =

b1 ? 23

d?


23 ? 11 ?3 7?3
,即

因此,

b3 ? 3 ? n ? 3? ? 3n ? 2

bn



3n ? 2 ? n ? N ? ?

…………4 分

cn ?
(2)

3 3 ? ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) [2( n ? 5) ? 11][ 2(3n ? 2) ? 1]

?

1 1 1 1 ? ( ? ). (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 …………5 分

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 所以,
10

1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1 …………6 分
Tn?1 ? Tn ?
由于

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)( 2n ?