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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.3函数的单调性与最值课件 新人教A版



[知识能否忆起] 一、增函数与减函数的定义 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上.

1.如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时, 都有
f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加 的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递增 的.

2.如果对于任意两数x1,x2∈A,当x

1<x2时都有
f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 减少 的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递减 的. 二、单调区间、单调性及单调函数 1.单调区间:如果y=f(x)在区间A上是 增加 或是 减少 的,那么称 A 为单调区间.在单调区间上,如果函 数是增加的,那么它的图像是 上升 的;如果函数是减少 的,那么它的图像是 下降 的.

2.单调性:如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上 是 增加 的或是 减少 的,那么就称函数y=f(x)在这个子 集上具有单调性. 3.单调函数:如果函数y=f(x)在整个定义域内是 增加 的或是 减少 的,那么分别称这个函数为增函数或

减函数,统称为单调函数.

[小题能否全取] 1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函 数的为
A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x|

(

)

解析:由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排 除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,

又该函数为奇函数,故选D. 答案:D

2.函数y=(2k+1)x+b是减函数,则(

)

1 A.k> 2 1 C.k>- 2

1 B.k< 2 1 D.k<- 2

解析:函数 y=(2k+1)x+b 是减函数, 1 则 2k+1<0,即 k<- . 2

答案:D

1 3.(教材习题改编)函数 f(x)= 的最大值是 ( 1-x?1-x?
4 A. 5 3 C. 4 5 B. 4 4 D. 3
2

)

解析: ∵1-x(1-x)=x 1 4 ≤ . 1-x?1-x? 3

? 1? 2 3 3 -x+1= ?x-2? + ≥ ,∴ 4 4 ? ?

答案:D

4.下列四个函数中,在(0,1)上增加的是
A.y=sin x
?1? C.y=?2?x ? ?

(

)

B.y=-log2x
? 1 ?2 D.y=?x-2? ? ?

解析:∵y=sin x

? π π? 在?-2, 2?上是增加的, ? ?

∴y=sin x 在(0,1)上是增加的.

答案:A

5.若函数 f(x)=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增加的,则 m 的取值范围是________.
解析: m=0 时, 当 f(x)=x+5 在[-2, +∞)上是增加的; ?m>0, ? 1 当 m≠0 时,则? 1 解得 0<m≤ . 4 ?-2m≤-2, ? 1 综上所述 0≤m≤ . 4 ? 1? 答案:?0,4? ? ?

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某
个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调, 在整个定义域上不一定单调.

2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解 函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二 次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应 根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单

函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函
数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或

不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集
符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

[例 1]

a 判断函数 f(x)=x+x(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
设 x1>x2>0,则

[自主解答]

? ?a a? ? a? a? f(x1)-f(x2)= ?x1+x ? - ?x2+x ? =(x1 -x2)+?x -x ? = ? ? ? 1 1? 2? 2? ? a?x2-x1? a ? (x1-x2)+ =(x1-x2)?1-x x ?. x1x2 ? 1 2?

当 a≥x1>x2>0

? a ? 时,x1-x2>0,?1-x x ?<0, ? 1 2?

有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x(a>0)是减少的; 当 x1>x2≥
? a ? a时,x1-x2>0,?1-x x ?>0, ? 1 2?

有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), a 此时,函数 f(x)=x+x(a>0)是增加的. a 综上可知, 函数 f(x)=x+x(a>0)在(0, a ]上是减少的; 在[ a,+∞)上是增加的.

对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的 单调性有两种方法:

(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、
判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单 调性的证明,一般采用定义法进行.

-2x 1. 判断函数 g(x)= 在 (1, +∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,

-2x1 -2x2 则 g(x1)-g(x2)= - x1-1 x2-1 2?x1-x2? = , ?x1-1??x2-1? 由于 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数.

[例 2]

(2012· 长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞, +∞)

内 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数 fk(x) =
?f?x?,f?x?≤k, ? ? ?k,f?x?>k, ?

取函数 f(x)=2

-|x|

1 .当 k= 时,函数 fk(x) 2 ( )

的单调递增区间为

A.(-∞,0)
C.(-∞,-1)

B.(0,+∞)
D.(1,+∞)

[自主解答] -1 或 x≥1.

1 1 由 f(x)> ,得-1<x<1,由 f(x)≤ ,得 x≤ 2 2

所以 f 1
2

?2-x,x≥1, ? ?1 (x)=? ,-1<x<1, ?2 ?2x,x≤-1. ?

故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

[答案]

C

若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不 变,则fk(x)的单调增区间为________.
1 解析:函数 f(x)=log2|x|,k= 2 时,函数 fk(x)的图象如图所示,由 图示可得函数 fk(x)的单调递增区间 为(0, 2 ].
答案:(0, 2 ]

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、
差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x) 的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.

2.(2013· 枣庄质检)函数y=x-|1-x|的单调增区间为
________.
?1, x≥1, ? 解析:y=x-|1-x|=? ?2x-1, x<1. ?

作出该函数的图像如图所示. 由图像可知,该函数的单调增区间是(-∞,1].

答案:(-∞,1]

[例3]

(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)

<f(m2)的实数m的取值范围是________. (2)(2012· 安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增

区间是[3,+∞),则a=________.

[自主解答] m<m2.

(1)∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-

∴m2+m-2>0.∴m>1 或 m<-2.

a ? ?-2x-a,x<-2, (2)由 f(x)=? ?2x+a,x≥-a, 2 ?
? a ? 单调递增区间为?-2,+∞?,故 ? ?

可得函数 f(x)的

a 3=- ,解得 a=-6. 2

[答案]

(1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行 大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意:一是 函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等 价转化思想与数形结合思想的运用.

1 3.(1)(2013· 孝感调研)函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为 x-1 ________,最大值为________.
(2)若[5,8]是函数 f(x)=4x2-kx-8 的单调区间,则 k 的取值范围是________. 1 解析:(1)∵f′(x)=- <0,∴f(x)在[2,3]上为减函 ?x-1?2

1 1 1 数,∴f(x)min=f(3)= = ,f(x)max= =1. 2 3-1 2-1

k (2)函数 f(x)=4x -kx-8 的对称轴为 x= ,由题意 8
2

k k ≤5 或 ≥8,即 k≤40 或 k≥64. 8 8

1 答案:(1) 2

1 (2)(-∞,40]∪[64,+∞)

[典例]
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0, ?

(2012· 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = 南 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取

值范围是________.

[尝试解题]
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0 ?

法一:画出 f(x)= 的图象,

由图象可知,若 f(1-x2)>f(2x),
?1-x2>0, ? 则? ?1-x2>2x, ? ?-1<x<1, ? 即? ?-1- 2<x<-1+ ?

2,

得 x∈(-1, 2-1).

法二:当 x=-1 时,1-x2=0,2x=-2,则 f(0)=1, f(-2)=1,无解; 当-1<x≤0 时,1-x2>0,f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2 +1>1,恒成立; 当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0,原不等式化为(1-x2)2 +1>(2x)2+1, 即(x+1)2<2,∴0<x< 2-1; 当 x<-1 或 x>1 时,1-x2<0,无解. 综上知-1<x< 2-1.

[答案]

(-1, 2-1)

1.解答本题有两大误区:
(1)误将 f(1-x2),f(2x)中的 x 当成分段函数 f(x)=
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0 ?

中的 x,从而造成失误;

(2)仅考虑函数单调性, 由 f(1-x2)>f(2x),得 1- x2>2x,却忽略了 1-x2>0 而失误.

2.解决分段函数的单调性问题时,应注意: (1)抓住对变量所在区间的讨论; (2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端

点值间的大小关系;
(3)弄清最终结果取并还是交.

?针对训练
(2012· 嘉兴一中模拟)已知函数f(x)= ??a-2?x,x≥2, ? ??1?x ??2? -1,x<2 ?? ? 满足对任意的实数x1≠x2,都有

f?x1?-f?x2? <0成立,则实数a的取值范围为 x1-x2
A.(-∞,2) C.(-∞,2]
? 13? B.?-∞, 8 ? ? ? ?13 ? D.? 8 ,2? ? ?

(

)

解 析 : 函 数 f(x) 是 R 上 的 减 函 数 , 于 是 有 ?a-2<0, ? 13 ?1? ? 由此解得 a≤ ,即实数 a 的取 2 8 ??a-2?×2≤?2? -1, ? ? ?
? 13? 值范围是?-∞, 8 ?. ? ?

答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2011· 新课标全国卷)下列函数中既是偶函数又在 (0,+∞)单调递增的函数是 x2+x-6的单调区间. ( )

A.y=x3 C.y=-x2+1

B.y=|x|+1 D.y=2-|x|
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(六)”

解析: A 选项中,函数 y=x3 是奇函数;B 选项中,y=|x| +1 是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数;C 选项中,y=- x2+1 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数;D 选项中,y =2
-|x|

?1? =?2?|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数. ? ?

答案:B

2.(2011· 江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间 是________.
解析:由题意知,函数 f(x)=log5(2x+1)的定义域为
? ? 1 ? 1? ? ? ?xx>- ?,所以该函数的单调增区间为?- ,+∞?. 2? ? ? ? ? 2 ?
? 1 ? 答案:?-2,+∞? ? ?

3.求函数 f(x)= x2+x-6的单调区间.
解:设 u=x2+x-6,y= u. 由 x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. 结合二次函数的图象可知,函数 u=x2+x-6 在 (-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 又∵函数 y= u是递增的,∴函数 f(x)= x2+x-6 在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.

4.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有
?x? f?y ?=f(x)-f(y),当 ? ?

x>1 时,有 f(x)>0.

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

解:(1)∵当 x>0,y>0 时,
?x? f?y ?=f(x)-f(y), ? ?

∴令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 则
?x2? f(x2)-f(x1)=f?x ?, ? 1?

?x2? x2 ∵x2>x1>0.∴ >1,∴f?x ?>0. x1 ? 1?

∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增加的.

(3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增加的. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ∵f(4)=2,由 知
?x? f?y ?=f(x)-f(y), ? ?

?16? f? 4 ?=f(16)-f(4), ? ?

∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4].



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