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一道数学竞赛题的推广与引申



?

专论茎萃 ?  

数学通讯 ——z O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

6 5  

c [  ̄ / 2 s i n (   + 号 ) + 1 ] ≤(  + 1 ) c  
≤4 5 +1 ,  

『 _ =  i  一  
为 2

.  
证 明 
—  

T+  

『 二  _ 1 - 的最大值 

记 a 。一 Y—  , b  一 2一 Y ,c 。一 z  

当 且 仅 当0 一 号 , c —l 时 , 上 式 取 等 号 ?  
因此, 当 口一 4 5  




则有 a   +b  一 C   , 其 中 a, b, C   E[ O, 1 ] ,  

6—

5  4

, c一 1 , 也 即 z一 。  

设n —c   c 。 s O , b — f   s i n 0 , 0 ∈ [ o , 号 ] , 则  
P一口 一b +c —c [ 5c 4 o s ( 0 +孕) +1 ] .  

,  



丢 , z 一 1 时 , M 取 得 最 大 值 M   = 5 4 + 1 .  
结论 3   设  , Y , z  E [ O , 1 ] , 则 N — 

因 为   E [ o , 号 ] ,   + {E [ 詈, }   ] , 所 以  
c o s ( 0 +孚) ≤   , 从而 P≤2 c ≤2 .  
当且 仅 当 f一 1, 0— 0时 , 上式 取等 号 , 即 a  


I _ _ y I . I   二 z   1 .   I z —   I 的   最 大 值 为 丢 .  
证 明  不 妨 设 0≤ X≤ Y≤  ≤ 1, 记 a  = 

Y— z , b 。一 z — Y ,c 。 一 z —  , 则有 a   +b  = 

1, b一 0 , c =1 , 也 即 z一 0, Y一 1 , z =1 时,  

c   , 其 中 a ,b,C   E[ O ,1 - ] , 设 a: = :c   c o s 0 , b—  c s i n 0 , 0   E[ 0,   ] , 则 

P取 得最 大值 P   。  一 2 .  

依 据上 述 方 法 , 还 可进 一 步 得 到一 些 变形 的  结论 , 有 兴趣 的读者 可继续 探 讨.   思 考上 述两 种解 法 , 各 有优 点 , 命 题组 给 出的  解 法 很容 易对 原 问题 进 行 推 广 , 而 用第 二 种 方 法 
很 容 易对本 问题 进行 多种 变式 . 因此, 对一 种 问题 

N 一   c 一 譬 s i n 2   ≤   c 3  1 ,  
当 且 仅 当0 一詈, c =1 时 , 上 式 取 等 号 , 即口  
_


5 4   ’ 6 =  一 1  p   一   一 ÷, z 一 1   探究 问题 , 不 能 只 抓住 一 种 方 法 不 放 , 否则 , 将 限 
制你 的思 维的广 度和 深度.  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —1 2 —3 0 )  

的解 法要做 到 多 思考 , 尽 可 能 地从 不 同 的 视 角来 

时取 等号 .  

故 N … 一 丢 .  
结论 4   设 0≤ X ≤ Y ≤ z≤ 1 , 则 P 一 



道 数 学 竞 赛 题 的 推广 与引 申 
高   凯  
( 安 徽 省 宿 州 市 砀 山 中学 ,2 3 5 3 0 0 )  

题目

( 2 0 1 0年 河 北 省 预 赛 题 )已 知椭 圆 C  

问题 l   如图 1 ,已知 


y    J
A  

过点 M ( 2 , 1 ) , 两个 焦 点分 别为 ( 一√ 6 , 0 ) , ( √ 6 , 0 ) .  
0为 坐标原 点 , 平行于 0 M 的直线 z 交 椭 圆 C于不 

2  

2  

椭 圆 c:   +万 Y =l ( 口> b  
n 

同的点 A, B . ( 1 )略 ; ( 2 )证 明 : 直 线 MA, MB 与 . 2 7  
轴 围成一 个等腰 三 角形 .  

> 0 )过 点 M , O 为 坐标 原 



 

B 
. 

点, 平行于 0 M 的直 线交 椭 
圆 C于不 同 的点 A, B . 若 直 

本题 属 于 一 道 很 常 规 的竞 赛试 题 , 主要 考查 
椭 圆的标 准方 程 、 直 线 的方 程 及 直线 与 椭 圆 的位  置关 系. 下面 将此题 推 广到 一般形 式 .  

线 MA, MB 与 . 2 7轴 围 成 一 

图 1  

个 等腰 三角形 , 求直 线 O M 的斜 率 和点 M 的坐标 

6 6  

数 学 通讯 一 一2 O 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半月)  

? 专论荟 萃 ?  

证 明  显然 直线 0 M 的斜率 存在 , 设为 k , 则  直线  的方程 为 Y一 如 .   设直 线 A B 的方 程 为  — k x+ t ( t≠ O ) ,   M( x o , h。 ) ( 其中 z o≠ 0 ) , A( x 1 , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) .   联 立直线 A B 的方 程 和 椭 圆方 程 , 消 去 Y得 
( 是 。 a  十 b 。 ) z 。 +2 k t a 。 z+ t   a  一 a 。 b 。一 0 .  

设 A( x 1 , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 直线 A B 的方程 为 3 7  

=k y— C , 代 入椭 圆方 程得 :  
( a 。+ k 。 b 。 ) Y  一 2 k c b 。  — b ‘= 0,  

故 I   AB   I 一 

sl n a 

一 面 1  /   ( 2 k c   b 2   ) z  


b 4  
( 口 0 +  k   b   0 )   s i   n 0 a’ ’    

所 以  + z 。= 
t   n   一 口。 b 。  

,  

s i n a‘   口  十 七 瓦 0   b - 

1   2 a b  41 +忌 0  

2 a b  

z ? 勘 = : :  

干  ’  

所以 2   I   O M  I  一 日I   A B   I .   结论 2   如图 3 ,已知 


因为直线 MA , MB 与 z轴 围成 一个等 腰三角 
形, 所以 五 m +忌 Ⅷ =0 ,  ̄k x   o -y , + 竺 二 丝 一 


J   l  

2  

2  

椭 圆 c:   +百 Y 一1 ( 口> b  
口 0 

A 

0, 即  ( k z0 一Y 1 ) ( z o— z2 )+ ( 如 。一 Y 2 ) (  0一 X1 )= 0 .  

> O ) , F 为 椭 圆 的右 焦 点 ,   A, B为 不 同 于 左 右 顶 点 的  椭 圆上两 点 , 且直线 A F 与  直线 B F 的斜 率 之 和为 零 ,   则直 线 A B 过 定点.  
图 3  
. 



 

展开并 将 Y 1 一 如1 +t , Y 2= k x   2 +t , X 1 +z 2  

一  干  
一  

 ̄ X lX 2 一  

一   艺   1 代   人 , ’ 整 理 埋 得 侍 :  

( 2 k 。 口 。 X 0 — 2 b   z 0 ) t + ( 2 k 。 口   X 3+ 2 k b 。 X  一 
2 k a  b 。 )一 0 .  

证 明  由题 意 , 不妨 设直线 A B 与 X轴 的 交 点  为 M( x 。 , 0 ) , A( z   , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 设直线 A B 的 

又 因为 t 具有 任意性 , 所 以 
f 2 k   n   z o 一2 b 。 z o: 0 ,  

方 程为 : z— k y+ 。 , 代入椭 圆方程 整理 得 :  
( Ⅱ  + k   b 。 )  。 + 2 x o k b   Y+  b  一 a   b  一 0,  

l   2   。 口   z   +2 k b 。   : 一2 k a   b   一0 ,  

所 以 


解 得: k z 一  , z   = = = 譬.  
故直 线 0M 的 斜 率 为 土  , 点 M 的 坐 标 为 
( ±  口, ±  6 ) .  


暑 
十 — 
X 2 — — C  

①  
一 0 , 即 

z   6  一 a   b 。  

Y l Y z—  Ⅱ 十 再 R   0  
又是 A F+ k B F一 — 

Z C1 — — C  

笔 者在 对 此题 作 进 一 步 探 索 时 , 发 现 了两 个  很好 的结论 , 作为性 质 的引 申 , 供大 家参考 .  
结论 1   如图 2 , 已知 
t   l  

Y1 z2一 Y1 c+ Yz  1一 Yz C= 0 .  

将 l— k y 1 +z o , a T 2一 k y   2 +z o 代 入得 :  
2 k y1   Y 2 + (  o— f ) (  l +  2 )一 0 .  

椭 圆 c:   +告 ^  一 1 ( n> b  
a  o 
一  

再将 ① ② 代入 化简可 得 
2 k b   ( z  一 口  一 z  + 3 5 " o f )  
‘  

> 0 )过 点 M, 0 为 坐 标 原 
点, 过焦 点 F且 平行 于 0 M 

n 。+ k。 b  

2 k b  ( 一口  十  0 c )  

的直线 交 椭 圆 C 于不 同 的 
点 A, B, 则2   l   O V I   l 。 一n     l
AB   I .  
证 明  设 直线 O M 的 倾 斜 角 为 a(  ≠ 0 ) , 万 
图2  

一 —■ 干 

—U ‘  

由题设 知 k≠ 0 , b > 0 , 故 一Ⅱ 。 +l z 。 c 一0 , 即 

z 。一   , 所 以直 线 A B 过定 点 (  , 0 ) .  
) , 代 人椭 圆方 程得 :  

程为  — k y ( 其 中 是一  
。   n   b  

Si no g  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —1 1 —1 5 )  

一  丽
故 l  

’  
: ==  

l 2= 

si n

L 口  十   一   O   Si n。 a   .  



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