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内蒙古包头第一中学2013届高三年级第一次模拟考试数学理科试卷


内蒙古包头第一中学 2013 届高三年级第一次模拟考试 数学理科试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1.若集合 M ? ? y y ?

? ?

1 ? ?, P ? y y ? x ? 1 ,那么 M ? P ? ( x2?
C. (1,??) D. ?1,??) ?

?

?



A. (0,??)

B. ?0,??)?

2. 某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年 级的学生中应抽取的人数为( A.6 B.8 ) C.10 D.12

3. 若 S n 为等差数列 ? n ? 的前 n 项和,S 9 ? ?36 , S 13 ? ?104,则 a5 与 a7 的等比中项 a 为( ) B .

A. 4 2

?4 2

C .

?2 2

D. 32 )

4.已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为(

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 ) ( C. )

11 5

D.

37 16

6.下列判断错误的是(

2 2 A. “ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件

2 ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ” B.命题“ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”的否定是“
2

C.若 p, q 均为假命题,则 p ? q 为假命题 D.若

? ~ B ? 4,0.25?

,则 D? ? 1

7. 从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60? 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点,
第 1 页 共 8 页

若球的体积为 A. 2

4? ,则 OP 两点之间的距离为( 3
B. 3 C.1.5

) D. 2

?x ? y ? 6 ? 0 ? 8、已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 , ?x ? 3 ?
则a的范围为 A. a ? 1 ( ) B. a ? ?1 C. ?1 ? a ? 1 ) D. D. a ? 1 或 a ? ?1

9.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?

2? 3

B. 8 ?

? 3

C. 8 ? 2?

2? 3
(第 9 题图)后与

10.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin??x ? 原图像重合,则 ? 的最小值是( A.

? ?

??

4? 个单位 ? ? 2 的图像向右平移 3 3?
) C.

2 3

B.

4 3

3 2

D. 3

11. 已 知 以 T ? 4 为 周 期 的 函 数 f ( x) ? ?

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? ,其中 m?0 .若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?


3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
A. ?

? 15 ? ? ? 3 ,3 ? ? ?

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. 2, 7

?

?

12. 若双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1 (m>b>0 ) 的离心率之积大于 1, 则以 a, b , m a2 b m b
) C 锐角三角形 D 钝角三角形

为边长的三角形一定是( A 等腰三角形 B

直角三角形

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 . 若 (1 ? mx) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ?a6 x , 且 a1 ? a2 ? ? ? ?a6 ? 63 , 则 实 数 m 的 值
6 2 6



. .

14. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z = 15.执行右边的程序框图,输出的 T= .

第 2 页 共 8 页

开始

S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 (第 16 题图) n=n+2

输出 T 结束

T=T+n

(第 15 题图) 16.如上图,在矩形 ABDC 中, AB ? 1, AC ? 2, O 为 AC 中点,抛物线的一部分在矩形内, 点 O 为抛物线顶点,点 B, D 在抛物线上,在矩形内随机地放一点,则此点落在阴影部分的 概率为 .

三、解答题(共 6 个小题,第 22 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知向量:

?? ? m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x),(其中? ? 0) ,
函数 f ( x) ? m ? n ,若 f ( x ) 相邻两对称轴间的距离为 ? .
2

?? ?

(Ⅰ)求 ? 的值,并求 f (x) 的最大值及相应 x 的集合; (Ⅱ)在△ABC 中, a, b, c 分别是 A, B,C 所对的边,△ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 4, f ( A) ? 1 ,求边 a 的长. 18. (本小题满分 12 分)盒子里装有 6 件包装完全相同的产品,已知其中有 2 件次品,其 余 4 件是合格品.为了找到 2 件次品,只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查,直 到两件次品被全部检查或推断出来为止.记 ? 表示将两件次品被全部检查或推断出来 所需检查次数. (I)求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为 4 次的概率; (II)求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? ,

第 3 页 共 8 页

?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 2 .
(Ⅰ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ; (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证:平面 PAC ? 平面 AEF ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的大小. 20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C1 : (第 19 题图)

? 3? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ?1, ? ,且其右焦点 2 ? 2? a b
1

与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合.(Ⅰ)求椭圆 的方程; C (II)直线 l 经过点 F 与椭圆

C1 相交于 A、B 两点,与抛物线 C2 相交于 C、D 两点.



| AB | 的最大值. | CD |
1 2 ax ? bx. 2

21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? ( 0 ? x ? 3 )其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x2 有唯一实数解,求正数 m 的值. (Ⅲ)当
22.(本题满分 10 分)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正 半轴重合,且长度单位相同.圆 C 的参数方程为 ? 标为 ( 2,

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数),点 Q 的极坐 ? y ? ?1 ? 2 sin ?

7? ) .(Ⅰ)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; 4

(Ⅱ)若点 P 是圆 C 上的任意一点, 求 P , Q 两点间距离的最小值.

第 4 页 共 8 页

高三一模理科数学参考答案
一、 ABBBA DBCAC -i; BD 30; 1/3; 二、1 或-3;

三、解答题(共 6 个小题,第 22 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17、解: (Ⅰ)? f ( x) ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? cos 2?x ? 3 sin 2?x

? 2 sin( 2?x ?

?
6

)

??????3 分

又题意可得 T ? ? ,? ? ? 1,? f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 sin( 2 x ? ? ) =1 时, f (x) 有最大值为 2, 6

?
6

)

?????4 分

? x ? {x | x ?

?

6

? k? , k ? Z }

?????6 分

(Ⅱ)? f ( A) ? 2 s i n2(A ?

?
6

) ?1

? s i n2(A ?

?
6

)?

?2A ?
S?

?
6

?

1 ? bc sin ? 5 5 2 3

5? ? ,? A ? 6 3

1 2

? 0 ? A ? ? ?7 分
????8 分

c?5

????9 分

由余弦定理得:a2=16+25-2×4×5cos

? =21 ?a ? 21 3

???12 分

18、解: (1)检查次数为 4 次包含两类情况: ①前 3 次检查中有一个次品,第 4 次检查出次品,其概率为 P1 ?

C 21C 42 A33 1 ? ----2 分 A64 5

A 44 1 ②前 4 次检查全部是合格品,余下两件必是次品,其概率为 P2 ? 4 ? ,----2 分 A 6 15
所以所求概率为 P1 ? P2 ?

1 1 4 ? ? ,-------5 分 5 15 15

(2) ? 的可能取值为 2,3,4,5-----------6 分

P(? ? 2) ?

C 22 C 1A 2C 1 1 2 ? ,P(? ? 3) ? 4 23 2 ? , 2 15 15 C6 A6

1 A44 ? C 2C 42A33 4 P(? ? 4) ? ? , 4 15 A6

C 3C 1A 4 8 P(? ? 5) ? 4 2 4 ? . 4 15 A6
分布列如下表:

(一个 1 分)---------10 分

第 5 页 共 8 页

?

2

3

4

5

P

1 15

2 15

4 15

8 15

所以 E ? ? 2 ?

1 2 4 8 64 ?3? ?4? ?5? ? --------12 分 15 15 15 15 15

19. 解: (Ⅰ)在 Rt ?ABC 中, AB ? 1 , ?BAC ? 60? ,∴ BC ? 3 , AC ? 2 1 分 在 Rt ?ACD 中, AC ? 2 , ?CAD ? 60? ,∴ CD ? 2 3 , AD ? 4 …………2 分

1 1 1 1 5 AB ? BC ? AC ? CD ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 …………3 分 2 2 2 2 2 1 5 5 3?2 ? 3 …………………………………………4 分 则V ? ? 3 2 3 (Ⅱ)∵ PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? CD …………………………5 分 又 AC ? CD , PA ? AC ? A , ∴ CD ? 平面 PAC ……………………6 分 ∵ E 、 F 分别为 PD 、 PC 中点, ∴ EF / / CD ∴ EF ? 平面 PAC ……………………7 分 EF ? 平面 AEF ,∴平面 PAC ? 平面 AEF …………8 分 ∵ (Ⅲ)取 AD 的中点 M ,连结 EM ,则 EM / / PA , ∴ EM ? 平面 ACD ,过 M 作 MQ ? AC 于 Q , 连 接 EQ , 则 ?EQM 为 二 面 角 E ? AC ? D 的 平 面
∴ S ABCD ? 角。……………………10 分 ∵ M 为 AD 的中点, MQ ? AC , CD ? AC , ∴ MQ ?

1 1 EM 1 3 CD ? 3 ,又 EM ? PA ? 1 ,∴ tan ?EQM ? , ? ? 2 2 MQ 3 3

故 ?EQM ? 30? 即二面角 E ? AC ? D 的大小为 30? …………………………12 分。 20. 解: (Ⅰ)解法 1:由抛物线方程,得焦点 F (1, 0) ,? c ? 1. ………1 分 故a ?b ? c ?1
2 2 2



又椭圆 C1 经过点 M (1, ) ,∴

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b


2

4 2 2 2 由①②消去 a 并整理,得, 4b ? 9b ? 9 ? 0 ,解得 b ? 3 ,或 b ? ?

3 (舍去) , 4

从而 a ? 4 . 故椭圆的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

……………4 分

解法 2:由抛物线方程,得焦点 F (1, 0) ,

第 6 页 共 8 页

3 3 ? c ? 1. ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( ) 2 ? 4, ? a2 ? 4, b2 ? 3. 2 2
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

……………4 分

(Ⅱ)①当直线 l 垂直于 x 轴时, 则 A(1, ), B(1, ? ), C (1, 2), D(1, ?2) ?

3 2

3 2

3 ? . CD 4

AB

…5 分

②当直线 l 与 x 轴不垂直,设其斜率为 k (k ? 0) ,则直线 l 的方程为

? y ? k ( x ? 1), ? y ? k( x 1 ) ? x 2 y 2 ? 由 ?1 ? ? 3 ? 4



( 3? 4 2 x2 ? 8 2 x? 4 2 ? 1 ? k ) k k 2

0

显然 ?1 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

8k 2 x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2
所以, | AB |?

4(k 2 ? 3) x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
2 8k 2 2 16(k 2? 3) 12(1 ? k ) ) ? ? . ……………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 1? k 2 ? ( ? y ? k ( x ? 1), 2 ? y ? 4x

由?



k 2 x2? ( 2 k 2? 4 ) x? k2 ? 0

显然 ?2 ? 0 ,? 该方程有两个不等的实数根.设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?

4 , k2

由抛物线的定义,得 | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ?

4 4(1 ? k 2 ) ? . ……………10 分 k2 k2

?

AB 12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 4 k

综上,当直线 l 垂直于 x 轴时, 21.

AB CD

取得最大值

3 . ……………………………12 分 4

第 7 页 共 8 页

1 2 x 0 ? x 0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x0 ? 1 时, ? x0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
所以 a ≥ ( ?

因 为 h(1) ? 0 , 所 以 方 程 ( * ) 的 解 为 x2 ? 1 , 即

m ? m2 ? 4m ?1 , 解 得 2

m?

1 ?????12 分 2
2 2

22.(1)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ,展开得

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 化为极坐标方程 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0
(2) Q 的直角坐标为 ( 2 ,? 2 ) , 点 且点 Q 在圆 C 内,(1) 由 知点 C 的直角坐标为 (1,?1) 所以 | QC |? 2 ? 2 ,所以 P, Q 两点间距离的最小值为 | PQ |? 2 ? (2 ? 2 ) ?

2

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