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陕西省商洛市丹凤县丹凤中学2015届高三上学期期末数学试卷(文科)



陕西省商洛市丹凤县丹凤中学 2015 届高三上学期期末数 学试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分) 1. A. +i 的共轭复数是( ) C.1+3i D.1﹣3i

B. ﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计

算题. 分析:先化简复数为 a+bi(a、b 是实数) ,然后求出共轭复数. 解答: 解: 它的共轭复数是:1﹣3i 故选 D 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,是基础题.

2.“tana=1”是“a=

”的(

) B.必要不而充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析:由题目“tana=1”的解是否和“a= 解答: 解:若“tana=1”,则 而若“a= ”则 tanα=1, 的必要不而充分条件 ”相同,即可选出正确答案. K∈Z,α 不一定等于 ;

∴“tana=1”是 a=

故选 B 点评:本题是三角方程求解,充要条件的判断,是容易题. 3.两正数 x,y,且 x+y≤4,则点 P(x+y,x﹣y)所在平面区域的面积是( A.4 B.8 C.12 D.16 考点:二元一次不等式(组)与平面区域. )

专题:计算题. 分析:将点的坐标设出,据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件,画出可行域,求 出图象的面积. 解答: 令 s=x+y,t=x﹣y,则 P(x+y,x﹣y)为 P(s,t) 由 s=x+y,t=x﹣y 可得 2x=s+t,2y=s﹣t 因为 x,y 是正数,且 x+y≤4



在直角坐标系上画出 P(s,t) s 横坐标,t 纵坐标, 即可得知 面积为 16 故选 D

点评:求出点满足的约束条件,画出不等式组表示的平面区域,求出图象的面积. 4.甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是 0.7,则恰有一人投中的概率是 ( ) A.0.42 B.0.49 C.0.7 D.0.91 考点:相互独立事件. 专题:计算题. 分析:由甲、乙两人各用篮球投篮一次,且两人投中的概率都是 0.7,我们根据对立事件减 法公式易得到两人都不中的概率为 1﹣0.7=0.3,再后分析要求恰有一人投中的所有情况为: 甲投中乙投不中和甲投不中乙投中,然后代入相互独立事件概率公式,即可求解. 解答: 解:设甲投篮一次投中为事件 A,则 P(A)=0.7, 则甲投篮一次投不中为事件 ,则 P( )=1﹣0.7=0.3, 设甲投篮一次投中为事件 B,则 P(B)=0.7, 则甲投篮一次投不中为事件 ,则 P( )=1﹣0.7=0.3, 则甲、乙两人各用篮球投篮一次恰有一人投中的概率为: P=P(A∩ )+P( ∩B)=P(A)?P( )+P( )?P(B) =0.7×0.3+0.7×0.3=0.42

故选 A 点评:本小题主要考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,要想计算 一个事件的概率,首先我们要分析这个事件是分类的(分几类)还是分步的(分几步) ,然 后再利用加法原理和乘法原理进行求解.
2 2 2

5.双曲线 16y ﹣m x =1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 ,则 m 的值是 ( ) A.1

B.2

C .3

D.4

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先根据双曲线方程求得 a 和 b,进而可得渐近线方程和定点坐标,根据顶点到渐近线 的距离等于 ,进而求得 m. 解答: 解:根据双曲线方程可知 a= ,b= , 所以渐近线 y=± x 即有 y=± x, 取 x﹣y=0, 由于顶点(0, ) ,

则距离 d=
2

= ,

解得 m =9, ∴m=3. 故选 C. 点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查点到直线的距离公式的 运用,考查运算能力,属于基础题.

6.若向量 为( ) A.2

的夹角为 60°,

,则向量 的模

B.4

C .6

D.12

考点:向量的模;平面向量数量积的运算. 分析:分解(a+2b)?(a﹣3b)得|a| ﹣|a||b|cos60°﹣6|b| ,因为向量 知,代入可得关于 的方程,解方程可得.
2 2

的夹角、



解答: 解: (a+2b)?(a﹣3b)

=|a| ﹣|a||b|cos60°﹣6|b| 2 =|a| ﹣2|a|﹣96=﹣72, 2 ∴|a| ﹣2|a|﹣24=0. ∴(|a|﹣6)?(|a|+4)=0. ∴|a|=6. 故选 C 点评:求 的有向线段 构造关于 常用的方法有:①若已知 的两端点 A、B 坐标,则 的方程,解方程求 . =|AB|= ,则 = ;②若已知表示 ③

2

2

7.正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a6+a1a11=16,则 a3+a6 的值为( A.3 B.4 C .5 D.6

)

考点:等比数列的性质. 专题:计算题. 2 2 2 分析:根据等比中项的性质可知 a1a5=a 3,a1a11=a 6,代入题设条件中求得(a3+a6) =16, 进而求得答案. 解答: 解:根据等比中项的性质可知 a1a5=a 3,a1a11=a 6, 2 2 2 ∴a1a5+2a3a6+a1a11=a 3+2a3a6+a 6=(a3+a6) =16 ∵a3+a6>0 ∴a3+a6=4 故选 B 点评:本题主要考查了等比数列中等比中项的性质.属基础题.
2 2

8.已知正方体外接球的体积是 A. B.

,那么正方体的棱长等于( C. D.

)

考点:球内接多面体. 专题:计算题. 分析:先求球的半径,直径就是正方体的对角线,然后求出正方体的棱长. 解答: 解:正方体外接球的体积是 4,棱长等于 , ,则外接球的半径 R=2,正方体的对角线的长为

故选 D. 点评:本题考查球的内接正方体问题,是基础题. 9.函数 g(x)中 x∈R,其导函数 g′(x)的图象如图,则函数 g(x)( )

A.无极大值,有四个极小值点 B.有两个极大值,两个极小值点 C.有三个极大值,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 考点:利用导数研究函数的极值;函数的图象. 分析:根据图象可知导函数 g′(x)与 x 轴有四个交点,当 x<x1 时,导函数大于 0,函数递 增,当 x>x1 导函数小于 0,函数递减,所以函数在 x=x1 取极大值;同理在 x3 处,函数也 有一个极大值;当 x<x2 时,导函数小于 0,函数递减,x>x2 时,导函数大于 0,函数递增, 所以 x=x2 时,函数有极小值;同理可得当 x=x4 时,函数有极小值.可得函数的极大值和极 小值的个数. 解答: 解:根据图象可知:当 x<x1 时,g′(x)>0,函数递增,当 x>x1 时,g′(x)< 0,函数递减,所以函数在 x=x1 取极大值;同理可得 x=x3 时,函数取极大值; 当 x<x2 时,g′(x)<0,函数递减,x>x2 时,g′(x)>0,函数递增,所以 x=x2 时,函 数有极小值;同理可得 x=x4 时,函数取极小值. 所以函数有两个极大值,两个极小值. 故选 B 点评:考查学生利用函数获取信息的能力,利用导数研究函数的极值. 10.有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成(如图) ,则这个几何体含有的正方体的 个数是( )

A.7

B.6

C .5

D.4

考点:简单空间图形的三视图. 专题:作图题;压轴题. 分析:根据三视图的特征,画出几何体的图形,可得结论. 解答: 解:由左视图、主视图可以看出小正方体有 7 个, 从俯视图可以看出几何体个数是 5.如图 故选 C.

点评:本题考查简单空间图形的三视图,考查空间想象能力,是基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置) 11.a 为非零实数,直线(a+2)x+(1﹣a)y﹣3=0 恒过定点(1,1) . 考点:函数的表示方法. 分析:根据直线(a+2)x+(1﹣a)y﹣3=0 可变为 a(x﹣y)+2x+y﹣3=0,令 x﹣y=0、2x+y ﹣3=0 可得答案. 解答: 解:∵(a+2)x+(1﹣a)y﹣3=0∴a(x﹣y)+2x+y﹣3=0 令 x﹣y=0、2x+y﹣3=0 解得:x=1,y=1 ∴恒过点(1,1) 故答案为: (1,1) 点评:本题主要考查含参数的直线方程横过定点的问题.这里要分离出参数进而求解. 12.在程序框图,若输入 f(x)=cosx,则输出的是﹣cosx;

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析: 按照程序框图的流程, 写出前几次循环的结果, 找到规律: 函数值以 4 个为一个周期, 求出 n=2011 时输出经过的周期,得到输出的值. 解答: 解:经过第一次循环得到﹣sinx,n=2 经过第二次循环得到﹣cosx,n=3 经过第三次循环得到 sinx,n=4 经过第四次循环得到 cosx,n=5 经过第五次循环得到﹣sinx,n=6 … 当 n=2010 时,满足判断框中的条件执行输出

∵2010÷4=502…2 ∴输出的结果是﹣cosx. 故答案为:﹣cosx.

点评:解决程序框图中的循环结构时,常采用按照流程写出前几次循环的结果,找规律,属 于基础题. 13.对于偶函数 f(x)=mx +(m+1)x+2,x∈[﹣2,2],其值域为[﹣2,2]. 考点:函数的值域;函数奇偶性的性质. 分析:首先根据 f(x)为偶函数,即(x)=f(﹣x) ,求出 m 的值.在根据 f(x)求出最大 和最小值. 解答: 解:∵函数 f(x)为偶函数 ∴f(x)=f(﹣x) 即 mx +(m+1)x+2=mx ﹣(m+1)x+2,得 x=﹣1 2 ∴f(x)=﹣x +2 即 f(x)以 y 轴为对称轴,在[﹣2,0]上单调增,在∈[0,2]单调减 ∴f(x)min=f(2)=﹣2,f(x)max=f(0)=2 ∴f(x)的值域为[﹣2,2] 故答案为[﹣2,2] 点评:本题主要考查函数的值域问题.可充分利用函数的单调性. 14. (1)教育局督学组到学校检查工作,需在学号为 0001﹣1000 的 2015 届高三年级的学生 中抽调 20 人参加学校管理的综合座谈会; (2)该校 2015 届高三年级这 1000 名学生参加 2010 年新年晚会,要产生 20 名“幸运之星”; (3)该校 2015 届高三年级 1000 名学生一摸考试的数学成绩有 240 人在 120 分以上(包括 120 分) ,600 人在 120 分以下 90 分以上(包括 90 分) ,其余在 90 分以下; 现欲从中抽取 20 人研讨进一步改进数学教与学的座谈会.用如下三种抽样方法:“①简单 随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样”选取样本,则以上三件事,最合理的抽样方法序号依 次为②①③(每种方法限用一次) . 考点:收集数据的方法. 专题:应用题;概率与统计.
2 2 2

分析:参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好,具有代表性;“幸运之星”不能用系统抽 样,那样就不具有“幸运”之意了,合适的抽样方法就是用简单随机抽样;研究数学教与学的 问题采用分层抽样较为合适. 解答: 解:参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好,具有代表性;“幸运之星”不能用 系统抽样,那样就不具有“幸运”之意了,合适的抽样方法就是用简单随机抽样;研究数学教 与学的问题采用分层抽样较为合适. 故答案为:②①③. 点评:本题考查抽样的方法,抽样调查是我们收集数据的一种重要途径,是一种重要的、科 学的非全面调查方法.它根据调查的目的和任务要求,按照随机原则,从若干单位组成的事 物总体中,抽取部分样本单位来进行调查、观察,用所得到的调查标志的数据来推断总体. 选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 15.若 M,N 分别是曲线 ρ=2cosθ 和 的距离的最小值是 . 上的动点,则 M,N 两点间

考点:点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系. 专题:计算题;压轴题;直线与圆. 分析:可以先将极坐标方程化为直角坐标方程,M、N 是直线与圆上的两个动点,最小距离 为圆心到直线的距离减去半径即可. 解答: 解:曲线 ρ=2cosθ 和 可化为直角坐标方程为:x﹣y+1=0 与(x﹣1) +y =1 ∴M、N 在直线与圆心(1,0)半径为 1 的圆上 圆心(1,0)到直线的距离 d= = ﹣1.
2 2



∴M,N 两点间的距离的最小值 dmin=

故答案为: . 点评:本题考查极坐标与直角坐标之间的转化,点到直线的距离,考查计算能力. 【选修 4-5 不等式选讲】 16.不等式|2x﹣1|﹣x<1 的解集是(0,2) . 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题. 分析:利用绝对值的几何意义去绝对值号转化为一次不等式求解. 解答: 解:|2x﹣1|﹣x<1 ?|2x﹣1|<x+1 ?﹣(x+1)<2x﹣1<x+1, ∴ ?0<x<2,

故答案为(0,2) . 点评:考查绝对值不等式的解法,此类题一般两种解法,一种是利用绝对值的几何意义去绝 对值号,另一种是用平方法去绝对值号,本题用的是前一种方法. 【选修 4-1 几何证明选讲】 17.如图,过点 P 作⊙O 的割线 PAB 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的平分 线分别与 AE、BE 相交于点 C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=75°.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:计算题. 分析:利用弦切角,以及三角形的外角与内角的关系,结合图形即可解决. 解答: 解:如图,PE 是圆的切线, ∴∠PEB=∠PAC, ∵PC 是∠APE 的平分线, ∴∠EPC=∠APC, 根据三角形的外角与内角关系有: ∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC, ∴∠EDC=∠ECD, ∴△EDC 为等腰三角形,又∠AEB=30°, ∴∠EDC=∠ECD=75°, 即∠PCE=75°, 故答案为:75°.

点评:本题考查弦切角的性质和应用,解题时要认真审题,注意三角形的外角与内角的关系 和数形结合法的合理运用. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本答题共 6 小题,共 75 分)

18.若向量 . (1)求 θ; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosθsinx 的值域. 考点:余弦函数的定义域和值域;平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析: (1)先根据向量的数量积得到 公式可得 进而得到 θ 的值.

,且

,再由两角和与差的正弦

(2)先求出 cosθ 的值代入函数 f(x) ,然后由二倍角公式将函数 f(x)化简为 f(x) = ,再由 sinx 的范围得到 f(x)的值域.

解答: 解: (1)依题意: 所以 又 A 为锐角,易得 (2)由(1)可知 所以 f(x)=cos2x+2sinx=1﹣2sin x+2sinx= 因为 x∈R,则 sinx∈[﹣1,1] 所以,当 时,f(x)有最大值
2

,即 ,故

当 sinx=﹣1 时,f(x)有最小值﹣3 故函数 f(x)的值域是 .

点评:本题主要考查已知三角函数值求角和二倍角公式的应用.属基础题. 19.一个袋子中有蓝色球 10 个,红、白两种颜色的球若干个,这些球除颜色外其余完全相 同. (1)甲从袋子中随机取出 1 个球,取到红球的概率是 ,放回后,乙从袋子取出一个球, 取到白球的概率是 ,求红球的个数; (2)从袋子中取出 4 个红球,分别编号为 1 号、2 号、3 号、4 号.将这四个球装入一个盒 子中,甲和乙从盒子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回) ,求两球的编号之和不大于 5 的概率.

考点:等可能事件的概率. 专题:计算题. 分析: (1)设红球有 x 个,白球 y 个,依题意中的概率得方程,从而求得红球的个数‘ (2)利用列举法写出甲和乙从盒子中各取一个球的方法总数,再从中观察得到两球的编号 之和不大于 5 的种数,它们的比值即为所求概率. 解答: 解: (1)设红球有 x 个,白球 y 个,依题意得 , 解 x=6 故红球有 6 个. (2)记“甲取出的球的编号大”为事件 A, 所有的基本事件有: (1,2) , (l,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , 共 12 个基本事件 事件 A 包含的基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,4) (2,1) , (2,3) , (3,1) , (3,2) (4,1) , 共 8 个基本事件 所以, .P(A)= 点评:本题考查概率的求法与运用,一般方法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的 可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

20.如图组合体中,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面 圆周上不与 A,B 重合一个点. (1)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1BC⊥平面 A1AC; (2)当 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: (I)欲证平面 A1BC⊥平面 A1AC,根据面面垂直的判定定理可知在平面 A1BC 内一 直线与平面 A1AC 垂直,根据侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A, B 重合一个点, 则 AC⊥BC, 又圆柱母线 AA1⊥平面 ABC, BC 属于平面 ABC, 则 AA1⊥BC, 又 AA1∩AC=A,根据线面垂直的判定定理可知 BC⊥平面 A1AC,而 BC 属于平面 A1BC, 满足定理所需条件;

(II)设圆柱的底面半径为 r,母线长度为 h,当点 C 是弧

的中点时,求出三棱柱 ABC﹣

A1B1C1 的体积,求出三棱锥 A1﹣ABC 的体积为,从而求出四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积,再 求出圆柱的体积,即可求出四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比. 解答: 解: (I)因为侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A,B 重合 一个点,所以 AC⊥BC 又圆柱母线 AA1⊥平面 ABC,BC 属于平面 ABC,所以 AA1⊥BC, 又 AA1∩AC=A,所以 BC⊥平面 A1AC, 因为 BC?平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥平面 A1AC; (II)设圆柱的底面半径为 r,母线长度为 h, 当点 C 是弧 的中点时,三角形 ABC 的面积为 r ,
2 2

三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 r h, 三棱锥 A1﹣ABC 的体积为
2

, = ,

四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积为 r h﹣
2

圆柱的体积为 πr h, 四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比为 2:3π.

点评:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体 积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化 归与转化思想,属于中档题. ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an) (n∈N ) . 是等差数列;
*

21.已知已知函数 (Ⅰ)求证:数列

(Ⅱ)记 Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,试比较 2Sn 与 1 的大小. 考点:等差关系的确定;数列的求和. 分析:本题考查了函数和数列的关系、等差数列的证明、数列的求和等知识点. (Ⅰ)根据所给函数 的递推关系,然后通过推出 及数列{an}满足 a1=1,an+1=f(an) (n∈N )即可获得{an} 得到证明.
*

(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上易得 anan+1=

,由此不难想到“裂项法”求和.

解答: 解: (Ⅰ)由已知得,



∴ ∴数列

,即



是首项,公差 d=2 的等差数列. , , ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∴ ∴ ∴Sn=a1a2+a2a3++anan+1= = ∴
*

= (n∈N ) ,∴2Sn<1. (16 分)



点评:本题综合性较强,涉及了多个知识点的融合,揭示了函数和数列的内在联系,并且在 构造数列,证明等差数列,裂项求和等方面设计了很好的情景,是一个培养逻辑推理能力和 思维能力的好题,而且也代表了目前 2015 届高考试题的方向. 22.若函数 f(x)=ax +8x﹣6lnx 在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=b (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)若对于任意的 x∈[1,4],恒有 f(x)≤7ln( 围(e 为自然对数的底数) . 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析: (1)由题意求导 f′(x)=2ax+8﹣ ,从而可得 f′(1)=2a+8﹣6=0,从而求 a,再由 b=f(1)求得; (2)求导并化简 f′(x)=﹣2x+8﹣ = ,从而求单调递增区间即可; )+ln(em)成立,求实数 m 的取值范
2

(3)由(2)知,f(x)在[1,3]上单调递增,在[3,4]上单调递减;从而可得 fmax(x)=f (3)=15﹣6ln3;从而可得 15﹣6ln3≤7ln( 解答: 解: (1)∵f(x)=ax +8x﹣6lnx,
2

)+ln(em) ,从而解得.

∴f′(x)=2ax+8﹣ , 故 f′(1)=2a+8﹣6=0, 故 a=﹣1; b=f(1)=﹣1+8﹣0=7; (2)∵f(x)=﹣x +8x﹣6lnx,f′(x)=﹣2x+8﹣ = 故当 1<x<3 时,f′(x)>0; 故 f(x)的单调递增区间为(1,3) ; (3)由(2)知,f(x)在[1, 3]上单调递增,在[3,4]上单调递减; 故 fmax(x)=f(3)=15﹣6ln3; 故对于任意的 x∈[1,4],恒有 f(x)≤7ln( 15﹣6ln3≤7ln( )+ln(em) , )+ln(em)成立可化为
2



即 15﹣6ln3≤7(2﹣lnm)+1+lnm, 即 lnm≤ln3; 即 0<m≤3. 点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,同时考查了导数的几何意义的应用,属于 中档题. 23.已知直线 l 被直线 l1:2x+y+1=0 与 l2:x﹣2y﹣3=0 截得的线段中点恰好为坐标原点. (1)求直线 l 的方程; 2 (2)若抛物线 y=ax ﹣1(a≠0)上总不存在关于 l 对称的两点,求实数 a 的取值范围. 考点:直线的一般式方程;与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析: (1)设 l1 与 l 的交点 P(a,﹣2a﹣1) ,l2 与 l 的交点 Q(2b+3,b) ,两者联立,可得 Q 的坐标,又由其过原点,结合两点式可得 l 的方程. (2)假设存在,先求存在时的 a 的值,求法为:设抛物线上存在两点 M(x1,y1) ,N(x2, y2)关于直线 l:x+y=0 对称,设 lMN:y=x+t 线段 MN 的中点为 A(x0,y0) ,联立直线题意 抛物线的方程, 可得 A 的坐标, 分析可得, 当 时, 抛物线上存在两点关于直线 l: x+y=0

对称,反之可得答案. 解答: 解: (1)设 l1 与 l 的交点 P(a,﹣2a﹣1) ,l2 与 l 的交点 Q(2b+3,b) 则 ∴b=﹣1,则 Q(1,﹣1) , 故 l 的方程为:x+y=0 (2)设抛物线上存在两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)关于直线 l:x+y=0 对称 设 lMN:y=x+t 线段 MN 的中点位 A(x0,y0) 由 得 ax ﹣x﹣t﹣1=0
2

△ =1+4a(t+1)>0① 且 x1+x2= ,x1x2=﹣ ∴ 中点 即当 ∴ 在直线 x+y=0 上∴ 即 代入①得: ,

时,抛物线上存在两点关于直线 l:x+y=0 对称,

故抛物线上不存在两点关于直线 l:x+y=0 对称时, 点评:本题有一定难度,尤其在解(2)时,注意从反面下手,得到结论后,再回归题目本 意,从而得到答案.



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