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三角函数部分高考题(带答案)


三角函数部分高考题
1.为得到函数 y ? c o s ? 2 x ?
? ? π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?

A )

A.向左平移 C.向左平移

5π 12
5π 6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向右平移

5π 12
5π 6

个长度单位 个长度单位

2.若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? co s x 的图像分别交于 M , N 两点,则
M N 的最大值为( B

) C. 3 D.2

A.1

B. 2
2

3. ? tan x ? co t x ? co s x ? ( D ) (A) tan x 4.若 0 ? ? ? 2 ? , sin ? ? (A) ?
?? ? 3

(B) sin x

(C) cos x

(D) co t x

3 co s ? ,则 ? 的取值范围是:( C )

,

? ?
? 2 ?

(B) ?

??

? ,? ? ? 3 ?

(C) ?

?? ? 3

,

4? ? ? 3 ?

(D) ?

??

3? ? ? ? 3 2 ? ,

5.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 (A) y ? s in ( 2 x ? (C) y ? s in ( 2 x ? 6.设 a ? s in
5? 7 1 2

?
3

个单位长度,再把所得图象

倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 C (B) y ? s in (
x 2 ?

?
3

),x? R ),x? R 2? 7

?
6

),x? R 2? 3 ) ,x? R

?
3

(D) y ? s in ( 2 x ?
2? 7

, b ? cos

, c ? ta n

,则 D (D) b ? a ? c
?
12 , 0 ) 中心对称,则

(A) a ? b ? c 7.将函数 y ? s in ( 2 x ?

(B) a ? c ? b
?
3

(C) b ? c ? a

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ?

向量 ? 的坐标可能为( C ) A. ( ? 8.已知 cos(α 2 3 5

?
12 π 6

, 0)

B. ( ?
4 5

?
6

, 0) 7π 6

C. (

?
12

, 0)

D. (

?
6

, 0)

)+sinα =

3 , 则 sin( α ?

)的值是

(A)-

(B)

2 3 5

(C)-

4 5

(D)

4 5

9.(湖北)将函数 y ? 3 sin ( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( 称轴是直线 x ? A.
5 12
2

?
3

, 3 ) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对

?
4

,则 ? 的一个可能取值是 A B. ?
5 12
??

?

?

C.

11 12

?

D. ?

11 12

?

10.函数 f ( x ) ? sin x ? 3 sin x co s x 在区间 ? , ? 上的最大值是( C ?4 2?
1? 2 3
3 2

? ?

)

A.1

B.

C.

D.1+ 3

11.函数 f(x)=

sin x ? 1 3 ? 2 c o s x ? 2 sin x

( 0 ? x ? 2 ? ) 的值域是 B

(A)[-

2 2

,0 ]

(B)[-1,0]

(C)[- 2 , 0 ]

(D)[- 3 , 0 ]

12.函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可以为 A A. -
?
2 x 2 3? 2 1 2

?
2

B. ?

C.- ?

D.

13.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 点个数是 C (A)0

?

)( x ? [ 0,? ]) 的图象和直线 y ? 2

的交

(B)1

(C)2

(D)4

14.若 cos a ? 2 sin a ? ? 5 , 则 tan a =B (A)
1 2

(B)2

(C) ?

1 2

(D) ? 2 B )

15.已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:那么ω =( A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 16.
3 ? sin 7 0
2 0 0

2 ? cos 10
1 2

=(

C )

A.

B.

2 2

C. 2

D.

3 2

? 17.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2

2

18.已知 a, , 为△ABC 的三个内角 A, , 的对边, b c B C 向量 m= ( 3 , ? 1 ) n= , (cosA,sinA) .

若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B= 19. f ? x ? ? c o s ? ? x ?
? ?

π 6

.

? ?

? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 5 6 ?

.10

20.已知函数 f ( x ) ? (sin x ? co s x ) sin x ,x ? R , f ( x ) 的最小正周期是 则
? ?

.?

21.已知 f ( x ) ? sin ? ? x ?

?? ??? ??? ?? ?? 且 ? ( ? ? 0 ) , f ? ? ? f ? ? , f ( x ) 在区间 ? , ? 有最小值, 3? ?6 3? ?6 ? ?3 ?

无最大值,则 ? =__________.

14 3 3 5

22.设 △ A B C 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a c o s B ? b c o s A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan ( A ? B ) 的最大值. 解析: (Ⅰ)在 △ A B C 中,由正弦定理及 a c o s B ? b c o s A ? 可得 sin A c o s B ? sin B c o s A ?
3 5 sin C ? 3 5 sin ( A ? B ) ? 3 5 3 5 sin A c o s B ? 3 5 c o s A sin B c

c .

即 sin A co s B ? 4 co s A sin B ,则 tan A co t B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan A cot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0
ta n ( A ? B ) ? ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B ? 3 ta n B 1 ? 4 ta n B
2

?

3 c o t B ? 4 ta n B



3 4

当且仅当 4 ta n B ? c o t B , ta n B ? 故当 ta n A ? 2 , ta n B ?
1 2

1 2

, ta n A ? 2 时,等号成立, 3 4

时, tan ( A ? B ) 的最大值为
5 13

.

23.在 △ A B C 中, c o s B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值;

, cos C ?

4 5



(Ⅱ)设 △ A B C 的面积 S △ A B C ? 解: (Ⅰ)由 co s B ? ? 由 cos C ?
4 5 5 13

33 2

,求 B C 的长.

,得 s in B ?
3 5

12 13



,得 s in C ?


33 65

所以 sin A ? sin ( B ? C ) ? sin B c o s C ? c o s B sin C ? (Ⅱ)由 S △ A B C ?
33 2

. ··········· 5 分



1 2

? A B ? A C ? sin A ?

33 2



由(Ⅰ)知 s in A ?

33 65



故 A B ? A C ? 6 5 , ···························· 8 分 又 AC ? 故
20 13 AB
A B ? s in B s in C
2

?

20 13

AB ,

? 65 , AB ?
A B ? s in A s in C
2

13 2
11 2

. . ························ 10 分
π? ? 3 s in ? x s in ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2? ?

所以 B C ?

?

24.已知函数 f ( x ) ? s in ? x ? (Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3
? ? 1 ? c o s 2? x 2 π? 1 ? ? s in ? 2 ? x ? ? ? . 6? 2 ? 3 2 3 2 1 2 1 2

?

2π ?

解: (Ⅰ) f ( x ) ?

?

s in 2 ? x ?

s in 2 ? x ?

c o s 2? x ?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 , 所以
2π 2? ? π ,解得 ? ? 1 .
? ? π? 1 ?? . 6? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? sin ? 2 x ? 因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?
π 6 2π 3



≤ 2x ?
? ?

π 6



7π 6



所以 ?

1 2

≤ s in ? 2 x ?
? ?

π? ?≤ 1, 6?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

π? 1 3 ? 3? ,即 f ( x ) 的取值范围为 ? 0, ? . ?? ≤ 6? 2 2 ? 2?
2 4

25.求函数 y ? 7 ? 4 sin x co s x ? 4 co s x ? 4 co s x 的最大值与最小值。 【解】 y ? 7 ? 4 sin x co s x ? 4 co s x ? 4 co s x :
2 4

? 7 ? 2 sin 2 x ? 4 c o s x ? 1 ? c o s x ?
2 2

? 7 ? 2 sin 2 x ? 4 co s x sin x
2 2

? 7 ? 2 sin 2 x ? sin 2 x
2

? ? 1 ? s in 2 x ? ? 6
2

1 由于函数 z ? ? u ? 1 ? ? 6 在 ? ? 1,? 中的最大值为
2

z m ax ? ? ? 1 ? 1 ? ? 6 ? 1 0
2

最小值为
z m in ? ? 1 ? 1 ? ? 6 ? 6
2

故当 sin 2 x ? ? 1 时 y 取得最大值 1 0 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 26.知函数 f ( x ) ? 2 co s ? x ? 2 s in ? x co s ? x ? 1 ( x ? R , ? ? 0 )的最小值正周期是
2

?
2



(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. (17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
y ? A sin ( ? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.

(Ⅰ)解:
f ?x ? ? 2 ? 1 ? cos 2 ? x 2 ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 ? ? sin 2 ? x ? 1

? ? ? ? 2 ? sin 2 ? x cos ? cos 2 ? x sin ?? 2 4 4 ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 ? x ? ?? 2 4 ? ?
?
2

?

由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ?

,可得

2? 2?

?

?
2

,所以 ? ? 2 .

? ? ? 2 sin ? 4 x ? ?? 2. 4 ? ?

当4x ?

?
4

?

?
2

? 2 k ? ,即 x ?

?
16

?

k? 2

?k

? ? ? ? Z ? 时, sin ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以函数 4 ? ?

f ? x ? 的最大值是 2 ?

? k? ? ? ? ,k ? Z ?. 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? 16 2 ? ?

27.已知函数 f ( x ) ? c o s ( 2 x ?

?
3

) ? 2 s in ( x ?

?
4

) s in ( x ?

?
4

)

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
?
12 ,

?
2

] 上的值域

解: (1)? f ( x ) ? c o s ( 2 x ?
1 2 1 2 1 2

?
3

) ? 2 s in ( x ?

?
4

) s in ( x ?

?
4

)

?

cos 2 x ?

3 2 3 2 3 2

s in 2 x ? (s in x ? c o s x )(s in x ? c o s x )

?

cos 2 x ?

s in 2 x ? s in x ? c o s x
2 2

?

cos 2 x ?

s in 2 x ? c o s 2 x

? s in ( 2 x ? ∴周期T ? 2? 2

?
6

)

??

由2x ?

?
6

? k? ?

?
2

( k ? Z ), 得 x ?

k? 2

?

?
3

(k ? Z )

∴ 函数图象的对称轴方程为 x ? k ? ?

?
3

(k ? Z )

(2)? x ? [ ? 因为 f ( x ) ? sin ( 2 x ? 所以 当x ?
?
12

?
12

,

?
2

],? 2 x ?

?
6

? [? ,

?
3

,

5? 6

]

?
6

) 在区间 [ ?

?
12

?
3

] 上单调递增,在区间 [

?
3

,

?
2

] 上单调递减,

?
3

时, f ( x ) 取最大值 1
3 2

又 ? f (?

)? ?

? f(

?
2

)?

1 2

,当 x ? ?

?
12

时, f ( x ) 取最小值 ?

3 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [ ?

?
12

,

?
2

] 上的值域为 [ ?

3 2

,1]

28.已知函数 f(x)= 3 sin( ? x ? ? ) ? cos( ? x ? ? )( 0 ? ? ? π , ? ? 0 ) 为偶函数,且函数 y

=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 .
2

π

(Ⅰ)美洲 f(

π 8

)的值;

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

π 6

个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin( ? x ? ? ) ? cos( ? x ? ? ) =2?
? 3 sin( ? x ? ? ) ? 1 ? cos( ? x ? ? ) ? 2 ?

? 2

=2sin( ? x ? ? -

π 6

)

因为 f(x)为偶函数, 所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, 因此 sin(- ? x ? ? 即-sin ? x cos( ? π 6 π 6

)=sin( ? x ? ? π 6 π 6

π 6

).
π 6

)+cos ? x sin( ? )=0.因为
? π 6

)=sin ? x cos( ? -

)+cos ? x sin( ? cos( ? π 2 π 6

π 6

),

整理得 sin ? x cos( ? 又因为 0< ? <π ,故
2?

? >0,且 x∈R,所以

)=0.



π 2

.所以

f(x)=2sin( ? x +
?  = 2 .

)=2cos ? x .

由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  

故 因为

f(x)=2cos2x.
f(

?
8

) ? 2 cos

?
4

?

2.

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

?
6

个单位后,得到 f ( x ?
?
4 ?

?
6

) 的图象,再将所得图象横坐标

伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (
g (x) ? f (

?
6

) 的图象.

所以    

?
4

?

?

? ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ? 4 6 6 ?

? ? ? ) ? 2 cos f ( ? ). ? 2 3 ?

当 即

2kπ ≤

?
2

?

?
3

≤2 kπ + π ≤x≤4kπ +
8? 3

(k∈Z), (k∈Z)时,g(x)单调递减.

4kπ +≤

2? 3

因此 g(x)的单调递减区间为

2? 8? ? ? 4 k? ? ,4 k? ? ? 3 3 ? ? ?

(k∈Z)

29.如图,在平面直角坐标系 x o y 中,以 o x 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与

单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值.
2 10 2 5 5

2 10

,

2 5 5



由条件的 c o s ? ?

, cos ? ?

,因为 ? , ? 为锐角,所以 s in ? =

7

2

, s in ? ?

5 5

10

因此 ta n ? ? 7 , ta n ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

1 2
ta n ? ? ta n ? ? ?3

1 ? ta n ? ta n ? 4 3

(Ⅱ) ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

?

,所以 ta n ? ? ? 2 ? ? ?
3? 2 3? 4

ta n ? ? ta n 2 ? 1 ? ta n ? ta n 2 ?

? ?1

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ?

,∴ ? ? 2 ? =

30.在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , a ? 2 3 , ta n
2 sin B co s C ? sin A ,求 A , B 及 b , c

A? B 2

? ta n

C 2

? 4,

解:由
cos C

ta n

A? B 2

? ta n

C 2

? 4 得 cot

C 2

? ta n

C 2

? 4

s in cos

C 2 ? 4 C 2


s in

2 ? C 2


s in

1 C 2 cos C 2

? 4

∴ s in C ? ∴C ?
?
6

1 2

,又 C ? (0 , ? )
5? 6

,或C ?

由 2 sin B co s C ? sin A 得 2 sin B co s B ? sin ( B ? C ) 即 sin ( B ? C ) ? 0
B ? C ?

∴B ? C

?
6 2? 3 b s in B c s in C

A ? ? ? (B ? C ) ?

由正弦定理

a s in A

?

?



1 b ?c ? a sin B sin A ? 2 3? 2 ? 2 3 2

31.已知函数 f ( t ) ?

1? t 1? t

, g ( x ) ? c o s x ? f (s in x ) ? s in x ? f (c o s x ), x ? ( ? ,

1 7? 12

).

(Ⅰ)将函数 g ( x ) 化简成 A sin ( ? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0 , 2 ? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x ) ? c o s x ?
1 ? s in x 1 ? s in x
2

? s in x ?

1 ? cos x 1 ? cos x
(1 ? c o s x ) s in x
2 2

? cos x ?

(1 ? s in x ) cos x
2

? s in x ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x ? ? sin x ? . cos x sin x
? 17 ? ? ? x ? ? ?, ,? c o s x ? ? c o s x , s in x ? ? s in x , 12 ? ? ?

1 ? s in x 1 ? cos x ? g ( x ) ? cos x ? ? s in x ? ? cos x ? s in x
? sin x ? co s x ? 2

= 2 s in ? x ?
?

?

?? ? ? 2. 4?

(Ⅱ)由 ? < x ?

17 ? 12

, 得

5? 4

<x ?

? 4

?

5? 3

.

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? , , ? sin t 在 ? 上为减函数,在 ? 上为增函数, ? 2 ? 3 ? ? 4 ? 2 ?

又 s in

5? 3

< s in

5? 4
? 4

, ? s in

3? 2

? s in ( x ?

? 4

)< s in

5? 4

(当 x ? ? ? ,
?

?

17 ? ? ) , 2 ? ?

即 ? 1 ? s in ( x ?

)< ?

2 2

, ? ?

2 ?2?

2 s in ( x ?

? 4

) ? 2 < ? 3,

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2 , ? 3 ? .
?

32.已知函数 f ( x ) ? 2 sin

x 4

cos

x 4

? 2 3 sin

2

x 4

?

3 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值;
? ? π? ? ,判断函数 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由. 3?

(Ⅱ)令 g ( x ) ? f ? x ?

解: (Ⅰ)? f ( x ) ? s in

x 2

?
2π 1 2

3 (1 ? 2 s in

2

x 4

) ? sin

x 2

?

3 cos

π? ? x ? 2 s in ? ? ? . 3? 2 ?2

x

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

? 4π .

当 sin ?

? x ?2

?

π? π? ? x ? ? ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? 2 ;当 sin ? ? ? ?1 时, f ( x ) 取得最大值 2. 3? 3? ?2 ? x ?2 π? π? ? ? .又 g ( x ) ? f ? x ? ? . 3? 3? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 2 s in ?

?

?1 ? π? π? x ? x π? ? g ( x ) ? 2 s in ? ? x ? ? ? ? ? 2 s in ? ? ? ? 2 c o s . 3? 3? 2 2? ?2 ?2 ?
x ? x? ? g (? x ) ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? g ( x) . 2 ? 2?
? 函数 g ( x ) 是偶函数.

33.设 ? A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 6 0 ,c=3b.求: (Ⅰ)
a c

?

的值;

(Ⅱ)cotB +cot C 的值. 解: (Ⅰ)由余弦定理得
a ? b ? c ? 2b cos A
2 2 2

= ( c ) ? c ? 2 ? c ?c ? ?
2 2

1

1

1

7 9

c ,

2

3

3
? 7 3 .

2



a c

(Ⅱ)解法一: co t B ? co t C =
c o s B s in C ? c o s C s in B s in B s in C



s in ( B ? C ) s in B s in C

?

s in A s in B s in C

,

由正弦定理和(Ⅰ)的结论得
c a 2 14 14 3 9 ? · ? · ? ? . s in B s in C s in A b c 9 3 1 c· 3 3 c 3 s in A 1
2

7

2

故 cot B ? cot C ?

14 3 9

.

解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有
7 cos B ? a ?c ?b
2 2 2

c ?c ?(
2 2

1 3

c)

2

? 9 2? 7 3

2ac

c ?c



5 2 7

.

故 s in B ? 同理可得

1 ? cos B ?
2

1?

25 28

?

3 2 7

.

7 cos C ? a ?b ?c
2 2 2

c ?
2

1 9 7

c ?c
2

2

? 9

? ?

1 2 7

,

2ab

1 2? c? c 3 3
1 28
cos B sin B

s in C ?

1 ? cos C ?
2

1?

?

3 3 2 7

.

从而 c o t B ? c o t C ?

?

cos C sin C

?

5 3

3?

1 9

3 ?

14 3 9

.

34.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3 , ? 1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) ? co s 2 x ? 4 co s A sin x ( x ? R ) 的值域. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由题意得 m ?n ?
2 s in ( A ? ? 6

3 sin A ? co s A ? 1,
? 6 )? 1 2 .

) ? 1, s in ( A ?

由 A 为锐角得 A ?

? 6

?

? 6

,A ? 1 2 ,

? 3

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c o s A ?

所以 f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 s in x ? 1 ? 2 s in x ? 2 s in s ? ? 2 (s in x ?
2

1 2

) ?
2

3 2

.

因为 x∈R,所以 sin x ? ? ? 1,1 ? ,因此,当 s in x ?

1 2

时,f(x)有最大值
? ? 3? ?

3 2

.

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ? 3, ? . 2
0 35.已知函数 f ( x ) ? A sin ( x ? ? )( A ? 0, ? ? ? π ) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点

3 12 ?π 1? ? π? M ? , ?. (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 5 13 ? 3 2? ? 2?

求 f (? ? ? ) 的值. (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) ,将点 M (
0 ? ? ? ? ,?

?
3

,

1 2

) 代入得 s in (

?
3

??) ?

1 2

,而

?
3

?? ? 3 5

5 6

? ,? ? ?
12 13

?
2

,故 f ( x ) ? s in ( x ?
?
2 ),

?
2

) ? cos x ;

(2)依题意有 c o s ? ?

, cos ? ?

,而 ? , ? ? ( 0 ,
5 13

? sin ? ?

3 2 4 1 ? ( ) ? , sin ? ? 5 5

1? (

12 13

) ?
2


3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 ? 3

f (? ? ? ) ? c o s (? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? s in ? s in ? ?

?

?

?

?

。 .

36.在 △ A B C 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ A B C 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin ( B ? A ) ? 2 sin 2 A ,求 △ A B C 的面积.

本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础知识, 考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? a b ? 4 ,
2 2

又因为 △ A B C 的面积等于 3 ,所以
? a ? b ? a b ? 4,
2 2

1 2

a b s in C ?

3 ,得 a b ? 4 . ······· 4 分

联立方程组 ?

? a b ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . ·············· 6 分

(Ⅱ)由题意得 sin ( B ? A ) ? sin ( B ? A ) ? 4 sin A co s A , 即 sin B co s A ? 2 sin A co s A , ······················· 8 分 当 co s A ? 0 时, A ?
? 2

,B ?

? 6

,a ?

4 3 3

,b ?

2 3 3



当 co s A ? 0 时,得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2 a , 联立方程组 ?
? a ? b ? a b ? 4,
2 2

? b ? 2 a,
1 2

解得 a ?

2 3 3

,b ?

4 3 3



所以 △ A B C 的面积 S ?

a b s in C ?

2 3 3

. ················· 12 分



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