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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第9节 函数与方程



第二章 函数、导数及其应用

第九节

函数与方程

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理] 一、函数的零点

1.定义:
对于函数y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数x叫做函 数y=f(x)(x∈D)的零点. 2.函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的 关系: 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点? 函数y=f(x)有 零点 .

第二章 函数、导数及其应用

3.函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间 曲线,并且有 f(a)· (a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这个

c 也就是方程f(x)=0的根.

第二章 函数、导数及其应用

二、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数y=ax2
+bx+c (a>0) 的图象

与x轴的交点
零点个数

(x1,0) ,(x2,0) 两个

(x1,0) 一个

无交点 零个

第二章 函数、导数及其应用

三、二分法
f(b)<0 的函数y=f(x), 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区 间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点

的是

(

)

C

第二章 函数、导数及其应用

2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 A.0,2 1 C.0,-2 1 B.0,2 1 D.2,-2 ( )

C [∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为 0 和- .] 2

第二章 函数、导数及其应用

3.(2014· 唐山模拟)函数 A.0 C.2 B [函数 方程 数

1 ?1?x 3 f(x)=x -? ? 的零点个数是

?3?

(

)

B.1 D.3
1 ?1?x 3 f(x)=x -? ? 的零点个数,即

?3?

1 ?1?x 3 x -? ? =0

?3?

的根的个数,亦即函
?1?x y=?3? 图象的交点 ? ?

1 y=x3的图象与函数

个数,画出两者 的图象(如图),可得交点的个数为 1.]

第二章 函数、导数及其应用

4 . 用 二 分 法 求 函 数 y = f(x) 在 区 间 (2 , 4) 上 的 近 似 解 , 验 证 2+4 f(2)· f(4)<0, 给定精确度 ε=0.01, 取区间(2, 4)的中点 x1= 2 =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 解析 答案 由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3). (2,3)

第二章 函数、导数及其应用

5.已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的 取值范围是________. 解析 ∵函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上有零点.

∴f(0)f(1)<0.即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案 (-2,0)

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]
1.函数的零点不是点: 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一 个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是

一个数字,而不是一个坐标.

第二章 函数、导数及其应用

2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(a)·f(b)<0;(3)在(a,b)内存在 零点.

这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
3.对于定义域内连续不断的函数,其相邻两个零点之间的 所有函数值保持同号.

第二章 函数、导数及其应用

确定函数零点所在的区间
[典题导入] 1 (2014· 西安质检)函数 f(x)=log2x- x的零点所在的区间为 (
? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? B.?2,1? ? ?

)

C.(1,2)

D.(2,3)

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

?1? 1 ? ? ∵f 2 =log22-2=-3<0, ? ?

f(1)=log21-1=-1<0; 1 f(2)=log22-2>0, 故函数零点所在区间为(1,2). 答案 C

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看 函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上的图象是否连续不断,再看是否 有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1.(2014· 衡水模拟)设函数 y=x 与 (x0,y0),则 x0 所在的区间是 A.(0,1) C.(2,3) B [设函数 f(x)=x
3 3

?1?x-2 y=?2? 的图象交点为 ? ?

(

)

B.(1,2) D.(3,4)
?1?x-2 -?2? ,f(1)· f(2)<0, ? ?

且 f(x)为单调函数,则 x0∈(1,2).]

第二章 函数、导数及其应用

判断函数零点个数 [典题导入] (1)(2012·湖北高考)函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]

上的零点的个数为
A.2 C.4 B.3 D.5

(

)

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

令 f(x)=xcos 2x=0,得 x=0 或 cos 2x=0,故 x=0

π kπ π 或 2x=kπ+2,k∈Z,即 x=0 或 x= 2 +4,k∈Z.又 x∈[0,2π], 故 k 可取 0,1,2,3,故零点的个数有 5 个. 答案 D

第二章 函数、导数及其应用

? ?|lg x|,x>0, (2)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数 ? ?2 ,x≤0,

是__________. [听课记录] 1 方程 2f (x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1. 2
2

第二章 函数、导数及其应用

作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.

答案 5

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几
个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a, b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图 象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确定函

数有多少个零点.

第二章 函数、导数及其应用

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先 画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,

就是函数零点的个数.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 2.(2014· 哈尔滨四校统考)已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)= -f(x),且当 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,函数 ? ?sin π x,x>0 g(x)=? 1 ,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5] -x ,x<0 ? ? 上的零点的个数为 A.8 C.10 B.9 D.11 ( )

第二章 函数、导数及其应用

B [函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),
故f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x), 即函数f(x)的周期为2,作出x∈(-1,1]时, f(x)=|x|的图象,并利用周期性作出函数f(x)在[-5,5]上的图 象,在同一坐标系内再作出g(x)在[-5,5]上的图象, 由图象可知,函数f(x)与g(x)的图象有9个交点, 所以函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为 9,

选B.]

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

函数零点的应用 [典题导入] 已知函数 f(x) = ex - x + a 有零点,则 a 的取值范围是

________.
[听课记录] ∵f(x)=ex-x+a, ∴f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.

第二章 函数、导数及其应用

当x<0时,f′(x)<0,
函数f(x)在(-∞,0)上是减函数; 当x>0时,f′(x)>0, 函数f(x)在(0,+∞)上是增函数. 故f(x)min=f(0)=1+a. 若函数f(x)有零点,则f(x)min≤0, 即1+a≤0,得a≤-1.

答案 (-∞,-1]

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究] 若函数变为 f(x)=ln x-2x+a,其他条件不变,则 a 的取值范围为 ________. 解析 1 ∵f(x)=ln x-2x+a,∴f′(x)=x -2.

1 令 f′(x)=0,得 x=2. 1 当 0<x≤2时 f′(x)≥0,∴f(x)为增函数; 1 当 x>2时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数.

第二章 函数、导数及其应用

?1? 1 ? ? ∴f(x)max=f 2 =ln2-1+a. ? ?

1 若 f(x)有零点,则 f(x)max≥0,即 ln2-1+a≥0. 1 ? ? ? ?. 1 + ln 2 ,+∞ 解得 a≥1-ln2,a 的取值范围为? ? 答案
? ? ?

1+ln 2,+∞???

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通 过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以

解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中, 画出函数的图象,然后数形结合求解.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 3 .已知函数 f(x) 满足 f(x + 1) = f(x - 1) ,且 f(x) 是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)

-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
解析 由f(x+1)=f(x-1)得, f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的函数.

第二章 函数、导数及其应用

∵f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,

∴当x∈[-1,0]时,
f(x)=-x, 易得当x∈[1,2]时, f(x)=-x+2, 当x∈[2,3]时,f(x)=x-2.

在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,

第二章 函数、导数及其应用

即函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象在区间[-1,3]上有 4 个不同的 交点.作出函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象如图所示,
? 1? 结合图形易知,k∈?0,4?. ? ?

答案

? 1? ?0, ? 4? ?

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 “图”解函数的零点问题
?|2x-1|,x<2, ? (2014· 鞍山模拟)已知函数 f(x)=? 3 若方程 ,x≥2, ? x - 1 ? f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围为 ( A.(1,3) C.(0,2) B.(0,3) D.(0,1) )

第二章 函数、导数及其应用

【思路导析】

本题考查利用函数零点个数求参数的取值范

围,解题的关键是画出函数f(x)的图象,结合图象,寻求方程
有三个实数根的条件. 【解析】 画出函数f(x)的图象如图所示,

第二章 函数、导数及其应用

观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函

数 y = f(x) 的图象与直线 y = a 有 3 个不同的交点,此时需满足
0<a<1,故选D. 【答案】 D 【高手支招】 函数零点问题主要有四类:一是判断函数零

点或方程根的个数;二是利用函数零点确定函数解析式;三

是确定函数零点或方程根的取值范围;四是利用函数零点或
根的个数求解参数的取值范围.解决这些问题主要用数形结 合法.

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考] 1. (理)(2013· 天津高考)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

B [函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点也就是方程 2x|log0.5x|-1=0 的根,即 2x|log0.5x|=1,
?1?x 整理得|log0.5x|=?2? . ? ?

第二章 函数、导数及其应用



?1?x g(x)=|log0.5x|,h(x)=?2? , ? ?

作 g(x),h(x)的图象如图所示.

因为两个函数图象有两个交点,所以 f(x)有两个零点.]

第二章 函数、导数及其应用

1.(文)(2013·湖南高考)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2

-4x+4的图象的交点个数为(
A.0 C.2 B.1 D.3

)

C [利用图象知,有两个交点.故选C.]

第二章 函数、导数及其应用

2.(理)(2013·重庆高考)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)· (x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) 的两个零点分别位于 区间 ( )

A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

第二章 函数、导数及其应用

A [由题意a<b<c,可得f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0.

显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,
所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点, 故选A.]

第二章 函数、导数及其应用

2.(文)(2013·天津高考)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2 -3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则 A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) ( )

C.0<g(a)<f(b)

D.f(b)<g(a)<0

A [由f(a)=ea+a-2=0得0<a<1.

由g(b)=ln b+b2-3=0得1<b<2.
因为g(a)=ln a+a2-3<0,f(b)=eb+b-2>0, 所以f(b)>0>g(a),故选A.]

第二章 函数、导数及其应用

3.(理)(2013·安徽高考)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点 x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0

的不同实根个数是
A.3 C.5 B.4 D.6

(

)

第二章 函数、导数及其应用

A [由f′(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2, 即 3(f(x))2 + 2af(x) + b = 0 的根为 f(x) = x1 或 f(x) = x2 的解.如图

所示.

第二章 函数、导数及其应用

由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解, 因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.]

第二章 函数、导数及其应用

3.(文)(2012· 北京高考)函数

1 ?1?x 2 f(x)=x -? ? 的零点个数为

?2?

( A.0 C.2 B.1 D.3

)

第二章 函数、导数及其应用
1 ?1?x 2 f(x)=x -? ? 的零点个数即为方程

B [函数

?2?

1 ?1?x 2 x =? ? 的根的个数,因此可以利用数形结合,

?2?

在同一坐标系内画出函数

1 y=x2和函数 1 ?1?x 2 f(x)=x -? ? 的零点个数,

?1?x y=?2? 的图象,两图象的交点个数即为 ? ?

?2?

如图所示,其零点个数为 1.]

第二章 函数、导数及其应用

课时作业



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