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函数性质高考题



历届高考中的“函数的性质”试题精选
一、选择题: (每小题 5 分,计 60 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

/>9

10

11

12

1.(2008 全国Ⅰ卷理) 函数 y ? A. x | x ≥ 0

x(x ?1) ? x 的定义域为(

) D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

?

B. x | x ≥ 1

?

?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

?

?
)

2.(2008 四川文、理)函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 99? ? ( (A) 13 (B) 2
3

(C)

13 2

(D)

2 13


3.( 2007广东文)若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数

4. (2007 辽宁文) 若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后, 得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象, 则向量 a = ( ) , ? 2) , 2) A. ?? 1,?2? B. (1 C. (1 D. (?1 , 2) 5.(2005 浙江理科)设 f(x)= ? ?

(A)

1 2

?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, 1 ,则 f[f( )]=( 1 2 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2 4 9 25 (B) (C)- (D) 13 5 41

)

6. (2006 天津文)函数 y ? A. y ? C. y ?

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是(
B. y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) D. y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 2)



x2 ? 2x ( x ? 0) x2 ? 2 x ( x ? 2)

7.(2006 山东文、理)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为( (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2



8. (2005 重庆理、 文)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 在 (??,0] 上是减函数, 且 f (2) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是( ) A. (??,2) B. (2,??) C. (??,?2) ? (2,??) D. (-2,2)

9. (2005 福建理、 文) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 且 f (2) ? 0 , 则方程 f ( x) =0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )

A.2

B.3

C.4

D.5

10.(2002 全国理科)函数 y ? 1 ?
y
y

1 的图象是( x ?1
y 1


y

1 O 1
O

1 1
-1
-1

1

x

x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

11.(2008 全国Ⅰ卷文、理) 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把 这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

12. (2000 江西、天津理科)设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 ??x, y ? | x ? R, y ? R? ,映射

f : A ? B 把集合 A 中的元素 ? x, y ? 映射成集合 B 中的元素 ?x ? y, x ? y ? ,则在映射 f 下,象 ?2,1? 的原象是( )
(A) ?3, 1?

?3 1? (B) ? , ? ?2 2?

?3 1? (C) ? , ? ? ?2 2?

(D) ?1, 3?

二、填空题: (每小题 5 分,计 30 分) ( x ? 1)( x ? a) 13.(2007 海南、宁夏理)设函数 f ( x) ? 为奇函数,则 a ? x
1 的定义域为 2? x



14.(2005 年北京文科) 函数 f ( x) ?

x ?1 ?



15. (2006 上海春招) 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,

f ( x) ? x ? x 4 ,则

当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

16.(2007 浙江文)函数 y ?

x2 ( x ? R ) 的值域是____________. x2 ?1


17.(2007 江西文)已知函数 y=f(x)存在反函数 y=f 1(x),若函数 y=f(x+1)的图象经过点(3, - 1),则函数 y=f 1(x)的图象必经过点 .

18. (2007 北京理)已知函数 f ( x ) , g ( x) 分别由下表给出

x f(x)

1 1

2 3

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则 f [ g (1)] 的值为 .

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

三、解答题: (每小题满分分别为 15 分,计 60 分) ?2 x ? b 19.(2006 重庆文)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数。 (Ⅰ)求 a , b 的值; 2 ?a (Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
(提示:要解答(Ⅱ) ,应该先判断函数 f(x)的单调性)

20 . (2007 上海理)已知函数

f ( x) ? x 2 ?

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R ) .

(1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
? ? ) 上为增函数,求 a 的取值范围. (2)若函数 f ( x) 在 x ? [ 2,

21.( 2007广东文、理)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零点,求 a 的取值范围.

22. (2000 广东,全国文理)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市 时间的关系用图二的抛物线段表 示。 (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与 时间的函数关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种植成本与时 间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售价减去种植 成本为纯收益,问何时上市的西红 柿纯收益最大? (注:市场售价各种植成本的单位:元/102 ㎏,时间单位:天)

历届高考中的“函数的性质”试题精选参考答案
一、选择题:

题号 答案
二、填空题:

1 C

2 C

3 B

4 C

5 B

6 D
4

7 B

8 D

9 D

10 B

11 A

12 B
18.1,2;

13.-1; 14. ?? 1,2? ? ?2,??? ; 15. ? x ? x ; 16. ?0,1? ; 三、解答题:

17.(1,4);

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? 19.解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 a?2 a ? 2 x ?1 1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x 1? 2 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1 2 2 为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0
等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,
2 2 2
2 2 因 f ( x ) 为 减 函 数 , 由 上 式 推 得 : t ? 2t ? k ? 2t . 即 对 一 切 t ? R 有 :

3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 ? 2x 1 ? 22 t ? k 解法二: 由 (Ⅰ) 知 f ( x) ? . 又由题设条件得: ? ? 0, 2 2 2 ? 2 x ?1 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ?k ?1 2 2 2 2 即: (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 ,
整理得

1 3 2 1 ? 2t ?2t

2

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 20. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,
2 2 0) ? (0, ? ? ) , f (? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ? 对任意 x ? ( ? ?, a 当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ( a ? 0, x ? 0) , x 取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 , ? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) ,

1 3

f ( x) 为偶函数.

? 函数 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)解法一:设 2 ≤ x1 ? x2 ,

a a ( x1 ? x2 ) 2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? , ? x2 ? ? x1 x2 x1 x2 ? ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立. 要使函数 f ( x) 在 x ? [ 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 4 ,即 a ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) 恒成立. 又? x1 ? x2 ? 4 ,? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16 . ? a 的取值范围是 ( ? ?, 16] . f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ?
? ? ) 为增函数. 解法二:当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,显然在 [ 2,

当 a ? 0 时, 反比例函数

当 a ? 0 时,同解法一.

a a ? f ( x) ? x 2 ? 在 [ 2, ? ? ) 为增函数, ? ? ) 为增函数. 在 [ 2, x x 3 不在区间[-1,1]上。 2

21.解:当a=0时,函数为f (x)=2x -3,其零点x=

当a≠0时,函数f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ①函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时

?? ? 4 ? 8a(?3 ? a ) ? 0 ?f (?1) ? 0 ?f (1) ? 0 ? f (?1)f (1) ? 0 或 ? 或? 或 ? 1 ?1 ? ? ?1 ?af (1) ? 0 ?af (?1) ? 0 ? 2a ? 3? 7 解得1≤a<5或a= ? 2
②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时

?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? 1 ? 3? 7 ?1 ?? 1 ? ? 解得a ? 5或a< ? 2a ? 2 ?af (?1) ? 0 ? ? ?af (1) ? 0
综上所述, 如果函数在区间[─1, 1]上有零点, 那么实数a的取值范围为(-∞, ? ∞) (别解: 2ax ? 2x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x ?1)a ? 3 ? 2 x ,题意转化为知 x ?[?1,1] 求 a ?
2 2

3? 7 ]∪[1, + 2
3 ? 2x 2 x2 ?1

的值域,

令 t ? 3 ? 2 x ? [1,5] 得 a ?

2 , t ?? 1,5? ,转化为求该函数的值域问题. 7 t ? ?6 t

22. 解:(I)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

(II)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),即

当 0≤t≤200 时,配方整理得

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值 87.5。 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从二月一 日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大。



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