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1.3函数的基本性质



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1.3 函数的基本性质
一、选择题
1.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 A.函数 f(x)先增后减 B.f(x)是 R 上的增函数 C.函数 f(x)先减后增 D.函数 f(x)是 R 上的减函数 2.在区间 上为增函数的是( ) f?a?-f?b? >0,则必有( a-b ).

/>
A. C.

B. D. ).

3.函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-3) C. (3,+∞) 4.函数 A. 5.函数 在区间 B.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 是增函数,则 B. C. ) 的递增区间是( D. )

在实数集上是增函数,则 (

A.

B.

C. ).

D.

6.设定义在 R 上的函数 f(x)=x|x|,则 f(x) ( A.只有最大值 B.只有最小值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,又无最小值 7.下列函数是偶函数的是( A.y=x ). C.y=

B.y=2x2-3
2

1 x

D.y=x2,x∈[0,1]
3 2

8.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数
2



C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数 ) 1

9.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则(

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A. a ?

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,b=0

10.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3) 的大小关系是( ).

A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)

二、填空题
11.已知 f(x)=x2-2mx+6 在(-∞,-1]上是减函数,则 m 的范围为 x 12.函数 f(x)= 在区间[2,4]上的最小值是________. x+2 13.函数 f ( x) ? ____.

x?2 ?2 1? x2

的奇偶性为_ _______(填奇函数或偶函数)

14.函数 ,

在 R 上为奇函数,且 .
2

,则当 .

15.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_______.

三、解答题
16.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.

17.判断下列函数的奇偶性
3 ①y? x ?

1 ; x

②y?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③ y ? x ? x;
4

2

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18.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达 式.

3

2

2005 ? ax 3 ? 19.已知 f ( x) ? x

b ? 8 , f (?2) ? 10 ,求 f (2) . x

20.函数 f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [a, b] 的单调性,并给出证明.

参考答案
一、1-5 BBCBA 6-10 DBAAA 二、11. [-1,+∞) 14. 12. 15. 1 2 0 13.奇函数

三、16.(1)解 ∵f(1)=0,f(3)=0,

3

金汕教育 ? ?1+b+c=0, ∴? 解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0, ?

(2)证明 由(1)知 f(x)=x2-4x+3, 任取 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2,
2 由 f(x1)-f(x2)=(x2 1-4x1+3)-(x2-4x2+3) 2 =(x2 1-x2)-4(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-4),

∵x1-x2<0,x1>2,x2>2, ∴x1+x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数. 17.解:①定义域 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称,且 f (? x) ? ? f ( x) ,奇函数. ②定义域为 { } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. ③定义域为 R,关于原点对称,且 f (? x) ? x 4 ? x ? x 4 ? x , f (? x) ? x 4 ? x ? ?( x 4 ? x) , 故其不具有奇偶性.

1 2

18. 解:f(x)=x3+2x2-1.因 f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1, ∴f(x)=x -2x +1.
3 2 3 2 3 2

?x 3 ? 因此, f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x ? 1
2

( x ? 0), ( x ? 0), ( x ? 0).

19.解:已知 f ( x) 中 x 2005 ? ax 3 ? b 为奇函数,即 g ( x) = x 2005 ? ax 3 ? b 中 g (? x) ? ? g ( x) ,也 x x 即 g (?2) ? ? g (2) ,f (?2) ? g (?2) ? 8 ? ? g (2) ? 8 ? 10, 得 g (2) ? ?18 ,f (2) ? g (2) ? 8 ? ?26 . 20.解:减函数令 a ? x1 ? x2 ? b ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即可得 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;同理 有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即可得 从而有 f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )

? f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )
? f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) *

显然 f ( x1 )(g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))g ( x2 ) ? 0 从而*式 * ? 0 , 故函数 f ( x) g ( x) 为减函数.

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