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四川省成都七中2014届高三5月第一次周练数学(理)试题 Word版含答案



成都七中 2014 级考试数学试卷(理科)
命题人:巢中俊 审题人:刘在廷

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.) 1.若 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {1,3, 4}, B ? {5,6,7}, 则 (CU A) (A) {2,8} (B) {2,6,8}

/>
(CU B) ? (

) (D) {1, 2,3,5,6,7} )

(C) {1,3,5,7}

2.若 ? , ? 表示两个不同的平面, a , b 表示两条不同的直线,则 a // ? 的一个充分条件是( (A) ? ? ? , a ? ? (B) ? ? ? ? b, a // b (C) a // b, b // ? ) (D)

(D) ? // ? , a ? ?

3.已知等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? t ? 5n?2 ? , n ? N ? , 则实数 t ? ( (A) 4 (B) 5 (C)

1 5

4 5
)

1 5

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( (A) 6 (C) 3 (B) 2 3 (D) 3 3

5.若 cos2? ? (A)

5 9

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值为( 3 11 (B) 18

) (C)

13 18
)

(D) 1

6.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x ? 2 y 的最小值是( (A) 3 (B) 4 (C)

9 2

(D)

11 2

7. ( x ? )8 二项展开式中的常数项为( (A) 56 (B) 112

3

2 x

) (C) ?56 ) (D) (1, ??) (D) ?112

8.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( (A) (??, ?1) (B) [?2, 2] (C) (?2, 2)
1

9.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? 2CD .动点 P 从点 A 出发,沿 正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, D C E

AP ? ? AB ? ? AE .则 ? ? ? 的取值范围为(
(A) [ ?1,1] (C) [ ?2,1] (B) [?1,2] (D) [0, 2]

)
P A

B

10.从 21 ,22 ,23 ,

,2n 这 n 个数中取 m (n, m ? N * ,2 ? m ? n) 个数组成递增的等比数列 ,所有可能
) (C) 506 开始 (D) 507 (B) 505

的递增等比数列的个数记为 ? ( n, m) ,则 ? (100,10) ? ( (A) 504

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上.) 11.已知 z ? 1 ? 2i ,则 z 3 ?

i ? 0, A?2
i ? i ?1

?2 x ? y ? 0 ? 12.若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? 4 x ? y ?y ? 0 ?
的最大值为 13.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为

A ?1?

1 A


i ? 2014

是 输出 A

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三个点, a 2 b2 1 且 A 、 B 连线经过坐标原点,若直线 PA 、 PB 的斜率之积为 ? , 4 则该椭圆的离心率为
14.设 A 、 B 、 P 是椭圆

结束

15.若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 满足 a ? c ? 2b ,则称该三角形为“中庸”三角形. 已知 ?ABC 为“中庸”三角形,给出下列结论: ① ? ( ,2) ; ③B?

a c

1 2



1 1 2 ? ? ; a c b
2

?
3



④若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB, 则 sin B ? .(写出所有正确结论的序号)
2

4 . 5

其中正确结论的序号是

三、 解答题(本大题共 6 小题.共 75 分. 16 ? 19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 * 16.数列 {an } 满足 an?2 ? 2an?1 ? an (n ? N * ), 数列 {bn } 满足 bn ?1 ? bn bn ? 2 (n ? N ),

a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2. (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

(2)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求 A 的大小; (2)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

18.在如图所示的多面体中,四边形 ABCD 为正方形,四边形 ADPQ 是直角梯形, AD ? DP , CD ?

1 DP . 2 (1)求证: PQ ? 平面 DCQ ; (2)求二面角 B ? CQ ? P 的大小.
平面 ADPQ , AB ? AQ ?

C B D A Q P

19.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型 ,在一块木板上钉着若干 排相互平行但相互错开的圆柱形小木块 ,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻 璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能 向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的高尔顿板有 7 层小木块,小球从通道口落下,第一次与第 2 层中间的小木块碰撞,以

1 2

的概率向左或向右滚下,依次经过 6 次与小木块碰撞,最后掉入编号为 1, 2, ,7 的球槽内.例如小 球要掉入 3 号球槽,则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下. (1)若进行一次高尔顿板试验,这个小球掉入 2 号球槽的概率. (2)某高三同学在研究了高尔顿板后,制作了一个如图所示的高尔顿板来到社团文化节上进行盈 利性“抽奖”活动.10 元可以玩一次高尔顿板游戏,小球掉入 m 号球槽得到的奖金为 ? 元,其中 ? ?| 20 ? 5m | .高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏.试求 ? 的分布列,如果你在活动现场, 你通过数学期望的计算后,你觉得这位高三同学能盈利吗?

3

x2 y 2 7 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的短轴长为 6.其离心率为 .若 l1 , l2 是椭圆 C 的两条相互 2 a b 4 垂直的切线, l1 , l2 的交点为点 P . (1)求椭圆 C 的方程; (2)记点 P 的轨迹为 C ? ,设 l1 , l2 与轨迹 C ? 的异于点 P 的另一个交点分别为 M , N ,求 ?PMN 的面 积的取值范围.
20.已知椭圆 C :

x2 (a ? R ), g ( x) ? x ? ln x. ax ? ln x (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在 (1, ??) 上的最小值; (2)若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象恰有三个不同的交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ( x1 ? x2 ? x3 ).
21.已知函数 f ( x) ? (i)求实数 a 的取值范围;
2 (ii)求证: ? f ( x1 )? f ( x2 ) f ( x3 ) ? x1 x2 x3 . 2

4

5

成都七中 2014 级考试数学试卷(理科)参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

D

B

D

A

B

B

C

D

C

11.

12.

13.

14.

15.

②④

16.解:(1) 所以数列 , 所以数列 (2)



. .

是首项为 1,公差为 1 的等差数列, , 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, ,则

.?????????????6 分

两式相减得: 整理得 .??????????????????????????12 分

17.解(1)因为

,所以

,

又因为

,所以

.???????????????????????6 分

(2)因为

,

,所以
6



由正弦定理 因为 因为 ,所以

,得 ,所以 .

. ,解得 ,



的面积

.??????????????????12 分

18. 解 : 因 为 点,

,

平面

,所以

两两垂直.以

为原

所在直线为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 不妨设 (1) ,则 , , , , , , 故 (2) , , ,又 ,设平面 ,所以 ,

. , .?????????1 分

, 平面 .?????????6 分 .

的一个法向量为

,故 , ,设平面

. 的一个法向量为 .

,故

.


7

.

可以判断二面角

是钝角,所以二面角

的大小为

??????12 分

19.解(1)设这个小球掉入 2 号球槽为事件

.

掉入 2 号球槽,需要向右 1 次向左 5 次,所以

.

所以这个小球掉入 2 号球槽的概率为 (2) 的可能取值为 .

. ???????????????????5 分

这位高三同学能盈利. ????12 分

20 解(1)

所以



从而

所以椭圆

的方程为

.?????????????????????5 分

8

(2) ① 若 直 线

的斜率存在且不为零时,设为 .

,设

,则直线

的方程为



,令

.

. 直线 是椭圆的切线,所以 ,所以 ,

坐标原点

到直线 的距离

,所以

.

设坐标原点

到直线 的距离为

,同理可得

.

所以 ②若直线 的斜率不存在或为零时,容易验证 所以 点 的轨迹 是圆

.

????????????????10 分

.

若直线 的斜率存在且不为零时, 若直线 的斜率不存在,则 .所以

,则 . ,令 则

;若直线 的斜率为零,则



. .

,画

的图象,则
9

所以

的面积的取值范围为

.???????????????????13 分

21.解(1)

,

,

0 极小值

所以当

时,



上的最小值为

?????????????3 分

(2) (i)

,

分离参数得

,令

通过求导分析容易证得

,所以

或 .

,

,

,

.



的草图,实数 的取值范围为

.???????7 分

注意到

,若

,则
10

,

矛盾 .

所以

时,三个不同的交点

均使得

成立.

所以实数 的取值范围为 (ii)由(i)知 ,

.???????????????????9 分

,令

,则

,即

,

,画

图象.

不妨设

,则

,

,

.???????????????14 分 注:(i)也可以按(ii)的思维方式解答
11

12



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