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【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理的应用教学案


第八节

正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起] 1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图 1).

(2)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α (如图 2). (3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α °即由指北方向顺时针旋转 α °到达目标方向. ②北偏西 α °即由指北方向逆时针旋转 α °到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比). 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.

1

[小题能否全取] 1. A 处望 B 处的仰角为 α , B 处望 A 处的俯角为 β , α , 之间的关系是( 从 从 则 β A.α >β C.α +β =90° 答案:B 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° B.北偏西 15° D.北偏西 10° B.α =β D.α +β =180° )

解析:选 B 如图所示, ∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而 β =30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB= 105°,则 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 解析:选 A 由正弦定理得 ) B.50 3 m 25 2 D. m 2

AC?sin ∠ACB AB= = sin B

50? 1 2

2 2

=50 2(m).

4.(2011?上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠

CBA=60°,则 A、C 两点之间的距离为________千米.
解析:如图所示,由题意知∠C=45°,

AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45°

2

∴AC=

2

3 ? = 6. 2 2 2

答案: 6 5.(2012?泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在 一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60°,另一灯塔在船的南偏东 75°,则这艘船每小时航行________海里. 解析:如图,由题意知在△ABC 中,∠ACB=75°-60°=15°,B= 15°,∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC=AC?sin 30°=4. 4 ∴这艘船每小时航行 =8 海里. 1 2 答案:8

解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦 定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这 时需作出这些三角形, 先解够条件的三角形, 然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

测量距离问题

典题导入 [例 1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部

门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计 的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,

AC=8 米,∠C=∠D.
(1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由).
3

[自主解答] (1)在△ABC 中,由余弦定理得 cos C=

AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 = ,① 2AC?BC 2?8?5

在△ABD 中,由余弦定理得 cos D=

AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 = ,② 2AD?BD 2?7?7

由∠C=∠D 得 cos C=cos D. 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD= AD?BDsin D,S△ABC= AC?BCsin C, 2 2 因为 AD?BD>AC?BC,且∠C=∠D, 所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,试求最低造价为多少? 解:因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形, ∠D=60°,∠C=60°. 1 故 S△ABC= AC?BCsin C=10 3, 2 所以所求的最低造价为 5 000?10 3=50 000 3≈86 600 元.

由题悟法 求距离问题要注意: (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 以题试法 1.如图所示, 某河段的两岸可视为平行, 为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A、B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=105°, ∠CBA=45°,且 AB=100 m. (1)求 sin ∠CAB 的值; (2)求该河段的宽度.
4

解:(1)sin ∠CAB=sin 105° =sin(60°+45°) =sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45° = 3 2 1 2 6+ 2 ? + ? = . 2 2 2 2 4

(2)因为∠CAB=105°,∠CBA=45°, 所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=30°. 由正弦定理,得 则 BC= = , sin ∠ACB sin ∠CAB =50( 6+ 2)(m).

AB

BC

AB?sin 105°
sin 30°

如图所示,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 的长就是该河段的 宽度.在 Rt△BDC 中,

CD=BC?sin 45°=50( 6+ 2)?
所以该河段的宽度为 50( 3+1)m.

2 =50( 3+1)(m). 2

测量高度问题

典题导入 [例 2] (2012?九江模拟)如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山 顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 α , 从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β , 山坡对于地平面的坡角为 θ . (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α =15°,β =45°,θ =30°,求建筑物 CD 的高度. [自主解答] (1)在△ABC 中,∠ACB=β -α , 根据正弦定理得 , sin ∠BAC sin ∠ACB

BC



AB

lsin α 所以 BC= . sin? β -α ? lsin α 24?sin 15° (2)由(1)知 BC= = =12( 6- 2)米. sin? β -α ? sin 30°
π π 2π 3 在△BCD 中,∠BDC= + = ,sin ∠BDC= , 2 6 3 2

5

根据正弦定理得

, sin ∠BDC sin ∠CBD

BC



CD

所以 CD=24-8 3米.

由题悟法 求解高度问题应注意: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用. 以题试法 2. (2012?西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度, C 点测得塔顶 A 的仰 在 角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m, 求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得 BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB =30°, 则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得,

BD2=BC2+CD2-2BC?CD?cos 120°,
即( 3x) =x +40 -2?x?40?cos 120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米.
2 2 2

测量角度问题

典题导入 [例 3] (2012?太原模拟)在一次海上联合作战演习中, 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏 东 75°方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方 的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

6

[自主解答] 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x) =12 +(10x) -240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. 根据正弦定理得
2 2 2

BC
sin α



, sin 120°

AC

20sin 120° 5 3 解得 sin α = = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 由题悟法 1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义. 2.在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题, 解题中也要注意体会正、 余弦定理综合 使用的特点. 以题试法 3.(2012?无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的 高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看 建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________. 解析:∵AD =60 +20 =4 000,AC =60 +30 =4 500. 在△CAD 中,由余弦定理得
2 2 2 2 2 2

AD2+AC2-CD2 2 cos ∠CAD= = ,∴∠CAD=45°. 2AD?AC 2
答案:45°

7

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50°,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70°,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. 16 C. 18 B. 17 D. 19 )

解析:选 D ∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3. ∴BC =AB +AC -2AB?ACcos ∠BAC =4+9-2?2?3?cos 120°=19. ∴BC= 19. 2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )
2 2 2

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB =100,BC= 3h, 根据余弦定理得,( 3h) =h +100 -2?h?100?cos 60°,即 h +50h-5 000=0, 即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3.(2012?天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( A. 7 25 ) 7 B.- 25 D. 24 25
2 2 2 2

7 C.± 25

解析:选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B = sin C c 4 7 ?4?2 2 = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos B-1=2?? ? -1= . 5? 2 sin B 2b 5 25 ? 4.(2013?厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 其中 a 为最大边,如果 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为(
2 2 2

)

? π? A.?0, ? 2? ?

B.?

?π ,π ? ? ?4 2?

8

C.?

?π ,π ? ? ?6 3?
2 2 2 2

D.?
2

?π ,π ? ? ?3 2?
2 2 2

解析:选 D 由题意得 sin A<sin B+sin C, 再由正弦定理得 a <b +c ,即 b +c -a >0. 则 cos A=
2

b2+c2-a2 >0, 2bc

π ∵0<A<π ,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3 因此得角 A 的取值范围是?

?π ,π ?. ? ?3 2?

5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分 钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处 观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里 )

解析:选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30°,∠ABC=105°, ∴∠BCA=45°. 1 又 AB=40? =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20? 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的 俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则山顶 的海拔高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 ) B.6.6 D.5.6

1 50 000 解析:选 B ∵AB=1 000?1 000? = m, 60 3 ∴BC= 50 000 ?sin 30°= m. sin 45° 3 2

AB

9

50 000 ∴航线离山顶 h= ?sin 75°≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 7.(2012?南通调研)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好 的生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮, 已知这种草皮的价格是 120 元/m ,则购买这种草皮需要________元. 1 解析: 三角形空地的面积 S= ?12 3?25?sin 120°=225, 故共需 225?120=27 000 2 元. 答案:27 000 8.(2012?潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的 北偏东 30°的方向, 之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午 10: 到达 B 处, 00 此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船 的航速是________n mile/h. 解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),
2

ON=AOtan 30°=

3 ?30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

900+300-2?30?10 3?

3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 10.如图, 在△ABC 中, 已知∠B=45°, 是 BC 边上的一点,AD=10, D

AC=14,DC=6,求 AB 的长.
解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

10

由余弦定理得 cos∠ADC= =

AD2+DC2-AC2 2AD?DC

100+36-196 1 =- ,∴∠ADC=120°, 2?10?6 2

∴∠ADB=60°. 在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B ∴AB=

AB

AD

AD?sin ∠ADB sin B

3 10? 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行 该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在

A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒. A 地测得该仪器至最高点 H 在
时的仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒) 2 解:由题意,设 AC=x,则 BC=x- ?340=x-40, 17 在△ABC 中,由余弦定理得

2 17

BC2=BA2+CA2-2BA?CA?cos ∠BAC,
即(x-40) =x +10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30°,∠ACH=90°, 所以 CH=AC?tan ∠CAH=140 3. 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 12.(2012?兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之 间架设高压电线, 测量人员在相距 6 km 的 C, 两地测得∠ACD=45°, D ∠ADC=75°,∠BDC=15°,∠BCD=30°(如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上), 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因, 实际 所需电线长度大约应该是 A, 之间距离的 1.2 倍, B 问施工单位至少应 该准备多长的电线? 解:在△ACD 中,∠ACD=45°,CD=6,∠ADC=75°,
2 2

11

所以∠CAD=60°. 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD 2 6? 2 CD?sin ∠ACD 所以 AD= = =2 6. sin ∠CAD 3 2 在△BCD 中,∠BCD=30°,CD=6,∠BDC=15°, 所以∠CBD=135°. 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD 1 6? 2 CD?sin ∠BCD 所以 BD= = =3 2. sin ∠CBD 2 2 又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°, 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD +BD = ?
2 2

CD

AD

CD

BD

2 6?

2

+? 3 2?

2

= 42.

6 42 所以电线长度至少为 l=1.2?AB= (单位:km) 5 6 42 答:施工单位至少应该准备长度为 km 的电线. 5

1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上, 小山的高 BC 为 35 m, 在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发射塔

CD 的视角(∠CAD)为 45°,则这座电视发射塔的高度 CD 为________米.
解析:AB= 91 -35 =84, 5 1+ 12 BC 35 5 CD+35 tan∠ CAB = = = .由 =tan(45°+∠ CAB)= = AB 84 12 84 5 1- 12 17 ,得 CD=169. 7 答案:169 2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在 灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一 个生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,
12
2 2

这时它向右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x=________. 解析:∵由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°, ∴∠BAC=180°-75°-45°=60°, ∴

x 10 10 6 = .∴x= m. sin 45° sin 60° 3

10 6 答案: m 3 3.(2012?泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同 时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里的 C 处的乙船. (1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援, 其方向与 CA― →成 θ 角, f(x)=sin θ sin 求
2

x+

3 2 cos θ cos x(x∈R)的值域. 4 解:(1)连接 BC,由余弦定理得

BC2=202+102-2?20?10cos 120°=700.
∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. sin θ sin 120° (2)∵ = , 20 10 7 ∴sin θ = 3 . 7 4 . 7

∵θ 是锐角,∴cos θ =

f(x)=sin2θ sin x+
= 2 3 ? π? sin?x+ ?, 6? 7 ?

3 3 3 2 cos θ cos x= sin x+ cos x 4 7 7

? 2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- , ?. 7 ? ? 7

1.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定 方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙 船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问: 乙船每小时航行多少海里?
13

解:如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2,

A1A2=30 2? =10 2,
∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20, ∴∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理得

20 60

B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1?A1B2?cos 45° 2 1 2
=20 +(10 2) -2?20?10 2? ∴B1B2=10 2. 10 2 因此,乙船的速度为 ?60=30 20 2(海里/时).
2 2

2 =200, 2

2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 为 2π ,半径 OA 为 1 km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从 3 入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成,其 中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ . (1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长? 解:(1)在△OCD 中,由正弦定理,得

CD

sin ∠COD sin ∠DCO sin ∠CDO 所以 CD= 2 3 sin?



OD



CO



2 3



?2π -θ ? 3
2

?=cos θ + 1 sin θ ,OD= 2 sin θ , ? ? 3 3

因为 OD<OB,即

sin θ <1, 3

所以 sin θ <

3 π ,所以 0<θ < , 2 3 3 ? π? sin θ ,θ 的取值范围为?0, ?. 3? 3 ?

所以 CD=cos θ +

(2)设观光道路长度为 L(θ ), 则 L(θ )=BD+CD+弧 CA 的长
14

=1-

2 3

sin θ +cos θ + 1

1

sin θ +θ 3

=cos θ -

? π? sin θ +θ +1,θ ∈?0, ?, 3? ? 3
3 cos θ +1, 3

L′(θ )=-sin θ -

π? 3 ? 由 L′(θ )=0,得 sin?θ + ?= , 6? 2 ? π ? π? 又 θ ∈?0, ?,所以 θ = , 3? 6 ? 列表: θ

?0,π ? ? 6? ? ?
+ 增函数

π 6 0 极大值

?π ,π ? ?6 3? ? ?
- 减函数

L′(θ ) L(θ )

π π 所以当 θ = 时,L(θ )达到最大值,即当 θ = 时,观光道路最长. 6 6

15


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