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直线与圆的极坐标方程



1.3简单曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点 都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

探究:
如图,半径为a的

圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(?,?)满足 的条件?
O
C(a,0)

x

解:圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A,那么OA=2a, 设M ( ? , ? )为圆上除点O,A 以外的任意一点,那么 OM ? AM。在Rt?AMO 中 OM ? OA cos ?MOA即?=2a cos? .......... .(1) 可以验证,点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2
所以,等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( ? ,? ) 满足的条件,另一方面 ,可以验证,坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

?

极坐标方程:
一般地,在极坐标系中 ,如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( ? ,? ) ? 0 并且坐标适合方程 f ( ? , ? ) ? 0的点都在曲线 C上, 那么方程f ( ? ,? ) ? 0叫做曲线C的极坐标方程。

所以,? ? 2a cos?就是圆心在C (a,0)(a ? 0),半径 为a的圆的极坐标方程。

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的极坐 标系,可以使圆的极坐标方程简单?
M

?
O

?
r x

解:如果以圆心 O为极点,从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系(如 图),那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( ? ,? )为圆上任意一点,则 OM ? r ,即

?=r
显然,使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。

思考:已知一个圆的方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ? 求圆心坐标和半径。
解:?=5 3 cos ? ? 5sin ? 两边同乘以? 得

? =5 3? cos ?-5? sin ?即化为直角坐标为
2

5 3 2 5 2 x ? y ? 5 3 x ? 5 y  即( x ? ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ? ), 半径是5 2 2
2 2

你可以用极坐标方程直接来求吗?

解:原式可化为 3 1 ? ?=10(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 cos(? ? ) 2 2 6 所以圆心为(5, ? ), 半径为5 6

?

圆心为(a, ? )(a ? 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ?=2a cos(? ? ? ) 此圆过极点O

练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是 C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

解:原式可化为 3 1 ? ?=10(cos ? ? ? sin ? ? ) ? 10 cos(? ? ) 2 2 6 所以圆心为(5, ? ), 半径为5 6

?

圆心为(a, ? )(a ? 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ?=2a cos(? ? ? ) 此圆过极点O

练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是 C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

题组练习 1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为2;

?=2

(2)中心在C(a,0),半径为a;

?=2acos ? (3)中心在(a,?/2),半径为a; ?=2asin ?

(4)中心在C(?0,?0),半径为r。 ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?0)= r2

题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ?=4 sin ?化为直角坐标 方程是什么?

x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

2、极坐标方程分别是 ?=cos?和?=sin ?的两个 圆的圆心距是多少?
1 解:圆?=cos ?圆心的坐标是( , 0) 2 圆? ? sin ? ? cos( ? ? ) ? cos(? ? ) 2 2 1 ? 2 圆?=sin ?的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2

?

?

3、极坐标方程? ? cos( ? ? )所表示的 4 曲线是 ( D )
A、双曲线 C、抛物线 B、椭圆 D、圆

?

解:该方程可以化为 ?=cos(? ? ) 4 1 ? 1 以( , )为圆心, 为半径的圆。 2 4 2

?

解:?=cos? cos
2

?
4

? sin ? sin

?
4

2 2 ? ? ? cos? ? ? sin ?即 2 2 2 2 2 2 x ?y ? x? y?0 2 2 2 2 2 2 1 (x ? ) ? (y ? ) ? 4 4 4

4、圆?=10 cos( ? ? )的圆心坐标是 ( C ) 3 ? ? 2? C、 (5, ) (5,? ) A、 (5,0) B、 D、 (5, ) 3 3 3 ? 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 ? 解:?=4 cos(? ? ) ? 4sin ?
2 化为直角坐标系为? 2=4 ? sin ?
2 2 2 2

?

即x ? y ? 4 y   x ? ( y ? 2) ? 4

6、已知圆C1 : ? ? 2cos ? ,圆C2 : ? 2 ? 2 3? sin ? ? 2 ? 0, 试判断两圆的位置关系。
解:将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1,圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 ? 2所以两圆相外切。

7、从极点O作圆C:?=8cos ?的弦ON, 求ON的中点的轨迹方程。
解:如图,圆C的圆心(4, 0), 半径r ? OC ? 4, 连结CM , ? M 是弦ON的中点 ? CM ? ON , 所以,动点M 的轨迹方程是?=4 cos ?
O N
M

C(4,0)

练习 4 把极坐标方程?= 化为直角坐标方程。 2-cos?

解:方程可化为 2 ?-? cos? ? 4 即2 ?=4+x 两边平方得: 4 ? 2=( x ? 4) 2 4 x 2 ? 4 y 2 ? x 2 ? 8 x ? 16 3x ? 8 x ? 4 y ? 16
2 2

直线的极坐标方程

怎样求曲线的极坐标方程?

答:与直角坐标系里的情况一样,求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点P的坐标?与?之间的关系,然后列 出方程?(?,?)=0 ,再化简并讨论。

新课讲授 ? 例题1:求过极点,倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析: 如图,所求的射线 ? 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 ? / 4,其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? 0)
4

思考: 5? 1、求过极点,倾角为 的射线的极 4 坐标方程。
5 易得 ? ? ? ( ? ? 0) 4 ? 2、求过极点,倾角为 的直线的极 4

坐标方程。 ? 5 ? ? 或? ? ?
4 4

和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来,极坐标系里的 直线表示起来很不方便,要用两条射 线组合而成。原因在哪?

??0

为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
?? ?
4 ( ? ? R)



5 ? ? ? ( ? ? R) 4

例题2、求过点A(a,0)(a>0),且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解:如图,设点 M ( ? , ? ) M ? 为直线L上除点A外的任 意一点,连接OM ﹚? o A x 在 Rt ?MOA 中有

OM cos ?MOA ? OA 即 ? cos ? ? a 可以验证,点A的坐标也满足上式。

求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图; 2、设点 M ( ? , ? ) 是直线上任意一点; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ? ,? 的方 程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

练习:设点P的极坐标为A( a , 0) ,直 l 线 过点P且与极轴所成的角为? ,求直l 线 的极坐标方程。 M ? 解:如图,设点 M ( ? , ? ) ? ? ﹚ 为直线 l 上异于的点 o p x 连接OM, 在?MOA 中有
? a ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 即

? sin(? ? ? ) ? a sin ?

显然A点也满 足上方程。

例题3设点P的极坐标为( ?1 ,?1 ) ,直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ? ,求直线l 的极坐标方程。
? ?1 P

M

o

? ﹚ ? ﹚
1

x

解:如图,设点 M ( ? , ? ) 为直线上除 点P外的任意一点,连接OM 则 OM ? ? , ?xOM ? ? 由点P的极坐标知 OP ? ?1 ?xOP ? ?1
设直线L与极轴交于点A。则在?MOP

?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? (? ? ?1 )
由正弦定理 得
?1 ? ? sin[? ? (? ? ?1 )] sin(? ? ? )

显然点 P 的坐标 ? sin(? ? ? ) ? ?1 sin(? ? ?1 ) 也是它的解。

解:在直线l上任意取点M ( ? , ? ) ? A(2, ) 4 ? MH ? 2 ? sin

练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4 ?
A

?

?

(2, ) 4

M

?
?
? 2
?

4 O 在Rt ?OMH中, MH = OM sin ? ,

H

即? sin ? ? 2 所以,过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为? sin ? ? 2

?

2、求过A(?2,3)且斜率为 2的直线的极坐标方程。
解:由题意可知,在直 角坐标系内直线方程为 2x ? y ? 7 ? 0 设M ( ? ,? )为直线上的任意一点, 将x ? ? cos? , y ? ? sin ?代入直线方程 2 x ? y ? 7 ? 0得 2 ? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0这就是所求的极坐标方 程

1 3、极坐标方程 sin ? ? ( ? ? R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线

C、一条直线

D、一条射线

1 2 2 解:由已知sin ? ? 可得 cos? ? ? 3 3 2 y 2 所以得 tan? ? ? 即 ?? 4 x 4 两条直线l1 : 2 x ? 4 y ? 0, l2 : 2 x ? 4 y ? 0 所以是两条相交直线

4、直线? cos ? ? 2关于直线?= 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、? cos ? ? ?2, B、? sin ? ? 2 C、? sin ? ? ?2, D、?=2sin ?
解:此题可以变成求直 线x ? 2关于y ? x 的对称直线的问题 即y ? 2化为极坐标方程为 ? sin ? ? 2

?

5、在极坐标系中,已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C

?=12 ? sin(? ? ),则过圆心与极轴垂直 的
)

?

A、? sin ? ? 3 3B、? sin ? ? ?3 3 C、? cos? ? ?3D、? cos? ? 3

6、在极坐标系中,与圆 ?=4 sin ?相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、? sin ? ? 2, B、? cos? ? 2 C、? cos? ? 4, D、? cos? ? ?4

解:圆?=4 sin ?的化为直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0即x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x ? 2化为极坐标方程为 ? cos? ? 2

7、曲线?=0,?= ( ? ? 0)和?=4所围成的 3 面积 _________ .

?

解:由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8? 即S ? ? 4 ? 6 3
A

O

B

X

1.小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)怎样求曲线的极坐标方程 (3)圆的极坐标方程 2.直线的几种极坐标方程 1) 过极点 2) 过某个定点,且垂直于极轴 3) 过某个定点,且与极轴成一定 的角度



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