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§3.1.1数系的扩充和复数的概念


§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、学习目标
1.掌握复数及其相关概念,能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系。 2.理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及其相关概念。 学习难点:能区分虚数与纯虚数,明白各数系的关系。

二、导学过程 (一)情景引入
1. 提问:N、Z、Q、R 分别代表什么?它们是如何发展得来的? (让学生感受数系的发展与生活是密切相关的) 2.判断下列方程在实数集中的解的个数(引导学生 回顾根的个数与 ? 的关系) : (1) x 2 ? 3x ? 4 ? 0 (2) x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 (3) x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 (4) x 2 ? 1 ? 0 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释,不想得到“无解”的答案。 讨 论:若给方程 x 2 ? 1 ? 0 一个解 i ,则这个解 i 要满足什么条件? i 是否在实数集中? 实数 a 与 i 相乘、相加的结果应如何?
[来源:Z.xx.k.Com]

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(二)问题的提出
探究任务一:复数的定义 问题:方程 x 2 ? 1 ? 0 的解是什么? 为了解决此问题,我们定义 i ? i ? i 2 ? ?1 ,把新数添进实数集中去,得到一个新的数集,那 么此方程在这个数集中就有解为 . 新知:形如 a ? bi 的数叫做复数,通常记为 z ? a ? bi (复数的代数形式) ,其中 i 叫虚数 单位, a 叫实部, b 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 总结:形如 的数叫做复数,其中 和 都是实数,其中 叫做复数 z 的实部, _________叫做复数 z 的虚部. 对于复数 a ? bi(a, b ? R) 当且仅当 时,它是实数;当 时,它是虚数;当 时,它是纯虚数; 探究任务二:复数的相等 若两个复数 a ? bi 与 c ? di 的实部与虚部分别 ,即: , .则说这两个复 数相等. a ? bi = c ? di ? ; a ? bi =0 ? . 注意:两复数能否比较大小? 探究任务三:复数的代数形式 复数的代数形式中规定 a , b ? R , a , b 取何值时,它为实数、虚数、纯虚数? 定义: a ? bi,(b ? 0) 叫做 , 叫做纯虚数。

?实数 (b=0) ? 数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ? ※ 典型例题 例 1:下列数是否是复数,若是,试找出它们各自的实部和虚部。 2 ? 3i,8 ? 4i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 9i,7i,0

例 2:已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的实部、虚部分别是方 程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的 两根,试求: a , b, k 的值。 (讨论 3 ? (4 ? k )i 中,k 取何值时是实数?)

例 3 实数 m 取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

a2 ? 7a ? 6 试求实数 a 分别取什么值时, 分别为 (1) ? (a2 ? 5a ? 6)i(a ? R) , a2 ? 1 实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
变式: 已知复数 z ?

变式:设复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是( A. a ? 0 B. a ? 0 且 b ? 0 C. a ? 0 且 b ? 0 D. a ? 0 且 b ? 0



三、自主检测
1.如果复数 a ? bi 与 c ? di 的和是纯虚数,则有( ) A. b ? d ? 0 且 a ? c ? 0 B. b ? d ? 0 且 a ? c ? 0 C. a ? d ? 0 且 b ? d ? 0 D. b ? c ? 0 且 b ? d ? 0 2. 已知 i 是虚数单位,复数 Z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) ,当 m 取何实数时, z 是: (1)实数 (2) 虚数 3.课本 104 页练习 (3)纯虚数 (4)零

四、本节课的收获
本节课我们主要学习了 1. 复数的有关概念; 2. 两复数相等的充要条件; 3. 数集的扩充 : . 复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的 矛盾(数的运算规则、方程求根)对数学发展的推动作用,同时也体现了人类理性思维的作 用.

五、布置作业
课本 106 页 A 组 1、2、3


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