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2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法


名师一号 · 数学 · 新课标B版 · 必修1

第二章 函数

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第二章

函数

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§2 .4

函数与方程

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第二章

函数

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§ 2.4.2

求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

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第二章 §2.4 §2.4.2

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预习导航
(学生用书 P55)

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第二章 §2.4 §2.4.2

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1.如果函数 y=f(x)在一个区间[a,b]上的图像不间断, 并且它在两端点处的函数值异号,即 f(a)· f(b)<0,则这个函数 在这个区间上至少有一个零点,即存在 x0∈(a,b),使得 f(x0) =0,如果函数的图像穿过 x 轴,这样的零点称为________, 如果没有穿过 x 轴这样的零点称为________.

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第二章 §2.4 §2.4.2

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2.对于在区间[a,b]上连续不断,且满足 f(a)· f(b)<0 的 函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点近似值 的方法叫做________.

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第二章 §2.4 §2.4.2

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3.“二分法”求函数零点的一般步骤. 已知函数 y=f(x)定义在区间 D 上, 求它在 D 上的一个变 号零点 x0 的近似值 x,使它满足给定的精确度.下面我们分 步写出,用二分法求函数零点的一般步骤. (1) 在 D 内 取 一 个 闭 区 间 [a0 , b0] ? D , 使 f(a0) 与 f(b0)________,即________,零点位于区间[a0,b0]中.

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第二章 §2.4 §2.4.2

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(2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为 x0 = ________. 计算 f(x0)和 f(a0),并判断: ①如果________,则 x0 就是 f(x)的零点,计算终止;② 如果________,则零点位于区间[a0,x0]中,令 a1=a0,b1= x0;③如果________,则零点位于区间[x0,b0]中,令 a1=x0, b1=b0.

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(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的坐标为 x1 = ________. 计算 f(x1)和 f(a1),并判断: ①如果________,则 x1 就是 f(x)的零点,计算终止;② 如果________,则零点位于区间[a1,x1]上,令 a2=a1,b2= x1;③如果________,则零点位于区间[x1,b1]上,令 a2=x1, b2=b1. ??

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继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位 于区间[an, n]上, an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值 b 当 相同时,这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点,计 算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.

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答案 1.变号零点 不变号零点 2.二分法 3.(1)异号 f(a0)· 0)<0 f(b 1 (2) (a0+b0) ①f(x0)=0 ②f(a0)· 0)<0 f(x 2 ③f(a0)· 0)>0 f(x 1 (3) (a1+b1) ①f(x1)=0 ②f(a1)· 1)<0 f(x 2 ③f(a1)· 1)>0 f(x
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自测自评
(学生用书 P55)

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1.下列说法错误的是(

)

A.如果图像不间断的函数 f(x)满足 f(a)f(b)<0,则 f(x)在 区间[a,b]上至少存在一个零点 B. 连续不间断的函数的变号零点的近似值一般都可以用 “二分法”求 C.如果按照“二分法”的步骤进行反复计算,则计算次 数越多,所得零点就越精确 D.在用“二分法”求函数 f(x)变号零点近似值时,所取 的第一个区间[a,b]必须满足 f(a)<0 且 f(b)>0
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解析

利用二分法求函数零点时,第一个区间应满足

f(a)· f(b)<0,故 D 错.
答案 D

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2.(2011· 浙江温州市十校联合体高一期中考试)下列图像 表示的函数能用二分法求零点的是( )

解析

二分法适合用于变号零点.

答案 C

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3. 若函数 f(x)的图像连续不断, f(1)<0, f(3)· 且 f(2)· f(4)>0, 则下列命题正确的是( )

A.f(x)在(1,2)内有零点 B.f(x)在(2,4)内有零点 C.f(x)在(1,4)内有零点 D.f(x)在(3,4)内无零点

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解析 f(2)· f(4)>0,则 f(2)、f(3)、f(4)中有 1 个或 3 个 f(3)· 是大于 0 的,而 f(1)<0,故 f(x)在(1,4)内一定有零点.

答案 C

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4.在用“二分法”求函数 f(x)变号零点近似值时,所取 的第一个区间是[-2,6],则所取第三个区间可能是( A.[2,6] C.[-2,0]
解析

)

B.[-2,2] D.[0,4]

第二次所取区间为[-2,2]或[2,6],第三次所取区

间为[-2,0],[0,2],[2,4],[4,6]中之一.
答案 C

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名师讲解
(学生用书 P55)

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1.给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度. (2)求区间(a,b)的中点 x1. (3)计算 f(x1)的值,并判断 f(x1)的符号: ①若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点;②若 f(a)· 1)<0, f(x 则令 b=x1,此时零点 x0∈(a,x1);③若 f(x1)· f(b)<0,则令 a =x1,此时零点 x0∈(x1,b). (4)判断是否达到精确度,若满足精确度,则得到零点的 近似值,否则重复(2)~(4).
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第二章 §2.4 §2.4.2

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2.求函数的零点的近似值时,所要求的精确度不同,得 到的结果也不同.满足精确度是指在计算过程中得到某个区 间(a, b)后, a 和 b 按照给定的精确度所取的近似值相同时, 当 这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止, 这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.

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3.用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程 中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在 一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间.

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典例剖析
(学生用书 P56)

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例 1 函数 f(x)=x3+2x-6 在(-1,3)上的零点必在( A.(-1,0) C.(1,2) B.(2,3) D.(0,1)

)

剖析 按二分法的顺序计算 f(1),f(2),f(3)的值,然后判 断它的符号.

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解析 f(-1)=-9,f(3)=27,f(1)=-3,f(2)=6. ∵f(1)<0,f(2)>0, ∴f(x)的一个零点必在(1,2)内,故选 C.

答案 C

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规律技巧

用二分法求函数的近似值零点,每次都计算

区间端点的值,判断符号,确定新区间,然后再取中点再继 续下去.

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3 2 变式训练 1 函数 y= x- 的零点所在区间是( 4 3
? 1? ? A.?0,2? ? ? ? ?3 ? ? C.?4,1? ? ? ? ?1 3? B.?2,4? ? ? ? ? ? 5? ? D.?1,4? ? ? ?

)

解析

所取区间应满足区间端点函数值异号,经检验,

只有 C 正确.
答案 C

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例 2 求方程 x3-3x+1=0 在区间(1,2)内的根的近似值 (精确到 0.01).
解析 令 f(x)=x3-3x+1, f(x)在区间(1,2)上的图像是 则 一条连续不断的曲线. ∵f(1)=1-3+1=-1<0,f(2)=8-6+1=3>0, ∴f(1)· f(2)<0. ∴函数 f(x)在区间(1,2)内必有一零点.

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用二分法逐步计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 a0=1,b0=2 x0=(1+2)/2=1.5 x1=(1.5+2)/2=1.75 x2=(1.5+1.75)/2= 1.625 端点或中点的函数值 f(1)=-1,f(2)=3 f(1.5)=-0.125 f(1.75)=1.109375 f(1.625)=0.416016 定区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.5,1.625]

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端点或中点的横坐标 x3=(1.5+1.625)/2= 1.5625

端点或中点的函 数值 f(1.5625)= 0.127197

定区间

[1.5,1.5625] [1.53125, 1.5625] [1.53125, 1.546875]

x4=(1.5+1.5625)/2= f(1.53125)= 1.53125 x5=(1.53125+ 1.5625)/2=1.546875 -0.00339 f(1.546875)= 0.060772

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端点或中点的横坐标

端点或中点的函 数值

定区间 [1.53125, 1.5390625] [1.53125, 1.53515625]

x6=(1.53125+1.546875)/2= f(1.5390625)= 1.5390625 0.02841

x7=(1.53125+1.5390625)/2 f(1.53515625)= =1.53515625 0.012441

x8=(1.53125+1.53515625)/2 f(1.533203125)= [1.53125, =1.533203125 0.004509 1.533203125]

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由上表计算可知,区间[1.53125,1.533203125]的左右端点 精确到 0.01 所取的近似值都是 1.53,因此,1.53 就是 f(x)= x3-3x+1 的一个零点近似值.

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规律技巧 利用二分法计算到区间(a,b)时,若 a,b 按 所给精度取得的近似值相等,则这个相同的近似值就是所求 函数的零点,终止计算.

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变式训练 2 (2011· 四川雅安高一期末检测)已知函数 f(x) =ax3+2ax+3a-4 在区间(-1,1)内有零点. (1)求实数 a 的取值范围; 32 (2)若 a= ,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)内的 33 根(精确到 0.1).

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解析 (1)∵f(x)=ax3+2ax+3a-4 在 R 上是连续不断的 函数,且它在(-1,1)上存在零点,∴a≠0. 当 a>0 时,可证 f(x)在 R 上是增函数; 当 a<0 时,可证 f(x)在 R 上是减函数. ∴f(-1)· f(1)<0,即(-4)(6a-4)<0, 2 ∴a> . 3 故a
?2 ? ? 的取值范围为?3,+∞?. ? ? ?

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32 32 3 64 12 (2)当 a= 时,f(x)= x + x- . 33 33 33 11 20 ∵f(-1)=-4<0,f(1)= >0, 11 12 f(0)=- <0, 11 ∴由 f(0)· f(1)<0. ∴f(x)的零点在区间(0,1)内. ∵f(0.5)=0, ∴方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根为 x=0.5.

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例 3 如果在一个风雨交加的夜里查找线路, 从某水库闸 房到防洪指挥部的电话线路发生的故障.这是一条 10 km 长 的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个 爬一次电线杆子, km 长大约有 200 多根电线杆子, 10 想一想, 维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

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第二章 §2.4 §2.4.2

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解析 如图,首先从中点 C 查,用随身带的话机向两端 测试时,发现 AC 段正常,断定故障在 BC 段,再到 BC 段中 点 D,这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段,再到 CD 段 中点 E 来查.

每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算, 要把故障可能发生的范围缩小到 50 m~100 m 左右,即一两 根电线杆附近,只要 7 次就够了.
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规律技巧

这种检查线路故障的方法,就是二分法的应

用.二分法不仅可以用于查找线路电线、水管、气管故障, 还能用于实验设计、资料查询,还是求根的常用方法.

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技能演练
(学生用书 P57)

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