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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解



绝密 ★ 启用前 数 学(理工农医类)

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 (2)设集合 A={x| B.2 C.1 或 2 D.-1

/>
x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128

(4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x ? R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2

(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 192 256 C. D. 625 625

(6)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为

A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D.

10 5

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

(8)若实数 x、y 满足 A.(0,1)

?x ? y ? 1 ?
B. ? 0,1?

0, 则

y 的取值范围是 x
C.(1,+ ? ) D. ?1, ?? ?

(9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可 以为 A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

? 2

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

(11)又曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则 a 2 b2
B. ?1, 3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos ? (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin ?

( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是

.

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 (16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

.

a b

∈P(除

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F ? a ? b 2 a , b ? Q 也是数 域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;

?

?

③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直 角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 若不存在,请说明理由. (19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 2

?若存在, 求出

AQ QD

的值;

1 3 x ? x2 ? 2 . 3
2

(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 (an , an ?1 ? 2an ?1 ) (n∈N*)在函 数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的

数学期望 E ? . (21)(本小题满分 12 分) 如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动, B 值有 OA ? OB ? AB ,
2 2 2

求 a 的取值范围. (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 ? 0, ? ? (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切 n,不等式 an ?

an ? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an ? 2

(Ⅳ)求证:

a a ? ?a2 n ?1 ? a1 a1a3 ? ?? ?? 1 3 ? ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? ?a 2 n ?

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学(理工类)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为
2

A.1
2

B.2

C.1 或 2

D.-1

解:由 a ? 3a ? 2 ? 0 得 a ? 1或2 ,且 a ? 1 ? 0得a ? 1? a ? 2 (纯虚数一定要使虚部不为 0) (2)设集合 A ? {x |

x ? 0} , B ? {x | 0 ? x ? 3} ,那么“m ? A”是“m ? B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件 解:由

x ? 0 得 0 ? x ? 1 ,可知“ m ? A ”是“ m ? B ”的充分而不必要条件 x ?1

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 {an } 前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128

解:由 a1 ? 1, a5 ? 16 及{an}是公比为正数得公比 q ? 2 ,所以 S7 ? (4)函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1( x ? R) ,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为
3

1 ? 27 ? 127 1? 2

A.3

B.0
3

C.-1

D.-2

解: f ( x) ? 1 ? x ? sin x 为奇函数,又 f (a) ? 2 ? f (a) ? 1 ? 1 故 f (?a) ? 1 ? ?1 即 f (?a) ? 0 . (5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

C.

192 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 256 D. 625
2 2

96 4 2? 4? ?1? 解:独立重复实验 B (4, ) , P(k ? 2) ? C4 ? ? ? ? ? 625 5 ? 5? ?5?
(6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.

6 3

B.

2 6 5

D1 A1 B1

C1

D A B

C

C.

15 5

D.

10 5

解:连 A1C1 与 B1 D1 交与 O 点,再连 BO,则 ?OBC1 为 BC1 与平面 BB1D1D 所成角.

OC1 , OC1 ? 2 , BC1 ? 5 COS ?OBC1 ? BC1
2 ? C O S? O B C? 1 5 10 ? 5

D1 A1 D A B O B1

C1

C

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么 不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28
4

D.48

解:6 人中选 4 人的方案 C6 ? 15 种,没有女生的方案只有一种, 所以满足要求的方案总数有 14 种 (8)若实数 x、y 满足 ?

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 0



y 的取值范围是 x
D. ?1, ?? ?

A.(0,1)

B. ? 0,1?

C.(1,+ ? )

解:由已知 y ? x ? 1 ,

y x ?1 1 y ? ? 1 ? ,又 x ? 0 ,故 的取值范围是 (1, ??) x x x x
'

(9)函数 f ( x) ? cos x( x ? R) 的图象按向量 (m, 0) 平移后,得到函数 y ? ? f ( x) 的图象, 则 m 的值可以为 A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

? 2
? . 2
2

解: y ? ? f ?( x) ? sin x ,而 f ( x) ? cos x( x ? R) 的图象按向量 (m, 0) 平移后 得到 y ? cos( x ? m) ,所以 cos( x ? m) ? sin x ,故 m 可以为
2 2

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若 (a +c -b )tanB= A.

3ac ,则角 B 的值为

? 6
2 2

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

(a 2 +c 2 -b 2 ) 3 cos B 3 cos B = 解: 由 (a +c -b )tanB= 3ac 得 即 cos B = 2ac 2 sin B 2 sin B
2

? sin B =

3 ? 2? ,又在△中所以 B 为 或 2 3 3

(11)双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲 a 2 b2
B. ?1, 3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

线离心率的取值范围为 A.(1,3)

解: 如图, PF2 ? m ,?F1 PF2 ? ? (0 ? ? ? ? ) , P 在右顶点处 ? ? ? , 设 当

e?

m 2 ? (2m) 2 ? 4m 2 cos ? 2c ? ? 5 ? 4 cos ? 2a m

∵ ?1 ? cos? ? 1 ,∴ e ? ?1,3? 另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前 者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系。 (12) 已知函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 的导函数的图象如下图, 那么 y ? f ( x), y ? g ( x) 图象可能是

解:从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同,可以排除 B 答案,再者导函数的函数值反映 的是原函数增加的快慢,可明显看出 y ? f ( x) 的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢, 排除 AC,最后就只有答案 D 了,可以验证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)若 ( x ? 2) ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (用数字作答)
5 5 4 3 2

解:令 x ? 1得a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?1 ,令 x ? 0 得 x ? 0得a0 ? ?32 所以 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? 31 (14) 若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? 则实数 m 的取值范围是 解:圆心为 (1, ?2) ,要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径可得

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)没有公共点, ? y ? ?2 ? sin ?

d?

3 ? 1 ? 2 ? (?4) ? m 32 ? 42

? r ? 1 ,即 m ? 5 ? 5 , m? ?,0)(10,+?) (?

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 解:依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

2r ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 , S ? 4? r 2 ? 9?
(16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F ? a ? b 2 a , b ? Q 也是数域.有 下列命题: ①整数集是数域; ③数域必为无限集; 其中正确的命题的序号是 解:①对除法如 ②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域; ④存在无穷多个数域. .(把你认为正确的命题的序号填填上)

?

?

a b

∈P(除

②取 M ? a ? b 3 2 a , b ? Q ,对乘法 3 2 ?3 2 ?

?

1 ? Z 不满足,所以排除, 2

?

3

4 ? M , ③④的正确性容易推得。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

n 解:(Ⅰ) 由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ?
由 A 为锐角得 A ?

?
6

?

?
6

,A?

?
3

? 6

? 6

1 . 2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 cos A ?

1 , 2 1 2

3 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ? ? ?1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x) 的值域是 ? ?3, ? (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直 角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为

? ?

3? 2?

3 2



若存在,求出

AQ QD

的值;若不存在,请说明理由.

解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形,所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

PG 1 2 2 ? ? , ?PBO ? arctan . BC 2 2 2

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arctan

2 . 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x,则 S?DQC ?

3 . 2

1 x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2
2 2

在 Rt△POC 中, PC ? OC ? OP ? 所以 PC=CD=DP, S?PCD ?

2,

3 3 ?( 2) 2 ? , 4 2

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 解法二: (Ⅰ)同解法一.

AQ 1 ? . QD 3

OD OP (Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系
O-xyz,依题意,易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

???? ???? ??? ?

=(? 11, PB=(,1,1). ,0), 1? ? 所以 CD
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos

??? ?

??? ?

6 , 3 3 , 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 由(Ⅱ)知 CP ? (?1, 0,1), CD ? (?1,1, 0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

??? ?

??? ?

??? ? ?n? ? 0, ? ? x0 ? z0 ? 0, ? CP 则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y0 ? z0 , ? CD ? ? x 0 ? y0 ? 0, ?n? ? 0, ?
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).

?????? CQ?n ??? ? ?1 ? y 3 3 设 Q(0, y, 0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y, 0), 由 ,得 ? ? , n 2 2 3
解 y=-

1 5 1 3 或 y= (舍去),此时 AQ ? , QD ? , 2 2 2 2
AQ 1 ? . QD 3

所以存在点 Q 满足题意,此时

(19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2 . 3

2 (Ⅰ)设 an ? 是正数组成的数列,前 n 项和为 S n ,其中 a1 ? 3 .若点 (an , an ?1 ? 2an ?1 ) (n∈N*)

?

在函数 y ? f ( x) 的图象上,求证:点 (n, Sn ) 也在 y ? f ( x) 的图象上;
' '

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 (a ? 1, a) 内的极值. 解:(Ⅰ)证明: 因为 f ( x) ?
2 ?

1 3 x ? x 2 ? 2, 所以 f ' ( x) ? x 2 ? 2 x , 3
'
2 2

由点 (an , an ?1 ? 2an ?1 )(n ? N ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上, an ?1 ? 2an ?1 ? an ? 2an

(an?1 ? an )(an ?1 ? an ) ? 2(an ? an ?1 ) , 又 an ? 0(n ? N ? ),
所以 an ?1 ? an ? 2 , an ? 是 a1 ? 3, d ? 2 的等差数列 所以 Sn ? 3n ?

?

n(n ? 1) ? 2=n 2 ? 2n ,又因为 f ' (n) ? n2 ? 2n ,所以 Sn ? f ?(n) , 2
'

故点 (n, Sn ) 也在函数 y ? f ( x) 的图象上. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x ? 2 x ? x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 .
2

当 x 变化时, f ?( x) ﹑ f ( x) 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

注意到 (a ? 1) ? a ? 1 ? 2 ,从而 ①当 a ? 1 ? ?2 ? a, 即 ? 2 ? a ? ?1时,f ( x)的极大值为f (?2) ? ?

2 ,此时 f ( x) 无极小值; 3

②当 a ? 1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1时,f ( x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f ( x) 无极大值; ③当 a ? ?2或 ? 1 ? a ? 0或a ? 1时,f ( x) 既无极大值又无极小值.

(20)(本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的 数学期望 E ? . 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 ,“科目 A 补考合格”为事件 A2 ;“科目 B 第一次 考试合格”为事件 B1 ,“科目 B 补考合格”为事件 B2 (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1 ?B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3 1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )

2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9
P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3
P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )

1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 . 3
(21)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. a b
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,

因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ?

3 3 2b ? , 解得b= 3. MN , 1 ? 2 3 2

a 2 ? b2 ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),
2 2 2

因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入
2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
2 2

整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0, 所以 y1 ? y2 ? ?
2

2b 2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 ? 2 a 2 ? b2 m2 a ? b2 m2
2 2

因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角.

OB ? ( x1 , y1 )? x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立. ( 即 OA?
x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

??? ??? ? ?

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? 2 ?1 a 2 ? b2 m2 a ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?
又 a ? b m ? 0 ,所以 ?m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 m a b ? a ? b ? a b 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时, m a b 最小值为 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a ? b ? a b ? 0 , a ? b (a ? 1) ? b ,
2 2 2 2
2 2 2 4

因为∵ a ? 0, b ? 0,∴ a ? b ? a ? 1 ,即 a ? a ? 1 ? 0 ,
2 2

2

解得 a ?

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? (舍去),即 a ? , 2 2 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 ( (22)(本小题满分 14 分)

1? 5 , ??) . 2

已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x) 在区间 ? 0, n ? (n∈N*)上的最小值为 b n 令 an ? ln(1 ? n) ? bn ①如果对一切 n,不等式 an ?

an ? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an ? 2

②求证: 解:

a a ? ?a2 n ?1 ? a1 a1a3 ? ?? ?? 1 3 ? ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? ?a 2 n ?

(I)因为 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,所以函数定义域为 (?1, ??) ,且 f ( x) ?
'

1 ?x 。 ?1 ? 1? x 1? x

由 f ( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (?1,0) ;
'

由 f ( x) ? 0 <0 得 x ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为(0,+ ? ).
'

(II) 因为 f ( x) 在 [0, n] 上是减函数,所以 b n ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n 则 an ? ln(1 ? n) ? bn ? ln(1 ? n) ? ln(1 ? n) ? n ? n . ①

an ?2 ( an ?2 ? an ) ? n ? 2( n ? 2 ? n ) ? n ? 2
2 n?2 ? 1. n?2 ? n?2

2 n?2 ? n

>

又 lim n ? 2( n ? 2 ? n ) ? lim
x ??

2 2 1? 1? n?2

? 1,

因此 c ? 1 ,即实数 c 的取值范围是 (??,1] .
② 由① 知

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1

因为[

1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) 2 ] 2 ? 4 ? 6 ??? ? (2n)

?

1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? < , 2 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2n ? 1 1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? 1 < 2n ? 1 ? 2n ? 1 (n ? N*), < 2?4?6? (2n) ?? 2n ? 1

所以



1 1? 3 1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? < ? ?? ? 2 2?4 2?4?6? (2n) ??

3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2a ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? 1



a a ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ?? ? 1 3 < 2an ? 1 ? 1(n ? N * ) a2 a2 an a2 a4 ? a2 n



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