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高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题5 第17讲 圆锥曲线热点问题



第17讲

圆锥曲线热点问题

第17讲 圆锥曲线热点问题

第17讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

1.曲线与方程的概念 2.求曲线的方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系, 用有序实数对(x, y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={

M|P(M)}; (3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点.

第17讲│ 主干知识整合
3.求曲线方程的方法 求曲线方程的方法, 除了直接法、 定义法和待定系数法 外,最为常见的就是代入法、参数法和交轨法. (1)代入法:当形成曲线的动点 P(x,y),随着另一个在 已知曲线 f(x,y)=0 上的动点 Q(x0,y0)有规律的运动时, 利用这种规律就能得到 x0=φ(x,y),y0=φ(x,y),而 x0, y0 满足 f(x0,y0)=0,将 x0=φ(x,y),y0=φ(x,y)代入就可 得到动点 P(x,y)所形成的曲线的方程.

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(2)参数法: 当很难找到形成曲线的动点 P(x, y)的坐标 x, y 所满足的关系式时,借助第三个变量 t,建立 t 和 x,t 和 y 的关系式 x=φ(t),y=φ(t),再通过一些条件消掉 t 就间接地 找到了 x 和 y 所满足的方程,从而求出动点 P(x,y)所形成的 曲线的普通方程. (3)交轨法:有些情况下,所求的曲线是由两条动直线的 交点 P(x,y)所形成的,既然是动直线,那么这两条直线的方 程就必然含有变动的参数,通过解两直线方程所组成的方程 组,就能将交点 P(x,y)的坐标用这些参数表达出来,也就求 出了动点 P(x,y)所形成的曲线的参数方程, 消掉参数就得到 了动点 P(x,y)所形成的曲线的普通方程.

第17讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 轨迹问题
例 1[2011· 安徽卷]设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 → → 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交 y=x2 上运动, Q 满足BQ=λQA, 点 → → 抛物线于点 M,点 P 满足QM=λMP,求点 P 的轨迹方程.

图 17-1

【分析】 本题考查直线和抛物线的方程, 平面向量的概念、 性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识 探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养.

第17讲 │ 要点热点探究
→ → 【解答】 由QM=λMP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2), 则 x2-y0=λ(y-x2), 即 y0=(1+λ)x2-λy.① → → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得 ?x1=?1+λ?x-λ, ? ② y1=?1+λ?y0-λ. ? 将①式代入②式,消去 y0,得 ?x1=?1+λ?x-λ, ? ③ y1=?1+λ? 2x2-λ?1+λ?y-λ. ? 又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x2, 1

第17讲 │ 要点热点探究
再将③式代入 y1=x2,得 1 2 2 (1+λ) x -λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2, (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2, 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1.

第17讲│ 要点热点探究
[2011· 天津卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分别为 2 2 x y 椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. a b (1)求椭圆的离心率 e; → BM → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM· =-2, 求点 M 的轨迹方程.

【解答】 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). 由题意,可得|PF2|=|F1F2|, ?c ? c 2 2 即 ?a-c? +b =2c.整理得 2? ?2+ -1=0. ? ? a ?a ? c c 1 1 得 =-1(舍),或 = .所以 e= . 2 a a 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c.可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 方程为 y= 3(x-c). ?3x2+4y2=12c2, A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?.

第17讲 │ 要点热点探究
8 消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0.解得 x1=0,x2= c, 5 ?x2=8c, ? 5 ?x1=0, 得方程组的解? ? ?y1=- 3c, ?y = 3 3c. ?2 5
? 3 3 ? ?8 ? 不妨设 A? c, c? ,B(0,- 3c).设点 5 ? ?5 ? ? → =?x-8c,y-3 3c? ,BM=?x,y+ → 则AM ? ? ? 5 5 ? ?

M 的坐标为(x,y), 3c ?. ?

3 y. 3 ? ? → =?8 3y-3x,8y-3 3x ? ,BM=(x, 3x). → 于是AM ? ? 5 5 5 ? ? 15 ? ? ? ? → · =-2,即?8 3y-3x ?· ?8y-3 3x ?· 3x=-2, → 由AM BM x+ ? ? 5 ? 5 ? ? 15 ? ?5 ? 2 化简得 18x -16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0.所以 x>0. 3 16x 16 3x 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). 由 y= 3(x-c),得 c=x-

第17讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 定点、定值

x2 y2 1 例 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1 经过点(0, 3),离心率为 ,直线 a b 2 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为点 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA=λAF,MB=μBF,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 λ+μ 的值是否为定值?若是,求出 λ+μ 的 值;否则,说明理由; (3)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是, 请求出定点的坐标, 并给予证明; 否则, 说明理由.

第17讲 │ 要点热点探究

【分析】 (1)待定系数;(2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代 入椭圆方程消 y 后可得点 A,B 的横坐标的关系式,然后根据向量 → → → → 关系式MA=λAF,MB=μBF把 λ,μ 用点 A,B 的横坐标表示出 来,只要证明 λ+μ 的值与直线的斜率 k 无关即证明了其为定值, 否则就不是定值;(3)先根据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况, 看两条直线 AE,BD 的交点坐标,如果直线 AE,BD 相交于定点 的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,这样只要证明直线 AE,BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点,否则两直 线就不相交于定点.

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c 1 【解答】 (1)依题意得 b= 3,e= = ,a2=b2+c2, a 2 x2 y2 ∴a=2,c=1,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为:y=k(x-1),求得 l 与 y 轴 交于 M(0,-k),又 F 坐标为(1,0),设 l 交椭圆于 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=k?x-1?, ? 由?x2 y2 消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, ? 4 + 3 =1 ? 4k2-12 8k2 ∴x1+x2= ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2 x1 x2 → → 又由MA=λAF,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),∴λ= ,同理 μ= , 1-x1 1-x2 2?4k2-12? 8k2 - x1+x2-2x1x2 3+4k2 3+4k2 x1 x2 8 ∴λ+μ= + = = =- . 3 1-x1 1-x2 1-?x1+x2?+x1x2 4k2-12 8k2 1- + 3+4k2 3+4k2 8 所以当直线 l 的倾斜角变化时,直线 λ+μ 的值为定值- . 3

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(3)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称
? 5 ,0? , 性知,AE 与 BD 相交于 FK 的中点 2 ? 猜想:当直线 l 的倾斜角变化时,AE 与 BD 相交 ?5 ? 于定点 N?2,0?, ? ? 证明:由(2)知 A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1), E(4,y2), ? N? ? ?

当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE

?5 ? 过定点?2,0?, ? ?

第17讲 │ 要点热点探究
y2-y1 ∵lAE:y-y2= (x-4), 4-x1 y2-y1 3 5 当 x= 时,y=y2+ · - 2 4-x1 2 2?4-x1?·2-3?y2-y1? y = 2?4-x1? 2?4-x1?· 2-1?-3k?x2-x1? k?x = 2?4-x1? -8k-2kx1x2+5k?x1+x2? = 2?4-x1? -8k?3+4k2?-2k?4k2-12?+5k· 2 8k = =0. 2?4-x1?· ?3+4k2? ? ? ? 5 ? 5 ? ,0? 在直线 lAE 上.同理可证,点 N? ,0? 也在直线 lBD 上. ∴点 N ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 5 ∴当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点? 2,0? . ? ? ?

第17讲 │ 要点热点探究
x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2 =1(a>b>0)的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F1、 2, F 2 a b 点 P(2, 3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾 斜角分别为 α,β,且 α+β=π,试问直线 l 是否过定点?若过,求该定点的坐 标.

c 2 2 ,得 = ,其中 c= a2-b2, 2 a 2 椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0). 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, ∴|F1F2|=|PF2|,∴(2c)2=( 3)2+(2-c)2, 解得 c=1,∴a2=2,b2=1, x2 2 ∴椭圆的方程为 +y =1. 2 【解答】 (1)由椭圆 C 的离心率 e=

第17讲 │ 要点热点探究
(2)由题意直线 MN 的方程为 y=kx+m, ?x2 2 ? +y =1, 由? 2 消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. ?y=kx+m ? 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 2m2-2 kx1+m kx2+m 4km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,且 kF2M= ,kF2N= , 2k +1 2k +1 x1-1 x2-1 由已知 α+β=π 得 kF1M+kF2N=0, kx1+m kx2+m 即 + =0. x1-1 x2-1 化简,得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km?m-k? ∴2k· 2 - -2m=0,整理得 m=-2k. 2k +1 2k2+1 ∴直线 MN 的方程为 y=k(x-2), 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0).

第17讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 参数的范围问题与最值问题

例 3 已知点 P(4,4), C: 圆 (x-m)2+y2=5(m<3)与椭圆 E: x2 y2 + =1(a>b>0)有一个公共点 A(3,1), 1、 2 分别是椭圆的左、 F F a2 b2 右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; → AQ → (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求AP· 的取值范围.

图 17-2

第17讲│ 要点热点探究
【解答】 (1)点 A 坐标代入圆 C 方程,得(3-m)2+1=5. ∵m<3,∴m=1. 圆 C:(x-1)2+y2=5. 设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1:y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4=0. |k-0-4k+4| ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴ = 5. k2+1 11 1 解得 k= ,或 k= . 2 2 11 36 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意舍去. 2 11 1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2 ∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0).2a=AF1+AF2=5 2+ 2=6 2,a=3 2,a2=18,b2=2. x2 y2 椭圆 E 的方程为 + =1. 18 2

第17讲│ 要点热点探究

→ → (2)AP=(1,3),设 Q(x,y),AQ=(x-3,y-1), → AQ → AP· =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6. x2 y 2 ∵ + =1,即 x2+(3y)2=18, 18 2 而 x2+(3y)2≥2|x|· |3y|,∴-18≤6xy≤18. 则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy 的取值范围是[0,36]. x+3y 的取值范围是[-6,6]. → AQ → ∴AP· =x+3y-6 的取值范围是[-12,0].

第17讲│ 要点热点探究
x2 2 例 4 [2011· 北京卷] 已知椭圆 G: +y =1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交 4 椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

【解答】 (1)由已知得 a=2,b=1. 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). c 3 离心率为 e= = . a 2 (2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B
? 的坐标分别为?1, ? ?

3? ? 3? ? ? ? , ? ,?1,- 2? ? 2 ? ?

此时|AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可知|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m),

第17讲│ 要点热点探究
?y=k?x-m?, ? 由?x2 2 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. ? 4 +y =1 ? 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 4k2m2-4 8k2m 则 x1+x2= ,x1x2= , 1+4k2 1+4k2 |km| 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 2 =1,即 m2k2=k2+1, k +1 所以|AB|= ?x2-x1? 2+?y2-y1? 2= ?1+k2?[?x1+x2? 2-4x1x2] 4 2 4?4k2m2-4? ? 4 3|m| 2 ? 64k m = ?1+k ?? ?= . 2 2- 1+4k2 ? m2+3 ??1+4k ? 由于当 m=± 时,|AB|= 3. 1 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1 ]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 4 3 因为|AB|= 2 = ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2. 3 m +3 |m|+ |m| 所以|AB|的最大值为 2.

第17讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

1.求曲线方程的基本方法有直接法,定义法(或者待定系 数法),代入法,参数法. 2.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问 题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例 关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的 量.

第17讲 │ 规律技巧提炼
3.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函 数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因 此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立 目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这 个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、 直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.

第17讲 │ 教师备用例题
教师备用例题

备选理由:圆锥曲线热点问题主要是定点、定值、最值和范 围问题,高考中解析几何的难题也大多是这几种情况,本讲的目 的就是在这几个点上有所突破,下面的例题可以与[要点热点探究] 例题配合使用.本例题突出了直线与椭圆方程联立后消元的方向, 使得问题得到简化.

第17讲 │ 教师备用例题
x2 y2 3 例 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0,1),离心率 e= . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上任取不同两点 A,B,点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,当 A,B 变化时,如果直线 AB 经过 x 轴上的定点(1,0),问直 线 A′B 是否也经过 x 轴上的一个定点?若是,求出这个定点的坐 标;若不是,说明理由.

第17讲 │ 教师备用例题
?b=1, ?c 3 (1)依题意可得? = , a 2 ?2 2 2 ?a =b +c ,

【解答】

解得 a=2,b=1.

x2 2 所以椭圆 C 的方程是 +y =1. 4
2 ?x ? +y2=1, (2)设直线 AB:x=my+1,由? 4 ?x=my+1, ? 2 2 2 得(my+1) +4y =4,即(m +4)y2+2my-3=0.

2m 3 ,y1y2=- 2 , 2 m +4 m +4 ?8 3? 3 ? 特别地,令 y1=-1,则 x1=0,m=1,y2= ,此时 A′(0,1),B?5,5?,直线 A′B: ? 5 ? ? x+4y-4=0 与 x 轴的交点为 S(4,0),若直线 A′B 与 x 轴交于一个定点,则定点只能为 S(4,0). 记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A′(x1,-y1),且 y1+y2=-

第17讲 │ 教师备用例题

以下证明对于任意的 m,直线 A′B 与 x 轴交于定点 S(4,0). 事实上,当 m≠0 时,经过点 A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直线方程为 令 y=0,得 x= y+y1 x-x1 = . y2+y1 x2-x1

x2-x1 x2-x1 m?y2-y1?y1 y1+x1.只需证明 y1+x1=4,即证 +my1-3=0, y2+y1 y2+y1 y2+y1 即证 2my1y2-3(y1+y2)=0. -6m -6m 因为 2my1y2-3(y1+y2)= 2 - =0, m +4 m2+4 所以 2my1y2-3(y1+y2)=0 成立. 当 m=0 时,直线 AB:x=1,此时 A′,B 重合,经过 A′,B 的直线有无数条, 当然可以有一条经过点 S(4,0)的直线. 当直线 AB 为 x 轴时,直线 A′B 就是直线 AB,即 x 轴,这条直线也经过点 S(4,0). 综上所述,点 A,B 不论如何变化,直线 A′B 与 x 轴交于点 S(4,0).



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