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江西省上高县第二中学届高三数学第九次月考试题 文-课件



2016 届高三年级第九次月考数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {0,1}, B ? {y x2 ? y2 ? 1, x ? A}, 则( A. A ? B C. B ? A B. A ? B
3



D. A ? B ? ? 是( ) D. ? 1 ? i

?1 ? i ? 2.设 i 是虚数单位,则 2 ?1 ? i ?
A. 1 ? i B. ? 1 ? i

C. 1 ? i

3.设命题 p 和 q ,在下列结论中,正确的是( ) ① " p ? q" 为真是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ② " p ? q" 为假是 " p ? q" 为真的充分不必要条件; ③ " p ? q" 为真是 " ? p" 为假的必要不充分条件; ④ " ? p" 为真是 " p ? q" 为假的必要不充分条件. A. ①② B. ②④ C.①③ D. ③④ 4.已知数列 ?ln an ?是等差数列,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 S 3 ? a2 ? 5a1 , A.

a7 ? 2 ,则 a5 ? ( )
1 2
C. 2 D. ? 2

1 2

B. ?

5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的结果为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6.已知 tan?? ? ? ? ? A、

13 18

cos ? ? sin ? 2 ?? 1 ? 的值为 , tan? ? ? ? ? , 则 cos ? ? sin ? 5 4? 4 ? 1 13 3 B、 C、 D、 6 22 22






7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

16 A. 3

32 B. 3

C.16

D.32

8. 已知点 P 是抛物线 x ?

1 2 y 上的一个动点, 则点 P 到点 A(0, 2) 4
) D. 5 ? 1

的距离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为( A.2 B.1 C. 5

? y?x ? 9.已知 m>1,在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z=x+my 的最大 ?x ? y ? 1 ?
值小于 2,则 m 的取值范围为( A. (1, 1 ? 2 ) ) C. (1, 3) D. (3 , ? ?) B. (1 ? 2 , ? ?)

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 ,a3 ,a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3


1

A.3

B.4

C. 2 3 ? 2

D.

9 2

11.已知双曲线以锐角△ABC 的顶点 B、C 为焦点,经过点 A,若△ABC 内角的对边分别为 a、b、c,且 a=2,

c sin A 3 ,则此双曲线的离心率为( ) ? a 2 3? 7 3? 7 A. B. C. 3 ? 7 2 2 2 12.关于函数 f ? x ? ? ? ln x ,下列说法错误 的是( ) .. x
b=3,
A. x ? 2 是 f ? x ? 的极小值点 B.函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点 C.存在正实数 k ,使得 f ? x ? ? kx 恒成立

D.

3? 7

D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知平面向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 5 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的正切值为___________. 14.点 P( x, y)是圆x 2 ? ( y ?1) 2 ? 1 内部的点,则 y ? x 的概率__________. 15.在一组样本数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),L ,( x6 , y6 ) 的散点图中,若所有样本点 ( xi , yi )
6 6 6 1 (i ? 1, 2,L ,6) 都在曲线 y ? bx 2 ? 附近波动.经计算 ? xi ? 11 , ? yi ? 13 , ? xi2 ? 21 ,则实数 b 的 3 i ?1 i ?1 i ?1

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

值为


2

16.已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax ? ? a ? 2? x ? 1相切,则 a= 三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17、 (本小题满分 12 分)

在 △ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已 知 m ? s i C n , b2 ? a 2 ? c 2

n ? 2 sin A ? sin C, c 2 ? a 2 ? b 2 且 m // n ;
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

?

?

?

?,

18. (本小题满分 12 分) 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽 取部分学生的分数(满分为 100 分,得分取正整数,抽取学生的分数均在 ?50,100? 之内)作为样本(样本 容量为 n)进行统计.按照 [50, 60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , ?90,100? 的分组作出频率分布直方 图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 [50,60) , ?90,100? 的数据) .

2

频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)求样本 容量 n 和频 率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省级学科基础 知识竞赛”,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率.

A1
19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1 B ? B1 A ? AB ? BC ? 2 ,

B1

C1

?B1 BC ? 90? , D 为 AC 的中点, AB ? B1 D .
(Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BB1 D 的体积.

A

D
B
C

20. (本题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 a 2 b2 l 与椭圆 C 相交于 E、 F 两点, ?EFF1 的周长为 8,且椭圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 相切。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A 为椭圆的右顶点,直线 AE,AF 分别交直线 x ? 4 于点 M ,N ,线段 MN 的中点为 P ,记直 线 PF2 的斜率为 k ? ,求证 k ? k ? 为定值.
已知 F1, F2 为椭圆 C : 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2ax2 ? (a ? 4) x ? ln x . (1)若 f ( x) 在 x ?

1 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; 4

(2)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x 0 , 求证: f ?( x0 ) ? 0 . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,AB 是圆 O 的直径,C、F 是圆 O 上的两点,OC⊥AB, 过点 F 作圆 O 的切线 FD 交 AB 于点 D. 连接 CF 交 AB 于点 E.
3

(1)求证:DF=DE; (2)若 DB=2,DF=4,求圆 O 的面积. 23.(本小题满 分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两坐标系中取相同 的单位长度, 已知曲线 C 的方程为 ? ?
2

3 ? ,点 A( 2 3 , ) . 2 1 ? 2 sin ? 6

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和点 A 的直角坐标; (2)设 B 为曲线 C 上一动点,以 AB 为对角线的矩形 BEAF 的一边平行于极轴, 求矩形 BEAF 周长的最小值及此时点 B 的直角坐标. 24. (本题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? x ? 2 (1)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 (2)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? f (2a) ? af ( x)

4

2016 届高三年级第九次月考数学(文科)试卷答案 题号 答案 13、 3 17、 解: (1) 1 B 2 B 3 C 14、 4 A 5 C 6 D 7 A 15、 5 8 D 9 A 16、8 10 B 11 D 12 C

3? ? 2 4?

7

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B ,??1 分 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C 因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , ??2 分 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A ,??4 分 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π ;??6 分 2 3 (Ⅱ) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) ??7 分 2 4 2 ? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ??8 分 ? 4 2 4 2? 3 ? ?

?

?

??9 分 ? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3 因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π ,故 π ? 2 A ? π ? 5π ,??10 分 3 3 3 3 3 因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 ,所以 3 ? T ≤ 9 ??12 分 2 4 3 2

?

?

?

?

?

?

18. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 ? 50 , ??2 分 0.016 ? 10

2 ? 0.004 , ??4 分 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ??6 分 (Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分数在 [90,100] 内 y?
的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 ,抽取 2 名学生的所有情况有 21 种,分别 为: ? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1, a5 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ? a2 , a5 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? ,

? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ?a5 , b1 ? , ?a5 , b2 ?, ?b1, b2 ? .
??10 分

??8 分

其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? 19. 解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连结 OD , OB1 . 因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 , 所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .?3 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC , 所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B , 所以 OD ? 平面 ABB1 A1 .又 OD ? 平面 ABC , 所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . O

10 .??12 分 21
A1

B1

C1

A

D
C

B 分 ??????6

(Ⅱ)三棱锥 C ? BB1 D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积 由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ,平 面 ABC ? 平面 ABB 1A 1 ? AB ,

OB1 ? AB ,

OB1 ? 平面 ABB1 A1
5

所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD , ??????????9 分 B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离, B1O ? 3 1 S ?BCD ? S ?ABC ? 1 ?????????? 11 分 2 1 3 所以 VC ? BB1D ? VB1 ? BCD ? ? 1 ? 3 ? ?????????? 12 分 3 3 20. 解: (Ⅰ)由题意得?焦点?EFF 的周长为8,?4a ? 8,?a2 ? 4且b2 ? 3 ???3 分 1

x2 y2 ? ? 1 . ???????? 4 分 4 3 (Ⅱ)设过点 F2 ?1,0? 的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,
所求椭圆 C 的方程为 设点 E ( x1 , y1 ) ,点 F ( x2 , y 2 ) 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C : ???5 分

x2 y2 ? ?1 4 3 整理得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ??? 6 分 因为点 F2 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ? 0 恒成立,
且 x1 ? x 2 ?

8k 2 4k 2 ? 3

x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 4k 2 ? 3

???7 分

直线 AE 的方程为: y ? 令 x ? 4 ,得点 M ? 4,

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 AF 的方程为: y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2

? ?

? 2 y2 ? 2 y1 ? ? , N ? 4, ?, x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?
??? 8 分

所以点 P 的坐标 ? 4,

? ?

y1 y2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ?

y1 y ? 2 ?0 x ? 2 x2 ? 2 y 1 y 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 1 ? ( 1 ? 2 ) 4 ?1 3 x1 ? 2 x2 ? 2 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? ? ??? 10 分 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 3 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 代入上式得: 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 12 8k 2 2k ? 2 ? 3k ? 2 ? 4k 1 1 4 k ? 3 4 k ? 3 k'? ? ?? 2 2 4k ? 12 8k 3 k ?2 2 ?4 2 4k ? 3 4k ? 3 k ? k ' ? 1 所以 为定值 . ??????????????12 分 4ax2 ? (a ? 4) x ? 1 ? f ( x ) ? 21. 解: (1)由题知 f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 . x 1 又∵ f ( x) 的图象在 x ? 处的切线与直线 4 x ? y ? 0 平行, 4 1 1 1 ? (a ? 4) ? ? 1] ? ?4. 解得 a ? ?6. ???3 分 ∴ f ?( ) ? ?4 ,即 4[4a ? 4 16 4
将 x1 ? x 2 ? (2) f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 (4 x ? 1)( ax ? 1) 4x ? 1 ? ,由 x ? 0 ,知 >0. x x x
6

①当 a ? 0 时,对任意 x ? 0, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增。 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? , 当0? x??

1 a

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , a a

此时, f ( x) 的单 调递增区间为 (0,? ) ,递减区间为 ( ?

1 a

1 ,?? ). ?? 7 分 a

(3)不妨设 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且 0 ? x1 ? x2 ,由(2)知 a ? 0 ,则

x1 ? x2 1 ?? . 2 a ∵ f ( x1 ) ? 2ax12 ? ? a ? 4? x1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? 2ax22 ? ? a ? 4? x2 ? ln x2 ? 0 ,
要证 f ?( x) ? 0 成立,只需证: x0 ? ? 即

1 a

两式相减得: 2ax12 ? (a ? 4) x1 ? ln x1 ? 2ax22 ? (a ? 4) x2 ? ln x2 ? 0 , 即 a(2 x12 ? 2 x22 ? x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 , ∴ ?

即证明 ( x1 ? x2 )[4 ? x1 ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ?] ? 4x12 ? 2x1 ? 4x2 2 ? 2x2 , 即证明 ln x1 ? ln x2 ?

2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 x ? x2 2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 1 ,故只需证 1 , ? ? a 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2 2 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2

2 x1 ? 2 x2 x ,变形为 ln 1 ? x1 ? x2 x2

2?

x1 ?2 x2 , x1 ?1 x2

x1 (t ? 1)2 1 4 2t ? 2 (0 ? t ? 1) ,令 g (t ) ? ln t ? ? ,则 g ?(t ) ? ? , x2 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 t ?1 显然当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,当且仅当 t ? 1 时, g ?(t ) =0,
设t ? ∴ g (t ) 在 (0,??) 上是增函数. 又∵ g (1) ? 0 , ∴ 当 t ? (0,1) 时, g (t ) ? 0 总成立,命题得证.??????? 12 分 22、解:略 23、解: (Ⅰ)由 x ? ? cos?,y ? ? sin ? ,

x2 ? y 2 ? 1 ,点 A 的直角坐标为 (3, 3) .???(4 分) 3 ? x ? 3 cos ?, ? (Ⅱ)曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数, ? ? [0,2π)) , ? ? y ? sin ?,

∴曲线 C 的直角坐标方程为

sin ? ) , ∴设 B( 3 cos?,
依题意可得 | BE |? 3 ? 3 cos?, | BF |? 3 ? sin ? , ?????????????(6 分) 矩形 BEAF 的周长 ? 2 | BE | ?2 | BF |? 6 ? 2 3 ? 2 3 cos ? ? 2sin ?
π? ? ? 6 ? 2 3 ? 4sin ? ? ? ? , ??????????????????(8 分) 3? ? π 当 ? ? 时,周长的最小值为 2 ? 2 3 , 6 ?3 1? 此时,点 B 的直角坐标为 ? , ? .???????????????????(10 分) ?2 2? 24、解: (I)由题意 ,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,

因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ----- ---------------------------------1 分

1 ? x ? 1 ;------- ---------------------2 分 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;-----------------------------3 分
当 x≤1 时 ,原不式等价于-2x+3≤ 2,即
7

当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? 综上,原不等式的解集为 {x

5 .------------------------------4 分 2

1 5 ? x ? } . ----------------------------------5 分 2 2 (II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 -----------------------------6 分

? ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax --------------8 分 ? 2a ? 2 ? f (2a) -------------------------------------9 分
所以 f (ax) ? f (2a) ? af ( x) 成立.----------------10 分

8



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