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高二数学周末测试(9)


高二数学周末测试(9)
班级________姓名________________座号_________成绩__________________ 一、选择题:
1.已知全集 U=R,集合 A ? {x / | x ? 1|? 1} , B ? {x A.(0,1) B. [0,1) C.(1, 2)

1? x ? 0} ,则 A∩(?U B)=( x
D. (0,2) ) D.56 )

)

2. 设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13, 则数列 {an } 前 8 项和为( A.128 3.已知函数 f ?x ? ? ? A. B.80 C.64

?2 x ? 2, x ? 1, 则函数 f ( x) 的零点为( 2 ? log x , x ? 1 , 2 ?
B. ? 4 和 0 C.

1 和1 4

1 4

D. 1

4.给出下列三个结论: (1)若命题 p 为假命题,命题 ?q 为假命题,则命题“ p ? q ”为假命题; (2)命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”; (3)命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2 ? 0 ”.则以上结论正确的个数为(
x x

)

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

5.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? ? 的最小正周期是 ? ,若其图象向右平移 6 个单位后 2?
)

得到的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图象( A.关于点 ? C.关于点 (

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

?
12

对称

?
6

,0) 对称

?
6

对称

0 6. 已 知 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 120 , 且 AB ? 2, AC ? 3 , 若 AP ? ? AB ? AC ,

且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为( A.

) C. 6 D.

3 7

B. 13

12 7

二、填空题: 7.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名 学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据频率分布直方图推测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________.

(第 7 题)

(第 8 题)

8.某几何体的三视图如图,则它的体积是________.

9. 已知集合 A={x|x2-2x-3>0 },B={x|ax2+bx+c≤0},若 A∩B={x|3<x≤4},
A∪B=R,则

b2 a ? 的最小值为____ a c2
2 2

10. 请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 a1 ? a2 ? 1 ,那么 a1 ? a2 ? 2 . 证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a2 ) ? 2x ? 2(a1 ? a2 ) x ? 1,因为对一切实数 x,
2 2 2

恒有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,从而得 4(a1 ? a2 ) 2 ? 8 ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? 2 .
2 2 2 根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 a1 ? a2 ? ??? an ? 1 时,你能得到的结论

为 三、解答题:

.(不必证明)

11.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 cos ⑴ 求 f ( x) 的最小正周期; ⑵ 设 ? 、 ? ? (0 ,

x x x ( 3 sin ? cos ) ? 1 , x ? R . 2 2 2

?
2

) , f (? ) ? 2 , f ( ? ) ?

8 ,求 f (? ? ? ) 的值. 5

12. (本小题满分 14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 平面 ABCD ,?BAD ?

?
3



AD ? 2 .
(1) 求证:平面 FCB∥平面 AED ; (2) 若二面角 A ? EF ? C 为直二面角,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦值.

13.(本小题满分 14 分) 如图(7)所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆 E 上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心 O, 且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在椭圆 E 上是否存点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ? 若存在,有几个(不必求出 Q 点的坐标),若不存在,请说明理由. (3)过椭圆 E 上异于其顶点的任一点 P,作

O : x2 ? y 2 ?

4 的两条 3
1 1 ? 2为 2 3m n

切线,切点分别为 M、N,若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m、n,证明: 定值.

14.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

a ? ln x x

?a ? R ? .

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程; (2)求 f ( x) 的极值; (3) 若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点, 求实数 a 的取值 范围.

蕉岭中学 2013-2014 学年第二学期高二数学周末测试 (9)
一.选择题:每小题 5 分,共 40 分. 序号 答案 1 A 2 C 3 D 4 c 5 B 6 D

二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 7.600 三. 解答题: 11. 解:⑴ f ( x) ? 3 sin x ? cos x ??2 分, ? 2 sin( x ? 8. 8-

2π 3

9.

3 ; 2

10. a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?

n

?
6

) ??4 分, 2? ??6 分, 3

f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ??5 分
⑵因为 2 sin(? ? 所以 ? ?

?
6

) ? 2 , sin(? ?

?
6

) ? 1,

?
6

?? ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,? ?

?
3

??7 分,

8 ? 4 ? ? 2? , sin( ? ? ) ? , ? ? ? ? ??8 分, 6 5 6 5 6 6 3 ? ? ? ? 3 4 3 因为 ? ,所以 ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? ??9 分, 6 6 2 6 5 5 2 2 sin( ? ? )?
所以 f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?

?

?

? 2 cos[( ? ?

?
6

)?

?
6

6

) ? 2 sin(

?

] ? 2 cos( ? ?

?
6

) cos

?

2

? ? ) ? 2 cos ? ??10 分, ? 2 sin( ? ?

?
6

6

) sin

?
6

??11 分,

?

3 3?4 ??12 分。 5

12.(本小题满分 14 分) (1)矩形 BDEF 中, FB∥ED, --------1 分

FB ? 平面 AED , ED ? 平面 AED , FB ∥ 平面 AED ,-2 分 同理 BC ∥ 平面 AED ,-------3 分 又 FB ? BC ? B u? 平面 FBC ∥平面 EDA . ------4 分 (2)取 EF 的中点 M .
由于 ED ? 面 ABCD , ED ∥ FB ,? ED ? AD, ED ? DC, FB ? BC, FB ? AB 又 ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,所以, ?ADE, ?EDC, ?ABF , ?BCF 是全等三角形,

AE ? AF, CE ? CF ,
所以 AM ? EF, CM ? EF , ?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角-------8 分

AM ? MC
解法 1(几何方法): 延长 CB 到 G ,使 BC ? BG ,由已知可得, ADBG 是平行四边形,又 BDEF 矩形,所以 AEFG 是平行四边形, A, E , F , G 共面,由上证可知,
E M F D N B G C

AM ? MC CM ? EF , EF , AM 相交于 M , CM ? 平面 AEFG , ?CGM 为所求.
由 AD ? 2 , ?DAB ? 60 ,得 AC ? 2 3 等腰直角三角形 AMC 中, AC ? 2 3 ,可得 MC ? 6 直角三角形 GMC 中, sin ?CGM ?
A

CM 6 ? CG 4
EF ? M 得 CM ? 平面 AEF ,

解法 2 几何方法):由 AM ? MC , AM ? EF , MC 连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?

欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角. ------12 分

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,用余
z E M F

MC 2 ? BC 2 ? MB 2 6 ? ? . ? sin ? ? 6 . 弦定理知 cos?MCB ? 2MC ? BC 4 4
解法 3(向量方法):以 D 为原点, DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴 建立如图的直角坐标系,由 AD ? 2. 则 M (

---14 分

3 1 , , 3) , 2 2
A

D N B x

C

y

C (0,2,0) ,平面 AEF 的法向量 n ? MC ? (?

3 3 , ,? 3 ) , -------12 分 2 2

CB ? DA ? ( 3,?1,0) . cos n, CB ?

n ? CB n CB

??

6 6 . ---14 分 . ? sin ? ? 4 4

13.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0), 设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 -----------------------2 分 4 b

由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形,

∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,---------------------4 分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ?

4 3

∴所求的椭圆 E 的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 4 4

(2)解法一:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即点 Q 在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上,-----------------------------------------------------------7 分 ∴点 Q 即直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 E 的交点, ∵直线 3x ? y ? 2 ? 0 过点 (

2 2 , 0 ) ,而点椭圆 ( , 0 ) 在椭圆 E 的内部, 3 3

∴满足条件的点 Q 存在,且有两个.------------------------------------------------------9 分 【解法二:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,--------①-------------------------------------------------7 分
2 2 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,-----------------②

2 由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0 ? 9x0 ? 2 ? 0 ,-----③

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个.---------------9 分】 (3)解法一:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是 O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP , ∴O、M、P、N 四点在同一圆上,------------------------------------------10 分 且圆的直径为 OP,则圆心为 ( 其方程为 ( x ?
2 2

x1 y1 , ), 2 2

x1 2 y x 2 ? y12 ) ? ( y ? 1 )2 ? 1 ,------------------------------11 分 2 2 4

即 x ? y ? x1x ? y1 y ? 0 -----④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在

O 上,

∴M、N 坐标也满足方程

O : x2 ? y 2 ?

4 ---------------⑤ 3

⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

4 ,------------------------------12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,----------------------------------13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.-----------------------------------14 分 3m 3n 3m n 4

【解法二:设点 P( x1 , y1 ),M( x2 , y2 ),N( x3 , y3 ), 则 k PM ? ?

1 kOM

??

x2 , ----------10 分 y2

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ?

4 x2 ( x ? x2 ), 化简得 x2 x ? y2 y ? ,--------------④ 3 y2 4 ,---------------⑤-------------------11 分 3

同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 1 3 1 3 ? 3 ?
∴直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

4 ,------------------------------------------------------12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,--------------------------------------------13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.---------------------------------------------14 分】 3m 3n 3m n 4
2 ln x ? 1 f ?e ? ? e. x 且

14.解:(1) a ? 1 , 又 f ?( x) ?

f ?x ? ?

(ln x ? 1)? x ? (ln x ? 1) x ? ? ln x 1 , ? , f ?e ? ? ? 2 . 2 2 x x e

f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为: y ?
即 x ? e 2 y ? 3e ? 0 . (2) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ?

2 1 ? ? 2 ( x ? e) , e e
????????? 4 分

1 ? (ln x ? a ) 1? a , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? e . x2

当 x ? (0, e1?a ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数; 当 x ? (e1?a ,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;

f ( x) 在 x ? e1?a 处取得极大值,即 f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? e a?1 .
(3)(i)当 e
1? a

??? 8 分

? e 2 ,即 a ? ?1 时,

由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数, 当x?e
1? a

时, f ( x) 取得最大值,即 f ( x) max ? e a?1 .
?a

又当 x ? e

时, f ( x) ? 0 ,

当 x ? (0, e ?a ] 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (e ? a , e 2 ] 时, f ( x) ? (0, e a?1 ] ,
2 所以, f ( x) 的图像与 g ( x) ? 1 的图像在 (0, e ] 上有公共点,
a ?1

等价于 e

? 1,解得 a ? 1 ,又因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 .

(ii)当 e

1? a

? e 2 ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0, e 2 ] 上是增函数,
2?a , e2

f ( x) 在 (0, e 2 ] 上的最大值为 f (e 2 ) ?
原问题等价于

2?a ? 1 ,解得 a ? e 2 ? 2 ,又 a ? ?1 2 e 综上, a 的取值范围是 a ? 1 .

无解 ?????? 14 分


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