高三数学上学期期末模拟试卷(文科含答案)

潍坊高三期末考试
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 8 页. 第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式： 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A U B)=P(A)+P(B); 正棱锥、圆锥的侧面积公式 S 锥侧=

1 cl， 2

其中 c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式 V 球=

4 3 πR ，其中 R 表示球的半径 3

一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1. 已知集合 A ? x 3 x ? 2 ? 0 ， B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ，则 A ? B ＝ A． ? ??, ?1? 2．复数 z ? 1 ? i, 则 B. ? ?1, ?

?

?

?

?

? ?

2? ? 3?

C. ? ?

? 2 ? ,3 ? ? 3 ?

D． ? 3, ?? ?

1 ?z? z 1 3 1 3 3 1 A. ? i B. ? i C. ? i 2 2 2 2 2 2 ? 1 3. 已知 sin( ? ? ) ? ，则 cos(? ? 2? ) 的值为 2 3 7 7 2 A. ? B. C. 9 9 9
2

D.

3 3 ? i 2 2

D. ?

2 3

4. 已知各项不为 0 的等差数列 {an } ，满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ，数列 {bn } 是等比数列，且

b7 ? a7 , 则b6 b8 ?
A．2 B．4 C．8 D．16

5．要得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像可将 y ? sin 2 x 的图像

1

A．向右平移

? 个单位长度 6 ? C．向右平移 个单位长度 3

? 个单位长度 6 ? D．向左平移 个单位长度 3
B．向左平移

6． 设a?R ， 则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? ? a ? 1? y ? 4 ? 0 平行” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若 a, b, c 是空间三条不同的直线， ? , ? 是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是 （ ） A．若 c ? ? ， c ? ? ，则 ? // ? B．若 b ? ? ， b ? ? ，则 ? ? ? C．当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影，若 b ? c ，则 a ? b D．当 b ? ? 且 c ? ? 时，若 c // ? ，则 b // c 8. 已知函数 f ( x )的导函数 f ? ( x) ? ax 2 ? bx ? c y 的图象如右图，则 f ( x )的图象可能是 x y y

o

x

o

x

A y x o

B y o x

C
2 2 2 2

D

9．已知圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与直线

3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程为 64 64 2 2 2 2 A. ( x ? 1) ? y ? B. x ? ( y ? 1) ? 25 25
C. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 1) ? 1
2 2

10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于

2

A．12

B．

8 3 3

C．

56 3

D． 4

π π 1 11．若在区间[－ ， ]上随机取一个数 x，则 cosx 的值介于 0 到 之间的概率为 2 2 2 A. 1 3 B. 2 π 1 C. 2 2 D. 3

12．函数 f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 A.2 B.4 C.6 D.8

第 II 卷（非选择题
? ?
? ? ?

共 90 分）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 13．已知向量已知 | a |? 3 ， | b |? 2 ，且 (a ? b ) ? a ? 0 ，则向量 a 与 b 的夹角为_______.

?

?

3

14. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,若 a ? 3, b ?

2, B ? 45? ,则角 A=_______.

?y ? 0 ? 15. 已知实数 x,y 满足 ? y ? x ? 1 ? 0 若 z ? y ? ax 取得最大值时的最优解 （x,y） 有无数个， ? y ? 2x ? 4 ? 0 ?
则 a 的值为________ 16. 设定义域为 R 的函数 f ( x) 满足下列条件： 对任意 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? 0 ， 且对任意

x1 , x2 ? [1, a] (a ? 1) ，当 x 2 ? x1 时，有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .给出下列四个结论： 1? a ① f (a) ? f (0) ② f( ) ? f ( a) 2
③ f(

1 ? 3a ) ? f (?3) 1? a

④ f(

1 ? 3a ) ? f (?a) 1? a

其中所有的正确结论的序号是________________.

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 4 cos 2 x ? 2

（1）求函数 f ( x) 的单调减区间； （2）若 x ? [

? ?

, ] 求函数 f ( x) 的值域。 4 2

4

18.（本小题满分 12 分）设数列 3

?

n ?1

an ? 的前 n 项和为 S n ，且 Sn ?

n * ， a?N ． 3

（Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ?

n ，求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ． an

19. （本小题满分 12 分）如图所示， PA ? 平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，

E、F、G、H 分别是线段 PA、PD、CD、BC 的中点。
（Ⅰ）求证： BC // 平面 EFG ； （Ⅱ）求证： DH ? 平面 AEG ；

（第 18 题图）

5

20． （本小题满分 12 分）某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第 1 组 [25,30) ，第 2 组 [30,35) ，第 3 组 [35, 40) ，第 4 组 [40, 45) ，第 5 组 [45,50] ，得到的 频率分布直方图如图所示. 区间 人数 [25，30） 50 [30，35） 50 [35，40) a [40,45) 150 [45,50] b

（1）上表是年龄的频率分布表，求正整数 a, b 的值； （2）现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，年龄在第 1，2，3 组 的人数分别是多少？ （3）在（2）的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人年龄
6

在第 3 组的概率.

21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C : （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

x2 y2 6 ， 短轴长为 2 ． ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

（Ⅱ）已知点 P(0,2) ，过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点，直线 PA 交椭圆 C 于点

Q ，求△ ABQ 面积的最大值．

22．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ， 其中 a 为常数，e 为自然对数的底数. （1）求 f ( x) 的单调区间； （2）若 a ? 0 ，且 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最大值为 ?2 ，求 a 的值； （3）当 a ? ?1 时，试证明： x | f ( x) |? ln x ?

1 x 2

7

8

潍坊高三期末考试

参考答案
一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二.填空题（本大题每小题 4 分，共 16 分） 13、150。 二.解答题 14、 A ? 60? 或 A ? 120? 15、1 16、①②④

18: (I)由题意得

n S n = a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n?1 an ? , 3

①

Sn ?1 ? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ... ? 3n ?2 an ?1 ?
①-②得

n ?1 (n ? 2), 3

②

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 所以 an ? n (n ? 2). ?????????????4 分 3 1 经验证 n ? 1 时也满足上式，所以 an ? n (n ? N * ). ????????6 分 3 3n?1 an ?

n (II) 由（1）得 bn ? n ? 3 ，

9

Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ... ? n ? 3n 3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ... ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n ?1

两式相减得

?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n ?1 ?????????????8 分

?2Tn ?
Tn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 ， 1? 3

n n?1 1 n?1 3 ? 3 ? ? 3 ? ? ?????????????12 分 2 4 4

19、解： （Ⅰ）? E, F 分别为 PA, PD 中点，所以 AD∥EF，∵BC∥AD, ,∴BC∥EF． ．2 分

? BC ? 平面EFG, EF ? 平面EFG
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．5 分 ? BC ∥平面 EFG． （Ⅱ）∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH． ． ． ． ． ． ． ． ． ．7 分 ∵△ADG≌△DCH ，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG ?????????????10 分 又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面 AEG． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．12 分 20. 解：(I)由频率分布直方图可知， a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 ，?????????2 分 b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . ??????????????????4 分 (II) 因为第 1， 2， 3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名 学生，每组抽取的人数分别为：

50 ???????????????????????5 分 ? 1， 300 50 第 2 组的人数为 6 ? ???????????????????????6 分 ? 1， 300 200 第 3 组的人数为 6 ? ? 4 ，???????????????????????7 300
第 1 组的人数为 6 ? 分 所以第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人．????????????????8 分 (III)设第 1 组的 1 位同学为 A ，第 2 组的 1 位同学为 B ，第 3 组的 4 位同学为 C1 , C2 , C3 , C4 ，则从六位同学中抽两位同学有：

( A, B), ( A, C1 ), ( A, C2 ), ( A, C3 ), ( A, C4 ), ( B, C1 ), ( B, C2 ), ( B, C3 ), ( B, C4 ), (C1 , C2 ),

(C1 , C3 ), (C1 , C4 ), (C2 , C3 ), (C2 , C4 ), (C3 , C4 ), 共 15 种可能．?????????10 分
10

其中恰有 1 人年龄在第 3 组有 8 种可能， 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为

8 ??????????????????12 分 15

21. 解： （Ⅰ）椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1． 3

（Ⅱ）设直线 AQ 的方程为 y ? kx ? 2 ，代入椭圆方程得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ， 由 ? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ，得 k 2 ? 1 ， 所以 x A ? xQ ? ?

12k 9 ， x A xQ ? ． 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

因为 O 是 AB 的中点，

1 所以 S?ABQ ? 2S?AOQ ? 2 S?POQ ? S?poa ? 2 ? ? 2 ? x A ? xQ ? 2 x A ? xQ ． 2
由 ( x A ? xQ )2 ? ( x A ? xQ )2 ? 4 x A xQ ? ( ? 设 k 2 ? 1 ? t (t ? 0) ， 则 ( x A ? xQ )2 ?

12k 2 36 36(k 2 ? 1) ， ) ? ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

36t 36 36 3 ? ? ? ， 2 16 (3t ? 4) 9t ? ? 24 2 9t ? 16 ? 24 4 t t

当且仅当 9t ?

16 4 , t ? 时等号成立，此时△ ABQ 面积取最大值,最大值为 3 ． t 3

22. 解： （Ⅰ） f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ?????????????????1 分 ? x x

当 a ? 0 时， f '( x) ? 0 恒成立，故 f ( x) 的单调增区间为 (0, ??) ??????3 分

1 1 ，令 f '( x ) ? 0 解得 x ? ? ，故 f ( x) 的单 a a 1 1 调增区间为 (0, ? ) ， f ( x) 的单调减区间为 (? , ??) ?????????????5 分 a a
当 a ? 0 时，令 f '( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? （Ⅱ）由（I）知， ①当 ?

1 1 即 a ? ? 时， f ( x) 在 ? 0, e ? 上单调递增， ∴ f ( x) max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 ? e， a e

舍； ???????????????????????????????????? 7 分 ②当 0 ? ?

1 1 1 ? e ，即 a ? ? 时， f ( x) 在 (0, ? 1 a ) 上递增，在 ( ? a , e) 上递减， a e
????9 分

1 1 f ( x) max ? f (? 1 a ) ? ?1 ? ln( ? a ) ，令 ?1 ? ln( ? a ) ? ?2 ，得 a ? ?e

11

（Ⅲ）即要证明 | f ( x) |?

ln x 1 ? ，????????????????10 分 x 2

由（Ⅰ）知当 a ? ?1 时， f ( x) max ? f (1) ? ?1 ，∴| f ( x) |≥1，??????11 分 又令 ? ( x) ?

ln x 1 1 ? ln x ，?????????????12 分 ? ， ? ?( x) ? x 2 x2

故 ? ( x) 在 (0, e) 上单调递增，在 (e, ??) 上单调递减，??????????13 分

1 1 ? ? 1 ????????????????????14 分 e 2 ln x 1 即证明 | f ( x) |? ? x 2
故 ? ( x ) ? ? ( e) ?

12