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人教版高中数学函数的极值与导函数精品课件



第三章
导数及其应用

第三章
3. 3 导数在研究函数中的应用

第三章
第 2 课时 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数

学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

课程目标解读

结合函数的图象,了

解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极 小值, 以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值; 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

重点难点展示

本节重点:利用导数的知识求函数的极值. 本节难点:函数的极值与导数的关系.

学习要点点拨

1.理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念, 是仅对某一点的左右 两侧附近的点而言的. (2)极值点是函数定义域内的点, 而函数定义域的端点绝不 是函数的极值点. (3)若 f(x)在定义域[a,b]内有极值,那么 f(x)在[a,b]内绝 不是单调函数,即在定义域区间上的单调函数没有极值.

(4)极大值与极小值没有必然的大小关系. 一个函数在其定 义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值可能 大于另一点的极大值.(如图)

2.导数为 0 的点不一定是极值点. 3 .正确理解“在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 必有最 值.” 此性质包括两个条件: (1)给定的区间必须是闭区间, f(x)在开区间上虽然连续但 1 不能保证有最大值或最小值.如 f(x)= ,x∈(0,1),f(x)在区间 x (0,1)连续,但没有最大值和最小值(如图).

(2) 在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断 点 , 也 不 能 保 证 f(x) 有 最 大 值 和 最 小 值 , 如 函 数 f(x) =
? ?|x|,-1≤x≤1且x≠0, ? ? ?1,x=0.

在[-1,1]上有间断点,没有最小值(如图).

4.正确区分极值和最值 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的, 函数 的最大值和最小值可以在极值点、 不可导点、 区间的端点取得, 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,最值具有绝对 性,极值具有相对性.

(2)函数的最值是一个整体性概念, 最大值必须是整个区间 上所有函数值中的最大的值,最小值是所有函数值中的最小的 值;极值只能在区间内取得;但最值可以在端点处取得;极值 有可能成为最值.

5.若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值 就是最大值,极小值就是最小值. 6.利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f ′(x). (3)解方程 f ′(x)=0 得方程的根.

(4)利用方程 f ′(x)=0 的根将定义域分成若干个小开区 间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号. (5)确定函数的极值,如果 f ′(x)的符号在 x0 处由正(负)变 负(正),则 f(x)在 x0 处取得极大(小)值.

7.求可导函数 y=f(x)在[a,b]的最大(小)值步骤如下: (1)求 f(x)在开区间(a,b)内所有极值点; (2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值,其中最大的一 个为最大值,最小的一个为最小值. 8. f ′(x0)=0 只是可导 函数 f(x)在 x0 取得极值的必要条件, .. 不是充分条件. 例如: 函数 f(x)=x3, f ′(0)=0 但 x=0 不是 f(x) =x3 的极值点,导数不存在的点,也可能是极值点.

课前自主预习

1.已知函数 y=f(x)及其定义域内一点 x0.对于包含 x0 在内 的开区间内的所有点 x,如果都有 f(x)<f(x0) ,则称函数 f(x)在 点 x0 处取得 极大值 ,并把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点 ; 如果都有 f(x)>f(x0) ,则称函数 f(x)在点 x0 处取得 极小值,并把 x0 称为函数 f(x)的一个 极小值点.极大值与极小值统称为 极值 ,极大值点与极小值点统称为 极值点.

2.假设函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不

断的曲线 ,该函数在[a,b]上一定能够取得 最大值 与最小值
,若该函数在(a,b)内是 可导的 ,该函数的最值必在极值点或

区间端点 取得.

3.当函数 f(x)在点 x0 处连续时,判断 f(x0)是否为极大(小) 值的方法是: (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0, 右侧 f ′(x)<0, 那么 f(x0) 是极 大 值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0, 右侧 f ′(x)>0, 那么 f(x0) 是极 小 值; (3)如果 f ′(x)在点 x0 的左右两侧符号不变, 则 f(x0) 不是 函 数 f(x)的极值.

4.函数 f(x)=x2-x+1 在区间[-3,0]上的最值为( 3 A.最大值为 13,最小值为 4 B.最大值为 1,最小值为-17 C.最大值为 3,最小值为-17 D.最大值为 9,最小值为-19
[答案] A

)

[解析]

∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,

?1? 3 1 令 y′=0,∴x= ,f(-3)=13,f?2?= ,f(0)=1. 2 ? ? 4

5.f(x)=2x3-3x2+a 的极大值是 6,那么 a 等于( A.6 C .5 B.0 D.1

)

[答案] A

[解析] f ′(x)=6x2-6x,令 f ′(x)=0,得 6x2-6x=0, 解得 x=0 或 1.且易知 x=0 是极大值点. ∴f(0)=a=6.

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向
[例 1]

利用导数求函数的极值
求函数 y=3x3-x+1 的极值.

[分析] 首先对函数求导,然后求方程 y′=0 的根,再检 查 y′在方程根左右的值的符号.如果左正右负,那么 y 在这个 根处取得极大值;如果左负右正,那么 y 在这个根处取得极小 值.

[解析] y′=9x2-1,令 y′=0, 1 1 解得 x1= ,x2=- . 3 3 当 x 变化时,y′和 y 的变化情况如下表:
x y′ y 1 (-∞,- ) 3 + 单调递增 1 - 3 0 极大值 11 9 单调递减 1 1 (- , ) 3 3 - 1 3 0 极小值 7 9 单调递增 1 ( ,+∞) 3 +

1 11 因此,当 x=- 时,y 有极大值,并且 y 极大值= . 3 9 1 7 而当 x=3时,y 有极小值,并且 y 极小值=9.

[点评]

(1)要熟记利用导数求函数极值的一般步骤:

一求定义域,二求导数,三解方程,四判符号下结论(注意 导数不存在的点). (2)要严格按解题步骤规范条理的写出解题过程.

(2012~2013 学年度北京西城区高二期末测试)设函数 f(x) =x3-ax2-9x 的导函数为 f′(x),且 f′(2)=15. (1)求函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

[解析]

(1)∵f′(x)=3x2+2ax-9,

∵f′(2)=15,∴12+4a-9=15, ∴a=3. ∴f(x)=x3+3x2-9x, ∴f′(x)=3x2+6x-9, ∴f(0)=0,f′(0)=-9, ∴函数在 x=0 处的切线方程为 y=-9x.

(2)令 f′(x)=0,得 x=-3 或 x=1. 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-3) -3 + ↗ 0 27 (-3,1) - ↘ 1 0 -5 (1,+∞) + ↗

即函数 f(x)在(-∞,-3)上递增,在(-3,1)上递减,在(1, +∞)上递增,∴当 x=-3 时,f(x)有极大值 27,当 x=1 时, f(x)有极小值-5.

命题方向

利用导数求函数的最大值与最小值

[例 2]

求函数 f(x)=x3-2x2+1 在区间[-1,2]上的最大

值与最小值. [分析] 首先求 f(x)在(-1,2)内的极值.然后将 f(x)的各

极值与 f(-1)、f(2)比较,其中最大的一个是最大值,最小的 一个是最小值.

[解析] f ′(x)=3x2-4x. 4 令 f ′(x)=0,有 3x2-4x=0.解得 x=0, . 3 当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f ′(x) f(x) -2 -1 (-1,0) + 0 0 1 4 (0, ) 3 - 4 3 0 - 5 27 4 ( ,2) 3 + 1 2

故 f(x)最大值=1,f(x)最小值=-2.

[点评]

要熟记用导数求最值的一般步骤:一求极值,二

求闭区间端点函数值,三比较找出最值.

求函数 f(x)=x4-8x2+2 在[-1,3]上的最大值与最小值.
[解析] f ′(x)=4x3-16x=4x(x-2)(x+2).

令 f ′(x)=0,解得 x1=-2,x2=0,x3=2. 其中 x2=0,x3=2 在[-1,3]内,计算得 f(0)=2,f(2)=-14,f(-1)=-5,f(3)=11, 故 f(x)在[-1,3]上的最大值是 11,最小值是-14.

建模应用引路
命题方向
[例 4]

图象信息问题
下图是函数 y=f(x)的导函数 y=f ′(x)的图象,对

此图象,有如下结论:

①在区间(-2,1)内 f(x)是增函数; ②在区间(1,3)内 f(x)是减函数; ③x=2 时,f(x)取到极大值; ④在 x=3 时,f(x)取到极小值. 其中正确的是 ________( 将你认为正确的序号填在横线 上). [ 分析 ] 给出了 y = f′(x) 的图象,应观察图象找出使 f

′(x)>0 与 f ′(x)<0 的 x 的取值范围,并区分 f ′(x)的符号由 正到负和由负到正,再做判断.

[ 解析 ]

由 f

? 3? ′(x) 的图象可见在 ?-∞,-2? 和 (2,4) 上 ? ?

f

? 3 ? ′(x)<0,f(x)单调减,在?-2,2?和(4,+∞)上 ? ?

f ′(x)>0,f(x)

单调增,∴只有③正确.

[答案] ③

[点评]

有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的

是 f(x)的图象还是 f ′(x)的图象,若给的是 f(x)的图象,应先找 出 f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是 f ′(x)的图象,应 先找出 f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合 题目特点分析求解.

函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f ′(x)的图象如图所示, 则函数 f(x)( )

A.无极大值点、有四个极小值点 B.有一个极大值点、两个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点

[答案] C

[解析] x2、x3、x4,

设 f ′(x)与 x 轴的 4 个交点,从左至右依次为 x1、

当 x<x1 时,f ′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x1<x<x2 时,f ′(x)<0,f(x)为减函数, 则 x=x1 为极大值点, 同理,x=x3 为极大值点,x=x2,x=x4 为极小值点.

探索延拓创新
命题方向
[例 4]

函数极值的综合应用

函数 f(x)=ax3-6ax2+3bx+b, 其图象在 x=2 处的

切线方程为 3x+y-11=0. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 (2)若函数 y=f(x) 的图象与 y=3f′(x)+5x+m 的图象有三 个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

[解析] 且 f(2)=5,

(1)由题意得 f′(x)=3ax2-12ax+3b, f′(2)=-3

? ?12a-24a+3b=-3 ∴? ? ?8a-24a+6b+b=5 ? ?4a-b=1 即? ? ?-16a+7b=5





解得 a=1,b=3, ∴f(x)=x3-6x2+9x+3.

(2)由 f(x)=x3-6x2+9x+3, 可得 f′(x)=3x2-12x+9, 1 1 2 f′(x)+5x+m= (3x -12x+9)+5x+m=x2+x+3+m, 3 3 则由题意可得 x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m 有三个不相 等的实根, 即 g(x)=x3-7x2+8x-m 的图象与 x 轴有三个不同的交点, ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),

2 ∴令 g′(x)=0 得 x=3或 x=4. 当 x 变化时,g(x),g′(x)的变化情况如表: x g′(x) g(x) 2 (-∞,3) + ↗ 2 3 0 68 -m 27 2 (3,4) - ↘ 4 0 -16-m (4,+∞) + ↗

2 68 则函数 g(x)的极大值为 g(3)=27-m,极小值为 g(4)=- 16-m. 1 ∴由 y=f(x)的图象与 y=3f′(x)+5x+m 的图象有三个不 同交点, 2 68 ? ?g? ?= -m>0 得? 3 27 , ? ?g?4?=-16-m<0 68 解得-16<m<27.

已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 1 时取得极值, 且 f(1) =-1. (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=± 1 时函数取得极小值还是极大值, 并说明理 由.

[解析] -2b+c=0.

(1)由 f ′(-1)=f ′(1)=0,得 3a+2b+c=0,3a

又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. 1 3 ∴a=2,b=0,c=-2. 1 3 3 (2)f(x)=2x -2x, 3 2 3 3 ∴f ′(x)=2x -2=2(x-1)(x+1). 当 x<-1 或 x>1 时,f ′(x)>0;当-1<x<1 时,f ′(x)<0,

∴函数 f(x)在(-∞, -1)和(1, +∞)上是增函数, 在(-1,1) 上为减函数. ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1;当 x=1 时, 函数取得极小值 f(1)=-1.

名师辨误作答
[例 5] 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,

求常数 a、b 的值. [错解] +b.
? ?f ′?-1?=0, 所以? ? ?f?-1?=0, ? ?a=1, 解得? ? ?b=3, ? ?3-6a+b=0, 即? 2 ? ?-1+3a-b+a =0.

因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f ′(x)=3x2+6ax

? ?a=2, 或? ? ?b=9.

[辨析]

根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先

增后减为极大值,上述解法未验证 x=-1 时函数两侧的单调 性,导致错误.

[正解]

(在上述解法之后继续)当 a=1,b=3 时,f ′(x)

=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去; 当 a=2,b=9 时,f ′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈[-3,-1]时,f(x)为减函数; 当 x∈[-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以 f(x)在 x=-1 时取得极小值.因此 a=2,b=9.

课堂巩固练习

一、选择题 1.函数 y=x3+1 的极大值是( A.1 C .2 B.0 D.不存在 )

[答案] D

[解析]

∵y′=3x2≥0 在 R 上恒成立,

∴函数 y=x3+1 在 R 上是单调增函数, ∴函数 y=x3+1 无极值.

2.(2011· 泉州二模)函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1] 上的最大值是( A.-2 C.2 ) B.0 D.4

[答案] C

[解析]

对函数求导后可知 f ′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 则

f(x)在区间[-1,0]上递增,在[0,1]上递减,因此最大值是 f(0)= 2,故选 C.

3.(2012~2013 学年度吉林扶余一中高二期末测试)函数 y =x3-6x 的极大值为( A.4 2 C.-3 2 ) B.3 2 D.-4 2

[答案] A

[解析]

y′=3x2-6,令 y′>0,得

x> 2或 x<- 2,令 y′<0,得- 2<x< 2. ∴函数 y=x3-6x 在(-∞,- 2),( 2,+∞)上递增,在 (- 2, 2)上递减, ∴当 x=- 2时,函数取得极大值 4 2.

二、填空题 x2+a 4. 若函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值, 则 a=________. x+1
[答案] 3

[解析]

考查分式函数求导法则、极值点的性质.

2x?x+1?-?x2+a? x2+2x-a f ′(x)= = , ?x+1?2 ?x+1?2 1+2-a f ′(1)=0? 4 =0?a=3.

5.(2012~2013 学年度大连 24 中高二期末测试)函数 y= x3-3x+9 的极小值是________.
[答案]
[解析]

7
y′=3x2-3,令 y′>0,得

x>1 或 x<-1,令 y′<0,得-1<x<1, ∴函数在(-∞,1),(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减, ∴当 x=1 时,函数取得极小值 1-3+9=7.



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