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第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答



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中学 数 学 月 刊 

2 0 0 1年 第 4期 

第 四届 北 京 高 中数 学 知 识应 用竞 赛 决赛 试 题及 参 考解 答 
竞赛 日: 2 0 0 1年 3月 1 8日  
1 . ( 满分

2 O分 ) 汽 车在行驶 中, 由 于 惯 性 的 作  用, 刹 车后还 要 继续 向前 滑行 一 段距 离 才能 停 住. 我  们 称 这 段距 离 为 “ 刹 车 距离 ” . 刹 车 距 离 是 分 析 事 故  的一个 重 要 的 因素 . 在一个限速为 4 O千 米 / 时 的 路 
段上, 先后 有 A, B两 汽 车 发生 交 通 事故 . 事故 后 , 交 
4 : O0   5 :OC   6 :O0   7 :O C   7 .3   6. 5   5.3   4.1   1 2 :O0   13 :O0   1 4 :O 0  15 :O 0  4.4   5 .6   6. 7   7.2   20 :O0   21 :O0   2 2 :O0   23 :O0   3.3   2.5   2 .7   3. 8  

■  

3:O C  

7 .5  

11 :O0  

3 .5  

19 :O0  

4 .4  

通 警 察 现 场 测 得 A 车 的刹 车 距 离 超 过 1 2米 , 不 足  1 5米 , B 车 的刹 车 距 离 超 过 1 1米 , 不足 1 2米 . 又 知 
A, B 两 种 车 型 的 刹 车 距 离 S( 米) 与 车速 ( 千米 / 时)  

( 1 ) 请在答卷的坐标纸上, 根 据 表 中 的数 据 , 用 
连续 曲线 描 出时 间与 水深 关 系 的 函数图象 ;  

之 间有 如 下 关 系 :  4 _ =0 . 1 x   +0 . 0 1   , S B =0 . 0 5 x B   +0 . O 0 5 x  ̄ . 如 果 仅 仅 考 虑 汽 车 的车 速 因素 , 哪 辆 车 
应 负责 任 ?  

( 2 ) 一 条 货 船 的 吃 水 深度 ( 船底与水面的距离)   为 4米 , 安 全 条 例规 定 至少 要 有 1 . 5米 的 安 全 间 隙  ( 船底 与 洋底 的距 离 ) , 问该 船 何 进 能 进 入 港 I : 1   7在 港 
口能 呆 多 久 ?  

解   由 题 意 得 这 两 辆 汽 车 的 刹 车 距 离 分 别 满 足 
如下 的关 系式 :   1 2 <O . 1 x ^ +0 . 0 1 x  ̄ <1 5,  
1 1 <0 . 05 x B +0 . 0 0 5 x ̄ 1 2,  

( 3 ) 若 某 船 的 吃 水 深 度 为 4米 , 安全间隙为 1 . 5   米, 该 船 在 2:O O开 始 卸 货 , 吃 水深 度 以每 小 时 0 . 3   米 的速 度 减 少 , 那 么该 船 在什 么 时 间必 须停 止 卸货 ,   将 船驶 向较深 的水 域 ?   解  ( 1 ) 描 点作 图. 设  表 示 时 间 , Y表 示 水 深 .  
< 4 5 .  


分 别求 解这 两 个不 等式 , 得 
3 0  ̄ xa < 一5 +  < 3 5,  

4 2 < 一5 + 

<  B  ̄ -5 - t -  

可见 , A 车无责 任 , B 车应 负责 任.   2 . ( 满分 2 O分 ) 北 京 电视 台 每星 期六 晚播 出《 东  芝动物乐园 》 , 在 这 个 节 目中 曾经 有 这 样 一 个 抢 答 

一]
—   一

乒 丌 j I ] . L . — J   i . I r   1 I T I 广 I 丁 I   1 I ] I — 广 l   {   广 l ÷ . { . { 一 广 I   1 I _ . I r 一   _ r_ 1 一卜 ’ 、’ - 1- ' t -I -1 . - t1 一 卜 t 丹 - t —I —  十 1 - 1一 r . ’ -’= 

题: 小 蜥蜴 体长 1 5 c m, 体重 1 5 g , 问: 当小蜥蜴 长 到体  长为 2 0 c m时 , 它 的体 重大 约 是多 少 ( 选 择答 案 : 2 0 g,  
2 5 g, 3 5 g, 4 0 g ) ? 尝 试 用 数 学 分 析 出合 理 的 解 答 .  

强  . 琶 篓涟蕊   { - { 一 L I . L 1 I I . J l 一 - I   I L _ I L . J I 十I L . I L I I   I J 一 卜 L l   I I  


I L L J l -A I-
I —l



I   1

图 1  



假设小蜥蜴从 1 5 c m长到 2 0 c m, 体 形 是 相 

似 的. 这 时蜥蜴 的体 重 正 比于它 的体积 , 而体 积 与体 
长 的立 方成 正 比.  

( 2 ) 由 题 目条 件 , 水 深 至少 为 5 . 5米 时 才 能 保 证   货 船驶入 港 口的安全 . 为 此 在 上 图 中 做 一 条  一 0 5 . 5   的水 平 直线 n . 图象 在 n上 方 时 , 其 对 应 的  范 围 为  货 船 驶入 港 口的安 全 时间 段 , 从 图 中 可 以看 出 , 这个 
时 间 段 约 为 0: 3 0到 5:4 O , 或 1 3: 0 0到 1 8: 2 O , 在 

记 体长 为  的蜥蜴 的体重 为 7 M . 。 , 因此有 
20 a
一  

=1 5× (   ) 。 =3 5 . 5 6( g) .  

合 理 的答 案 应 该 是 3 5 g .   3 .( 满分 2 O分 ) 受 日月 的 引 力 , 海 水 会 发 生 涨 

港 口停 留 的 时 间 大 约 为 5小 时 .  

也 可 以用 线性 插 值方 法 , 在 已知 点 中 , 若相 邻 两 
点 在 直 线 n的 异 侧 , 设 加 在 它 们 中 间 且 过 直 线 n 的  点与 它 们共 线. 于是  利 用点 ( O , 5 ) 和( 1 , 6 . 2 ) , 得  l 一( 5 . 5 —5 ) / ( 6 . 2  


落, 这 种 现象 叫做 潮 汐 . 在通常的情况下, 船 在 涨 潮  时驶 进 航 道 , 靠近船坞 ; 卸 货 后 落 潮 时 返 回海 洋. 下 
面是 某港 I : 1 在 某季 节 每天 的 时 间与水 深关 系表 
时 间  水深 ( 米)   时 刻  水 深 ( 米)   时 刻  水 深 ( 米)  
0 :O0  
1 :O0  

5 ) =0 . 4 1 7 , 对 应 的 时 间 为 0:2 5 ; 利用点( 5 , 6 . 5 )  

和( 6 , 5 . 3 ) , 得  2 —5 . 8 3 , 对 应 的 时 间 为 5: 5 O . 由 此 

5.O  
6.2  

8 :O0  
9 :O0  

3.1  
2.5  

16 : O 0  
17 :O0  

7 .4  
6. 9  

得 到 第 一 个 满 足 条 件 的 时 间 段 约 为 0:2 5 ~ 5:5 O .   同理 , 利用 点 ( 1 2 , 4 . 4 ) 和( 1 3 , 5 . 6 ) , 得  3 =1 2 .  
9 2 , 对 应 的 时间为 1 2; 5 5 ; 利 用点 ( 1 8 , 5 . 9 ) 和( 1 9 ,  

2 :O0  

7 .1  

1 0 :O 0  

2 .7  

1 8 :O0  

5.9  

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2 0 0 1年 第 4期 

中学 数 学月 刊 
2 O % + l — 2 ] z o % 

?4 9?  

4 . 4 ) , 得 . :1 8 . 2 7 , 对应 的时 间为 1 8:1 6 . 由此 得 到  第 二个 满足 条 件 的时 间段 约为 1 2:5 5  ̄1 8:1 6 .  
( 3 ) 2:O 0时 水 深 为 7 . 1米 , 船 需 要 的安 全 水深 

=7 0   0 0 0? 2 0 %+ 7 0   0 0 0 ( 2 O %)   一( 2 o %) 2 y l 一  2 O %Y 2 ;  


随着卸 货 时间 的变 化公 式 为 :  
=5 . 5 —0 . 3(  一 2 );  

+ 2 + 3 =7 0   0 0 0?2 0 % +7 0   0 0 0 ( 2 O %)   一 

( 2 o %) 2 y l 一2 0 % 2  

其中 2 < < 5 . 8 3 , 此 处 利 用 了插 值 的 结 果 , 在  上 面 的函数 图象 中 画 出该 图 象 , 看 出 与原 图 象 的交  点 大 约 在 7:O 0左 右 , 故 知 在 7:O 0以 前 该 货 船 一 

+{ [ ( 7 o   o o o — 1 ) 2 o % + l — 2 ] 2 o % + 2 一 3 }  
2 O % 

=7 0   o o o ?2 o %+ 7 0   0 0 0( 2 0 %)  + 7 o   o o o   ( 2 o %) 。 一( 2 O %) 。   l ~( 2 0 %) Z y 2 —2 O % 3 ;  


定 要离 开码 头 驶到 较 深 的安全 水 域.  
4 . ( 满分 2 O分 ) 2 O O O年 末 , 某 商 家迎 来 店 庆 , 为  了 吸弓 l 顾 客, 采取 “ 满 一百 送 二 十 , 连 环送 ” 的 酬 宾 方  式, 即顾 客 在 店 内 花 钱 满 1 0 0元 ( 这 1 0 0元 可 以 是 现   金, 也 可 以 是奖 励 券 , 或二者合计 ) 。 就送 2 O元 奖 励  

般 地  l + 2 + 3 + … +籼 :7 O   0 0 0?2 O % + 

7 0   0 0 0 ( 2 O %)   + … +7 0   o o o ( 2 o %)   一( 2 o %) t y l 一 
… 一

( 2 O %)   一 l 一2 O %  ,   即  A + 2 + 3 +… +z l <7 0   0 0 0?2 0 % + 

券; 满 2 0 0元 , 就送 4 O元 奖 励 券 ; 满 3 0 0元 , 就送 6 O   元 奖 励 券  ? 当 日, 花 钱 最 多 的 一 顾 客 是 用 了现 金  7 0   0 0 0 元, 如果 按 照 酬 宾 方 式 , 他 最 多 能得 到 多 少优  惠 呢 ?相 当于商 家 打 了几 折销 售 ?   解 购 物 价 值 =所 用 人 民 币值 +优 惠 值 , 将 最 
多 购 物价 值记 作 口 一.   按 下列 方 法购 物 :   第 一 次用 现金 购 物 7 0   0 0 0元 , 获 得 奖 励 券 
7 0   0 0 0 ×2 0 %=1 4   0 0 0 ( 元) ;  

7 0   O O O ( 2 O %)   + …+ 7 0   O O O ( 2 O %)   .  

因为
= 0. 25。  

●— - ∞  

l i m[ Z O  ̄+( 2 O %)   + …+ ( 2 O %)   ]  

所 以 

l + 2 + 3 + … + I <7 0   0 0 0 [ Z O % + 

( 2 O %)   +…+ ( 2 o %) ‘ 1 <1 7   5 0 0 .  
则 总 共 购 物 价 值 为  7 0   0 0 0 + l + 2 + 3 + … 
十 l < 7 0   0 0 0 +1 7   5 0 0 =8 7   5 0 0 .  



a w   一8 7   4 8 0元 . 接 近八 折.  

5 . ( 满分 2 O分 ) 某城 市 准备 举 行 书画 展 览 , 为 了 
保 证 展 品 安全 , 展 览 的 保卫 部 门准 备 安 排 保 安 员 值  班. 情 况 如下 :  

第 二 次用 奖励 券 购物 1 4   0 0 0元 , 获得 奖励 券 
1 4   0 0 0 ×2 0 %=2 8 0 0 ( 元) ;  

第 三 次用 奖励 券 购物 2   8 0 0元 , 获得 奖励 券 
2   8 0 0 ×2 0 % =5 6 O ( 元 ) ;  

① 展览 大厅 是长 方 形 , 内设 均 匀分 布 的 mXn个 
长方 形 展 区 , 如图 所 示 ( 图 2是 一 个 3 × 4个 展 区 的  示意图) . 在 展 厅 中, 展 览 的 书 画 被 挂 在 每 个 展 区 的  外 墙上 , 参 观者 在 通道 上浏 览书 画.  

第 四次用 奖励 券 购物 5 0 0元 , 获得 奖励 券 5 0 0 ×  
2 O % :1 0 0 ( 元) ;  

第 五 次用 奖励 券 购物 1 0 0元 , 获得 奖励 券 1 0 0 ×  
2 O %=2 o ( 元) ;  

第 六 次用 奖励 券 购物 8 O元 ( 6 O +2 o ) , 获 得 奖励  券 0元 .  

至此 , 现金及奖励券全部用完 , 共计购物( 记作 
a )  
口 = 7 0   o o o +1 4   o o o+ 2   8 0 0+ 5 0 0 +l O O +8 0 = 

8 7   48 o ( 元) .  

图 2  

 ̄ 册丽 7 o   o o 丽 o =8 0o 1 8 %, 近 似 于八 折。  


② 保安 员 站在 固定 的位 置 上 , 不 允许 转 身 , 只能 
监 视 他 的 左 右 两 侧 和正 前 方 , 形如一个 “ T” 形 的 区  域, 且 一个 保安 员 的正前 方 不安 排其 他保 安 员.  

下 面证 明 口 一 一a .  

设 分 五次 将 7 0   0 0 0元 花 掉 , 第 i次 购 物 获 得 的 

奖励 券 为 嚣 元 , 剩下 的钱为 Y , 元( 不包 括第 i 次获得 
的奖励券 ) . 则 O ≤  ≤   H +  H , 并 可依 次得 
l =( 7 o   O O O — 1 ) 2 o %≤ 1 4   0 0 0 ;  


③ 不考 虑保 安员 的轮 岗、 换 班 问题 .   ④ 展 品的 安全 意 味着 每 一个 展 区 的 四面外 墙 都 
在 保安 员 的监视 范 围 内.  

+ 2 =( 7 o   o o o —y 1 ) 2 0 %+ [ ( 7 O   0 0 0 一Y 1 )  

问题 ; ( 1 ) 对 于 如上 图所 示 的展 厅 中 , 最 少 需 要 



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