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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.3.2



1.3.2
一、基础过关

函数的极值与导数

1. 函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x)的图象如图,则函数 y= f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( ) ( )

2. 下列关于函数的极值的说法正确的是 A.导数值为 0 的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数

3. 若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于( A.2
3

)

B.3
2

C.6

D.9 ( )

4. 函数 y=x -3x -9x(-2<x<2)有 A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 5. 已知函数 f(x),x∈R,且在 x=1 处,f(x)存在极小值,则 A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 6. 若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是 A.1<a<2 C.2<a<4 二、能力提升 B.1<a<4 D.a>4 或 a<1

(

)

(

)

x2+a 7.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 8. 设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a 的值为________. 9. 如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断: 1? ①函数 y=f(x)在区间? ?-3,-2?内单调递增; 1 ? ②函数 y=f(x)在区间? ?-2,3?内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断正确的是________.(填序号) 10.求下列函数的极值: x3-2 (1)f(x)= ; 2?x-1?2 (2)f(x)=x2e x.


1 5 11.已知 f(x)=x3+ mx2-2m2x-4(m 为常数,且 m>0)有极大值- ,求 m 的值. 2 2 12.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中 a∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; 2 (2)当 a≠ 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 3

答案
1.A 7.3 8.9 9.③ 10.解 (1)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ?x-2?2?x+1? ∵f′(x)= , 2?x-1?3 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + -1 0 - 3 8 (-1,1) - 1 (1,2) + 2 0 3 (2,+∞) + 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B

故当 x=-1 时,函数有极大值, 3 并且极大值为 f(-1)=- . 8 (2)函数的定义域为 R,
- ? 1x?′ f′(x)=2xe x+x2· ?e ?

=2xe x-x2e
- -

-x

=x(2-x)e x, 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - 0 0 0 (0,2) + 2 0 4e
-2

(2,+∞) -

由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且为 f(0)=0; 当 x=2 时,函数有极大值,且为 f(2)=4e 2.


11.解 ∵f′(x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m), 2 令 f′(x)=0,则 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) F(x)

(-∞,-m) +

-m 0 极大值

?-m,? ? ? ?2m ? ?3 ?


2 m 3 0 极小值

?2m,? ?3 ? ? ? ?+∞ ?


1 5 ∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+ m3+2m3-4=- , 2 2 ∴m=1. 12.解 (1)f′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: X f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) 3 + - 0 极大值 1 3 1 (- ,1) 3 - 1 0 极小值 (1, +∞) +

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27 极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时, 有 f(x)>0, x 取足够小的负数时,有 f(x)<0, 所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(- )= +a,f(x)极小值=f(1)=a-1. 3 27 ∵曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0, 即 5 +a<0 或 a-1>0, 27

5 ∴a<- 或 a>1, 27 5 ∴当 a∈(-∞,- )∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27 13.解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex, 故 f′(1)=3e. (2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex. 令 f′(x)=0,解得 x=-2a 或 x=a-2,

2 由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 以下分两种情况讨论: 2 ①若 a> ,则-2a<a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,-2a) + -2a 0 极大值 (-2a,a-2) - a-2 0 极小值 (a-2,+∞) +

所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae
-2a

.


函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2. 2 ②若 a< ,则-2a>a-2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞,a-2) + a-2 0 极大值 (a-2,-2a) - -2a 0 极小值 (-2a,+∞) +

所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数, 在(a-2,-2a)内是减函数. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2.


函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae

-2a

.



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