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高中数学-公式-排列组合与概率



排列组合、二项式定理
1、分类计数原理:完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不 同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+……+mn. 分步计数原理:完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方 法……

做第 n 步又 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1Xm2X……Xmn。 2、排列数公式是: An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =
m n

n! (m≤n,m、n∈N*); (n ? m)!

当 m=n 时,为全排列 An =n(n-1)(n-2)…3.2.1。

? Cn 排列数与组合数的关系是: An ? m!
m

m

组合数公式是: C n =
m

m

Am n! n! n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) m ? = (m≤n) ; Cn ? n ; m m! ? (n ? m)! Am m!(n ? m)! 1? 2 ? ?? m
n?m

组合数性质: C n = C n

, Cn ? Cn ? 1 ; C n + C n
0 n m
r r ?2 0

m ?1

= C n ?1 ;

m

?C
r ?0

n

r n

=2 ;
n

n

r r ?1 rCn = nCn ?1 ;
n ?1 n

C ?C
r r

r r ?1 n

?C

??? C ? C
r n n 1 n ?1

r ?1 n ?1 ;

n.n!=(n+1)!-n!,即 nAn ? An ?1 ? An 。

3、二项式定理: (a ? b) ? C n a ? C n a 式: Tr ?1 ? C n a
r n?r

2 n?2 2 r n?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b 二项展开式的通项公

b r (r ? 0, 1, 2?,n)

(1)二项式性质:与首末两端等距离的二项式系数相等; 对于 (a ? b) ? C n a ? C n a
n 0 n 1 n ?1 2 n?2 2 r n?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b 的二次项系数:当 n 是偶数时,

n n ?1 n ?1 中间的一项 C (第 +1 项)取得最大值;当 n 是奇数时,中间的两项 C n 2 (第 项)、 C n 2 (第 +1 2 2 2
项)相等,且同时取得最大值。
0 1 2 n ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2 n ;且奇数项的二项式 (a ? b) n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n ,即 C n

n 2 n

n ?1

n ?1

系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 C n ? C n ? ? ? ? ? C n ? C n ? ? ? ? ? 2
0 2 1 3

n ?1



7.F(x)=(ax+b)n 展 开 式 的 各 项 系 数 和 为 f (1) ; 奇 数 项 系 数 和 为

1 [ f (1) ? f (?1)] ; 偶 数 项 的 系 数 和 为 2

1 [ f (1) ? f (?1)] 。 2



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