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江西省上高县第二中学届高三数学考前热身试题理-课件



2016 届高三年级数学热身卷(理科)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)。 1. 已知 R 为实数集, 集合 M ? ?0, 2? ,N ? ? x?y ? ( ) A.{x|0≤x < 1} D.{x|x<1} 2.若复数 z ? sin ? ? A. B.{x|-2≤x < 1}

r />
x ?1 , 则 M ? (CR N ) =
C.{x|0≤x≤2}

?

3 4

3 4 ) ? (cos ? ? )i 是纯虚数,则 tan ? 的值为( 5 5 4 3 4 B. C. ? D. ? 3 4 3
)cm
3

3. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm), 则该几何体的体积等于( A.4+

2 ? 3

B.4+

3 ? 2

C.6+

2 ? 3

D.6+

3 ? 2
)

4.命题 ?m ? [0,1] ,则 x ? A. ?m ? [0,1] ,则 x ? B. ?m ? [0,1] ,则 x ?

1 ? 2m 的否定形式是( x

1 ? 2m x

1 ? 2m x

C. ?m ? (??, 0) ? (1, ??) ,则 x ? D. ?m ? [0,1] ,则 x ?

1 ? 2m x

1 ? 2m x
a an?1 ? an ? 2 ,则 n 的最小 n n

5.已知数列 {an } 中满足 a1 ? 15 , 值为( A.10 )

B. 2 15 ? 1 27 C.9 D. 4 6.某年级有 1000 名学生,随机编号为 0001, 0002,?,1000 , 现在系统抽样方法,从中抽出 200 人,若 0122 号被抽到了,[Z-XK] 则下列编号也被抽到的是 ( ) A. 0116 B. 0927 C. 0834 D. 0726 7.执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2, 则输出 P 的值为( ) A.2 B.3

1

C. 4

D. 5

? x ? 4 y ? ?3 ? 8.已知 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,若不等式 ax ? y ? 1 恒成立,则实数 a 的 ? x ?1 ?
取值范围是.( A. ? , ? ?? ?5 ? ) B. ? , ? ?? ?5 ?
x

?3

?

?11

?

?2, ? ??

C. ? , ? ?? ?5 ?

? 27

?

D.

9.已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? e 无零点,则实数 a 的取值范围是( A. ? e ,??
2
2

?

?



B. (? e ,0)
2

C. [? e ,0)
2

D. (? e ,0] 10.设双曲线 则该双曲线的 离心率为( A. 3 D.

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1相切, 2 a b
) B.

6

C



5

3

11. 点 A, B, C , D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? 2, AC ? 2 四面体 ABCD 体积的最大值为 A. 6? D. 9? B. 7?
3

2 ,若
8?

4 ,则该球的表面积为( 3
C

) .

12. 已知 f ( x) ? x ? 3x ? 3 ? m (m ? 0) ,在区间[0,2]上存在三个不同的 实数 a, b, c ,使得以 f (a ), f (b), f (c) 为边长的三角形是构成直角三角形,则

m 的取值范围是( A. m ? 3 ? 4 2 C. 0 ? m ? 2 2 ? 1

) . B. m ? 2 2 ? 1 D. 0 ? m ? 3 ? 4 2

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的 相应位置。 13. 设向量 a,b 均为单位向量,且 a ? b ? a ? 2b ,则 a 与 b 夹角为 14 . 已 知 m ? 0 , n ? 0 , 若 直 线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与 圆

???

? ?

?

?

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1相切,则 m ? n 的取值范围是________.

2

?1 ? 15.在二项式 ? ? 2 x ? 的展开式中, 前 3 项的二项式系数之和等于 79, 则展 ?2 ? 4 开式中 x 的系数为 。 ? 2 16.已知正项数列{ an }的前 n 项和为 S n ,对 ?n ? N 有 2 S n = an +an .令 1 ,设{ bn }的前 n 项和为 Tn ,则在 T1 , T2 , T3 ??? T100 中 bn= an an+1+an+1 an
有理数的个数为_______个.

n

三、解答题(共 70 分) 17 . (本题满分 12 分)在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若

1 sin A, sin B, sin C 成等差数列,且 sin B ? sin A cos C ? sin C . 2 c A ; (2)求 . b

(1)求角

18. (本题满分 12 分) 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴 趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择 一道题进行解答.选题情况如下表: (单位:人)

(I)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (II) 经过多次测试后, 女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟, [Z-xk.Com] 女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几 何题,求乙比甲先解答完的概率. (III) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行 全程研究,记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X , 求 X 的分布列及数学期 望 E?X ?. 附表及公式[Z-XK]

3

19. (本题满分 12 分)如图,等腰梯形 ABCD 的底角 A 等于 60 ,其外接圆圆 心 O 在 边 AD 上 , 直 角 梯 形 PDAQ 垂 直 于 圆 O 所 在 平 面 ,

?

?QAD ? ?PDA ? 90? , 且AD ? 2 AQ ? 4 (1)证明:平面 ABQ ? 平面PBD; (2)若二面角 D ? PB ? C的平面角等于45?, 求多面体PQABCD的体积。

x2 y 2 20. (本题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的两焦点与短 a b 轴的一个端点的连线构成等边三角形, 直线 x+y+2 2 一 1=0 与以椭圆 C 的右
焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设直线 CD,CB,OB,OC 的斜 率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. 2 2 (i)求 k1k2 的值: (ii)求 OB + OC 的值.

21. (本题满分 12 分)
x 已知函数 f ? x ? ? 2e ? ? x ? a ? ? 3, a ? R . 2`

(Ⅰ)若函数 y ? f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (Ⅱ)若 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求 a 的取值范围. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分.作答时请写清题号. 22. (10 分)选修 4—1 几何证明选讲

4

如图 ,已知直线 PA 与圆 O 切于点 A ,直线 PB 过圆心 O ,且与圆 O 交于点 B, C ( PB<PC ) ,若 PA ? 3, PB ? 1 . (1)求 sin ?PAB 的大小; (2) 若 ?BAC 的平分线与 BC 交于点 D , 与圆 O 的另一个 交点为 E ,求 AD ? DE .

23. (10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程 以原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? x ? cos ? ? ? sin(? ? ) ? 2 ,曲线 C 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数). 4 ? y ? 2 sin ? (1)求曲线 C 的中心到直线 l 的距离; (2)求直线 m : y ? 3x 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? , ? ) (0≤? ? 2? ) .

24. (10 分)选修 4—5 不等式选讲 x2 已知函数 f ( x) ? ?2 . x ?1 (1)给出 1,2, ?2 ,2015 四个数,试分析 f ( x) 的值可以等于哪个数; (2)若 f ( x)≥ | m ? 1| ? | m ? 2 | 对任意 x ? (1, ??) 恒成立,求 m 的取值范围. 2016 届高三年级数学热身卷答题卡(理科) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、 16、

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17、 (12 分)

5

18、 (12 分)

19、 (12 分)

6

20、 (12 分)

21、 (12 分)

7

[Z-XK]

[Z-xk.Com]

8

选做题 22□ 23□ 24□(10 分)

22 题图

9

2016 届高三年级数学(理科)热身卷答案 1-5 ACDDD 6-10 BCCDC 11-12 DD 13.

? 14. ? 2 ? 2 2, ?? 15. ? 3

?

495 16

16. 9
1 2 1 2

17. 【解析】 (1)由 sin B ? sin A cos C ? sin C 可得 sin( A ? C ) ? sin A cos C ? sin C , 由 sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 可得 cos A sin C ? ? sin C , 又 sin C ? 0 ,所以 cos A ? ? ,所以 A ?
1 2 2? ; (6 分) 3 a?c ,所以 a ? 2b ? c ① 2

1 2

(2)由 sin A,sin B,sin C 成等差数列及正弦定理可得 b ? 由余弦定理可得 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ? ,所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc ②把①代入②并 2bc 2 c 3 整理可得 b(5c ? 3b) ? 0 ,又 b ? 0 ,∴ 5c ? 3b ? 0 ,即 ? .(12 分) b 5

18.解:(Ⅰ)由表中数据得

的观测值

所以根据统计有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.) ???3 分 (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 分钟,则基本事件满足的区 域为 的区域为 由几何概型 即乙比甲先解答完的概率 . (如图所示) 设事件 为“乙比甲先做完此道题” 则满足

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 抽到有 X 可能取值为 种;两人都被抽到有 , , 的分布列为:
z

种;恰有一人被 1



P

Q C B A
x

O

D

y

10

19. 【解析】 解法一: (Ⅰ)证明:由题可知 AB ? BD ,1 分 ∵梯形 PQAD 垂直于圆 O 所在的平面, ?PDA ? 90? , ∴ PD ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PD , 2 分 又∵ BD ? PD ? D, ? AB ? 平面 PBD , 3 分 ∵ AB ? 平面ABQ ,∴ 平面ABQ ? 平面PBD . ········ 4 分 (Ⅱ)如图,过点 B 作射线 BZ ∥ DP, BA,BD,BZ 两两垂直. 以 B 为原点, BA,BD,BZ 所在直线分别为 x, y, z 轴建立坐标系, 设 PD ? h ,则 B(0,0,0), D(0, 2 3,0), P(0, 2 3, h),C(?1, 3,0) , ??? ? ??? ? 从而 BC ? (?1, 3,0), BP ? (0, 2 3, h) , 5 分 设面 PBC 的一个法向量为 ? n ? (x ,, y z) ,

? ??? ? ? ? ?? x ? 3 y ? 0, ?n ? BC ? 0, ? 2 3 ? ? ? ??? 即? 取 y ? 1 ,则 n ? ( 3, ? 1,? ) , ······· 7 分 h ? ?n ? BP ? 0, ? ?2 3 y ? hz ? 0, ??? ? 由(1)已证 BA ? 平面 PBD ,则平面 PBD 的一个法向量为 BA ? (2, 0, 0) ,

2 3 2 ? 2 ,解得 h ? 6 , ········· 9 分 12 2 4? 2 h 多面体 PQABCD 是由三棱锥 P ? BCD 和四棱锥 B ? ADPQ 构成的组合体,

? ??? ? ? ??? ? n ? BA ? cos ? n, BA ?? ? ??? ? ? n BA

····································· 8 分

1 2? 6 4 3 P , ················ 11 分 z VB ? ADPQ ? ? ? 4? 3 ? 2 2 ? 3 2 3 1 Q VP ? BCD ? ? 3 ? 6 ? 2 , 3 B C 4 3 ∴多面体 PQABCD 的体积 V ? 3 2 ? . 12 分 A D O 3
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图,在平面 ABCD中过点O作AD的垂线OX, 过 O 作射线 OZ ∥ DP , OX , OD, OZ 两两垂直. 以 O 为原点, OX , OD, OZ 所在直线分别为 x,y,z 轴建立坐标系, 设 PD ? h ,则 B(? 3, ?1,0), D(0, 2,0), P(0, 2, h),C(? 3,1,0) , ??? ? ??? ? 从 而 BC ? (0,2,0), BP ? ( 3,3, h ) , 5 分 设 面 PBC 的 法 向 量 为 ? n ? ( x,, y z) ,
x

y

11

? ??? ? ? n ? BC ? 0, ? ? ?2 y ? 0, ? 3 ? ? ? ??? 即? 取 x ? 1 则 n ? (1,, ? 0 ? ) , ········ 7 分 h ? ? 3 x ? 3 y ? hz ? 0, ?n ? BP ? 0. ? ??? ? 平面 PBD 的法向量为 BA ? ( 3, ?1 , 0) , ··················· 8 分 ? ??? ? ? ??? ? n ? BA 3 2 ? cos ? n, BA ?? ? ??? ? ? ? 2 ,解得 h ? 6 , ··········· 9 分 3 n BA 2 1? 2 h Q
下同解法一.解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)取 BD 中点 E ,过 E 作 EF 垂直于 PB 交线段 PB 于点 F , 连接 CE, CF , 5 分 可证 CE ? 平面PBD ,∴ PB ? CE ,
F B E A O C

P

又∵ EF ? PB, EF ? CE ? E , ∴ PB ? 平面CEF , PB ? CF , ········ 6 分 ∴ ?CFE 为二面角 D ? PB ? C 的平面角, 7 分 即 ?CFE ? 45°, EF ? CE ? 1 , 由 Rt ?BEF ∽ Rt ?PBD ,可求得 PD ? 6 . 9 分 以下同解法一. 20. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的右焦点 F2 (c,0) ,则 c2 ? a2 ? b2 (c ? 0) 由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长 为 半 径 的 圆 的 方 程 为 ( x ? c) ? y ? a
2 2 2

D



∴ 圆 心 到 直 线
D C

x ? y ? 2 2 ?1 ? 0 的距离
d? c ? 2 2 ?1 2 ? a ??????1 分

F1

O

F2 B

x

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形, ∴ b ? 3c , a ? 2c , 代入()式得 c ? 1, b ? 3 , a ? 2 ,

x2 y 2 ? ? 1 ???????????????4 分 4 3 (Ⅱ) (i)设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 D(? x1 , ? y1 ) ,
故所求椭圆方程为 于 是

3 3 2 (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) 2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y12 4 3 4 k1k2 ? ? ? 2 ? ? ? --(8 分) 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 4 3 3 (ii)方法一由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? ,故 y1 y2 ? ? x1 x2 . 4 4 9 2 2 3 3 2 2 x1 x2 ? y12 y2 ? (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) 所以, 16 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 即 x1 x2 ? 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ,所以, x1 ? x2 ? 4 .
又2?(
2 2 x12 y12 x2 y 2 x 2 ? x2 y 2 ? y2 2 ? )?( 2 ? 2)? 1 ? 1 ? 3. ,故 y12 ? y2 4 3 4 3 4 3

12

所以,OB +OC 2 2 2 ? OB ? OC 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 7 .------------------(12 分) 方法二[来 圆 由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ?

2

2

3 .将直线 y ? k3 x 方程代入椭 4

x2 y 2 ? ? 1 中, 4 3 12 12 2 ? 得 x12 ? .同理, x2 . 2 2 3 ? 4k 4 3 ? 4k3
所以,

16k32 12 12 12 12 12 ? ? ? ? ? ? 4. 2 3 ? 4k32 3 ? 4k4 3 ? 4k32 3 ? 4(? 3 )2 3 ? 4k32 3 ? 4k32 4k3 下同方法一.------------------(12 分)
2 x12 ? x2 ?

21. (1)? y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线与 x 轴平行,? f ' (0) ? 2(a ? 1) ? 0 , 解 得 a ? ?1 . 经 检 验 a ? ?1 符 合 要 求 。 ( Ⅱ ) f ' ( x) ? 2(e x ? x ? a) , 令 则 g ' ( x) ? 2(e x ?1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 2(e x ? x ? a) 在 g ( x) ? 2(e x ? x ? a) , [0,??) 内单调递增, g (0) ? 2(1 ? a) ' x ' (i)当 2(a ? 1) ? 0 ,即 f ( x) ? 2(e ? x ? a) ? f (0) ? 0 f ( x) 在 [0,??) 内单调的增,要想 f ( x) ? 0 ,只需要 f (0) ? 5 ? a 2 ? 0 , 解得 ? 5 ? a ? 5 ,从而 ? 1 ? a ? 5 (ii)当 2(a ? 1) ? 0 即 a ? ?1 时, 由 g ( x) ? 2(e ? x ? a) 在 [0,??) 内单调递
x

增知,存在唯一 x0 使得 g ( x0 ) ? 2(e 0 ? x0 ? a) =0,有 e
x
'

x0
'

? x0 ? a .

? x ?[0, x0 ), f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; ? x ?[ x0 ,??), f ( x) ? 0, f ( x) 单调
递增

f ( x)min ? f ( x? ) ? 2ex0 ? ( x0 ? a)2 ? 3 ? 2e x0 ? (ex0 )2 ? 3 ? ?(ex0 ?1)(ex0 ? 3)
只需 f ( x) min ? 0 ,即 e
x
x0

? 3 ,解得 0 ? x0 ? ln 3

0 又 a ? x0 ? e ,得 ln 3 ? 3 ? a ? ?1 ,综上, ln 3 ? 3 ? a ? 5 22. 【解析】 (1)∵ PA 是圆 O 的切线,∴由弦切角定理可得 ?PAB ? ?ACB .

又 ?APB ? ?CPA ,∴ △ABP∽△CAP ∴

AB BP 1 ? ? ,即 AC ? 3 AB , AC AP 3

故 BC ? AC 2 ? AB 2 ? 10 AB ,又 BC 为圆 O 的直径,∴ ?CAB ? 90? ∴ sin ?ACB ?
AB 10 10 = ,又 ?PAB ? ?ACB ,∴ sin ?PAB ? ; (6 分) BC 10 10

(2)由切割线定理可得 PA2 ? PB ? PC ,即 9 ? 1 ? PC ,∴ PC ? 9 ,故 BC ? 8 ,由

13

角平分线性质可得

CD AC ? ? 3 , ∴ CD ? 6, BD ? 2 , 由 相 交 弦 定 理 可 得 DB AB

AD ? DE ? CD ? DB ? 12 .(10 分)
2 即 ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , ? (sin ? ? cos? ) ? 2 , 2 化成直角坐标方程为: x ? y ? 2 ? 0 . 曲线 C 的参数方程化成普通方程为:

23. 【解析】 (1) 直线 l 的方程可化为
y2 ?1. 4

x2 ?

显然曲线 C 是椭圆,中心为 O ,到直线 l 的距离为
? ? 2 7 2 7 ? 2 y2 ?x ? ? ?x ? x ? ? 1 ? ? ? 7 7 (2)由 ? 可得 ? 或? , 4 2 21 2 21 ? ? ? y ? 3x y?? y? ? ? ? 7 7 ? ?

2 (5 分) ? 2; 2

则直线 m 与曲线 C 的交点分别为 A(? 而 | OA |?| OB |?
(

2 7 2 21 2 7 2 21 ,? ) , B( , ), 7 7 7 7

4 7 ,故直线与 m 与曲线 C 的交点的极坐标分别为 7

4 7 ? 4 7 4? , ) ,( , ) .(10 分) 7 3 7 3
x2 x ?1

24. (1)
f ( x) ?

?

x2 ? 1 ? 1 1 1 ? x ?1? ? ( x ? 1) ? ?2 x ?1 x ?1 x ?1



x ?1





f ( x) ? ( x ? 1) ?

1 ?≥ 2 2? 2 ? 4 ; x ?1

1 ] ? 2≤ ? 2 ? 2 ? 0 . 1? x 综上可知, f ( x) 的值域为 (??,0] ? [4, ??) ,故在所给四个数中, f ( x) 的值只有

(2 分)当 x ? 1 时, f ( x) ? ?[(1 ? x) ?

可能为-2 和 2015. (2) 由 (1) 可知,f ( x) 在 (1, ??) 上的最小值为 4, 由条件只需 | m ? 1| ? | m ? 2 | ≤4 . 解之得 ?
1 7 [? , ] . 2 2
?m ? 1 ?m ? 2 1 7 ?1≤m≤2 ? ? 或? 1 或? 7 ,故 ? ≤m≤ , 即实数 m 的取值范围是 1 ≤ 4 2 2 m ≥ ? m ≤ ? ? ? 2 2 ? ?

14



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