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2015-2016学年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5



成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数列

“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者,是意大利数学家 列昂纳多· 斐波那契(Leonardo Fibonacci,公元 1170~1240),斐 波那契数列指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,2

1,?.这个数 列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项为:an 1 1+ 5 n 1- 5 n = [( 2 ) -( 2 ) ].有趣的是:这样一个完全是自然数 5 的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.

斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现.例 如:在树木的枝干上选一片叶子,记其为数 0,然后依序点数 叶子(假定没有折损),直到到达与那片叶子正对的位置,则其 间的叶子数多半是斐波那契数.叶子从一个位置到达下一个正 对的位置称为一个循回,叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐 波那契数.在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序 比,多数的叶序比呈现为斐波那契数的比,真让我们惊叹于这 世界的奥妙无穷.

第二章
2.1 数列的概念与简单表示法

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.理解数列及其有关概念.

2 .理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任
意一项. 3 .对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个 通项公式.

某剧场有 30 排座位, 第一排有 20 个座位, 从第二排起, 后一排都比前一 排多 2 个座位, 那么各排的座位数依次 为 20,22,24,26,28,?,78. 从 1984 年到 2008 年, 我国共参加 了 7 次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为 15,5,16,16,28,32,51. 这两个问题有什么共同特点呢?

1.两个非空数集 A,B,对于集合 A 中的每一个数,通过

唯一 一个数与其对应.这 对应关系f ,在集合 B 中都有________ ___________
时就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的函数. 2.对于一次函数 y=x+1,当 x=-2,-1,0,1,2,?时,y

-1,0,1,2,3,… 体 现 了 有 规 律 的 一 列 数 与 另 一 列 数 的 = ________________. 对应关系 . ___________

1.观察下列示例,想一想它们都涉及一些数,这些数的呈 现有何特点,有无规律可循? (1)正整数 1,2,3,4,??的相反数依次为-1,-2,-3, -4?? (2)-2 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂依次是-2,4,- 8,16. (3)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长 的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果 将“一尺之棰” 1 1 1 1 1 视为 1 份,那么每日剩下的部分依次为:2,4,8,16,32,?.

2.由上面的例子经过提炼我们得到: (1)数列的概念 按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数 都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排 在第一位的数为这个数列的第一项,也叫做首项.排在第 n 位 的数称作这个数列的第 n 项, 记作 an.数列的一般形式为 a1, a2, a3,?,an?,简记为{an}.

注意: ①数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一 列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按 照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置. ②项 an 与序号 n 是不同的,数列的项是这个数列中的一个 确定的数,而序号是指项在数列中的位置. ③{an}与 an 是不同概念: {an}表示数列 a1, a2 , a3 , ?, an, ?; 而 an 表示数列{an}中的第 n 项.

④数列的简记符号 {an} ,不能理解为集合 {an} ,其区别如

下表: 数列
数列中的项是有序 的,两组相同的数 字,按照不同的顺序 区 排列得到不同的数列 别 数列中的项可以重复 出现

集合

示例

如数列1,3,4与1,4,3 集合中的元素 是不同的数列,而 集合{1,3,4}与 是无序的 {1,4,3}是相等集合

集合中的元素 如数列1,1,1,?每 满足互异性, 项都是1,而集合则 集合中的元素 不可以 不能重复出现

下列说法正确的是(

)

A.数列 1,2,3,5,7 可表示为{1,2,3,5,7} B.数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列 n+1 1 C.数列{ n }的第 k 项是 1+k D.数列 0,2,4,6,8,?可记为{2n}

[答案] C

[解析] {1,2,3,5,7}是一个集合,所以 A 错;由于数列的项 n+1 k+1 1 是有顺序的,所以 B 错;数列{ n }的第 k 项是 k =1+k , C 正确;而 D 中数列应表示为{2(n-1)}.

(2)数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个 公式表示,那么这个公式叫做数列的通项公式.

注意: ①数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它 的有限子集{1,2,3,?,n}为定义域的函数表达式,即 an=f(n). ②已知数列的通项公式,依次用 1,2,3,?去替代公式中的 n, 就可以求出这个数列的各项; 同时利用通项公式也可以判断 某数是不是某数列中的项,是第几项. ③同函数的关系式一样,并不是所有的数列都有通项公 式.如 2精确到 1,0.1,0.01,?的不足近似值排成数列就不能用 通项公式表示.

8 15 24 数列-1,5,- 7 , 9 ,?的通项公式可以是(
2 n n +n A.an=(-1) 2n+1 2 n n +2n C.an=(-1) 2n-1

)

B.an=(-1)

nn?n+3?

2n+1
nn?n+2?

D.an=(-1)

2n+1

[答案] D

[解析]

通过观察,数列中的数正负交替出现,且先负后
n

3 正,则选择(-1) .又第 1 项可改写成分式-3,则每一项的分母 依次为 3,5,7,9,?,可写成(2n+1)的形式.分子为 3=1×3,8 =2×4,15=3×5,24=4×6,可写成 n(n+2)的形式.所以此数 列的一个通项公式为 an=(-1)
nn?n+2?

2n+1

.

3.数列的分类: (1)按项数分类:项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限 的数列叫做无穷数列. (2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类: 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数 列.即 an+1>an(n=1,2,3?).

从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数 列.即 an+1<an(n=1,2,3?). 各项相等的数列叫做常数列. 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前 一项的数列叫做摆动数列.

下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递 增、递减数列?哪些是常数列?哪些是摆动数列? (1)1,0.84,0.842,0.843,?; (2)2,4,6,8,10,?; (3)7,7,7,7,7,7,?; 1 1 1 1 (4)3,9,27,81,?; (5)0,0,0,0,0,0; (6)0,-1,2,-3,?.

[解析]

项数有限的数列是有穷数列,故(5)是有穷数列;

项数无限的数列是无穷数列,故(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列. 从第 2 项起, 每一项都大于它的前一项的数列是递增数列, 故(2)是递增数列;同理,从第 2 项起,每一项都小于它的前一 项的数列是递减数列,故(1)(4)是递减数列. 数列(3)(5)的各项都相等,故(3)(5)是常数列. 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前 一项的数列是摆动数列,故(6)是摆动数列.

4.递推数列 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且任一项 an 与它 的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示, 那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式.

注意:(1)要给出数列的首项或前几项,这是递推的基础; (2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式,这是

递推的依据;
(3)同通项公式一样,不是所有的数列都可以用递推公式表 示.

已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 1 , an = nan - 1(n≥2) , 则 a5 =

________.
[答案] 120 [解析] 因为an=nan-1,且n≥2,所以

当n=2时,a2=2a1=2;
当n=3时,a3=3a2=6; 当n=4时,a4=4a3=24; 当n=5时,a5=5a4=120.故a5=120.

课堂探究学案

数列的概念及分类 下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列 的是( )
1 1 1 A.1,2,3,4,? π 2π 3π B.sin7,sin 7 ,sin 7 ,? 1 1 1 C.-1,-2,-4,-8,? D.1, 2, 3,?, 21

[答案] C
[解析] 选C. [方法规律总结 ] 解答数列概念题要紧扣相关定义,观察 数列的项数特征确定是有穷数列还是无穷数列,观察项的特 点、变化规律确定增减性、周期性,也可以借助函数的单调性 判断数列的增减. D是有穷数列,A是递减数列,B是摆动数列,故

已知下列数列: (1)2000,2004,2008,2012; n-1 1 2 (2)0,2,3,?, n ,?; 1 1 1 (3)1,2,4,?, n-1,?; 2 ?-1? · n 2 3 (4)1,-3,5,?, ,?; 2n-1 nπ (5)1,0,-1,?,sin 2 ,?.
n-1

其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增 数 列 是 ________ , 递 减 数 列 是 ________ , 摆 动 数 列 是 ________,周期数列是________(将合理的序号填在横线上). [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5)

n-1 [解析] (1)是有穷递增数列; (2)是无穷递增数列(因为 n 1 =1-n); (3)是无穷递减数列; (4)是摆动数列,也是无穷数列; (5)是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期 为 4.

求数列的通项公式 写出下列数列的一个通项公式,使它的前四项 为下列各数.

1 2 3 4 (1)12,23,34,45,?; (2)11,102,1003,10004,?; (3)9,99,999,9999,?; 1 9 25 (4)2,2,2,8, 2 .

[分析]

通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求

解.(1)把每一项分成整数和分数两部分;(2)把每项分别可写成
10+1,100+2等;(3)可把每项写成10-1,100-1等;(4)把2和8 都改写成以2为分母的分数.

[解析] (1)这个数列各项的整数部分分别为 1,2,3,4,?, 1 2 3 4 恰好是序号 n;分数部分分别为2,3,4,5,?,与序号 n 的 n 关系是 , n+1
2 n +2n n 所以这个数列的一个通项公式是 an=n+ = . n+1 n+1

(2) 这个数列可以改写为 10 + 1,100 + 2,1000 + 3,10000 + 4,?,所以这个数列的一个通项公式是 an=10n+n. (3) 这个数列可以改写为 10 - 1,100 - 1,1000 - 1,10000 - 1,?,所以这个数列的一个通项公式是 an=10n-1. 1 4 9 16 (4)将每一项都统一写成分母为 2 的分数,即2,2,2, 2 , 25 n2 2 ,?,所以它的一个通项公式是 an= 2 .

[方法规律总结]

根据数列的前几项求其通项公式,一般

通项公式不唯一,我们常常取其形式上较简便的一个即可.解 答时,主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法.观 察时特别注意:①各项的符号特征;②分式的分子、分母特征; ③相邻项的变化规律(绝对值的增减).处理方法常用的有:① 化异为同(统一分子、或分母的结构形式);②拆项;③用(-1)n 等表示符号规律;④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数 的平方,2n 等)的联系.

1 1 3 5 3 (1)数列4,2,4,1,4,2,?的一个通项公式为________. (2)数列 1,2 2,3 3,8,5 5,6 6,7 7,?的一个通项公 式为__________; 1 1 1 1 (3) 数 列 1 , - 2 , 4 , - 8 , 16 , ? 的 一 个 通 项 公 式 为 __________.

n [答案] (1)an=4 (2)an=n n 1 n-1 (3)an=(-2)

[解析]

(1)先把各项都写成分数形式,注意到 4=2×2,

1 2 3 4 可以把分母不是 4 的项改写成分母为 4 的情形,即4,4,4,4, 5 6 n 4,4,?,∴an=4. (2) 先将数列中的部分项作调整,使之都含有根号和系数 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,?,∴an=n n. (3)奇数项为正,偶数项为负,可由(-1)n-1 来实现,分子 全为 1,分母依次为 20,21,22,23,?, ?-1?n-1 1 n -1 ∴an= n-1 ,即 an=(-2) . 2

数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项;

(2)-49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,
请说明理由. [解析] (1)∵an=3n2-28n, ∴a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60.

(2)令 3n2-28n=-49,即 3n2-28n+49=0, 7 ∴n=7 或 n=3(舍). ∴-49 是该数列的第 7 项,即 a7=-49. 令 3n2-28n=68,即 3n2-28n-68=0, 34 ∴n=-2 或 n= 3 . 34 * ∵-2?N , 3 ?N ,
*

∴68 不是该数列的项.

[方法规律总结] 骤

判断某数是否为数列中的项的方法及步

①将所给项代入通项公式中; ②解关于 n 的方程; ③若 n 为正整数,说明某数是该数列的项;若 n 不是正整 数,则不是该数列的项.

4 1 16 已知数列的通项公式为 an= 2 ,试问10和27是不是它 n +3n 的项?如果是,是第几项?

4 1 [解析] 令 2 =10,则 n2+3n-40=0,解得 n=5 或 n n +3n =-8,注意到 n∈N*, 故将 n=-8 舍去, 1 所以10是该数列的第 5 项.

4 16 令 2 =27,则 4n2+12n-27=0, n +3n 3 9 解得 n=2或 n=-2, 注意到 n∈N*, 16 所以27不是此数列中的项.

递推数列

设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2 n+1-
* na2 n+an+1an=0(n∈N ),求通项公式 an.

[分析] 显关系.

将已知等式左边分解因式,以便找出前后项的明

2 [解析] (方法一)(累乘法)把(n+1)a2 - na + n 1 n+an+1an=0 分

解因式, 得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. ∵an>0,∴an+an+1>0, ∴(n+1)an+1-nan=0, an+1 n ∴ a = , n + 1 n n-1 a2 a3 a4 a5 1 2 3 4 an ∴an=a1· ?· =1×2×3×4×5×?× n = a1 · a2· a3· a4· an-1 1 n.

an+1 n (方法二)(构造法)同方法一,得 a = , n+1 n ∴(n+1)an+1=nan,令 bn=nan,则 bn+1=bn, 1 ∴数列{bn}为常数列,∴bn=b1=a1=1.∴an=n.

[方法规律总结] 1.已知递推关系,求某(些)项时,依次将 n 的值代入即可. 2. 由递推关系求通项公式时, 可以将 n 的值依次代入递推 关系式列出前 n 项观察规律写出,也可以将递推关系式变形通 过构造数列的方法求解. 3.由递推关系式 an=f(n)an-1 求数列的通项公式时一般采 用累乘法.

已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1+an
-2

(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; an (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn}, 写出数列{bn} an+1

的前 4 项.

[解析] (1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+ a3=5+3=8. 所以数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8. an (2)∵bn= ,a =1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1 1 a1 1 a2 2 a3 3 a4 5 ∴b1=a =2,b2=a =3,b3=a =5,b4=a =8. 2 3 4 5 1 2 3 5 即数列{bn}的前 4 项依次为2,3,5,8.

求数列的最大(小)项 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列{an}中有多少项是负数?

(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
[分析] {an}可视作n的二次函数,其负项就是函数值为负 数的情形,由于二次项系数为正,故存在最小值,可借助对称

轴帮助探寻.

[解析] (1)由 n2-5n+4<0 得(n-1)(n-4)<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数. 52 9 (2)∵an=n -5n+4=(n-2) -4,
2

可知对称轴方程为 n=2.5. 又∵n∈N*,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,且 a2=a3,其 最小值为 22-5×2+4=-2.

[方法规律总结] 求数列{an}的最大项和最小项, 一种方法 是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由
? ?an≤an+1, ? ? ?an≤an-1. ? ?an≥an+1, n,求最大项可由? ? ?an≥an-1.

来确定

来确定 n.若

数列是单调的,也可由单调性来确定最大或最小项,若数列的 项是正负交替出现的, 求最大(或小)项, 应在其正(或负)项中找.

10 n 已知数列{an}的通项公式 an=(n+1)(11) (n∈N*),试问数 列{an}有没有最大项?若有,求出最大项;若没有,说明理由.

[解析] 假设数列{an}中存在最大项. 10 n+1 10 n 10 n 9-n ∵an+1-an=(n+2)(11) -(n+1)· (11) =(11) ·11 ,

当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an, 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 所以数列中有最大项,最大项为第 9 项和第 10 项, 1010 且 a9=a10= 119 .

已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+21n,求 该数列中的数值最大的项.
21 2 441 [错解] 错解一:an=-2n +21n=-2(n- 4 ) + 8 , 441 ∴an 的最大值为 8 , 441 ∴该数列中数值最大的项为 8 . 21 2 441 2 错解二:an=-2n +21n=-2(n- 4 ) + 8 ,
2

∵n∈N*,∴n=5 或 6 时,an 最大, ∴该数列中数值最大的项为第 5 项或第 6 项.

[辨析]

错解一注意到了数列是函数可用二次函数求最值

的方法,求数列中的最大(小)项,但忽视了数列中,自变量 n 21 只能是正整数,n 取不到 4 . 错解二注意到了数列是特殊的函数,运用二次函数求最值 的方法,求数列中的最大(小)项也注意到了 n∈N*,但没注意到 21 n=5 和 n=6 时,哪一个距离 n= 4 更近,从而找出最大项,另 外把求最大项的值误为求最大项的的项数.

21 2 441 [正解] an=-2(n- 4 ) + 8 , ∵n∈N*,∴当 n=5 或 6 时 an 最大, ∵a5=55,a6=54, ∴数值最大的项为第 5 项,最大值为 55.

[警示]

考虑问题要周到,解答数列问题要特别注意

n∈N*.

? ?概念 ? ?有穷数列 ? ? ?按项的个数分? ? ? ? ? ?无穷数列 ? ? ? ? 递增数列 ? ? ?分类? ?递减数列 ? 数列? ? ?按项的大小分?摆动数列 ? ? ? ? ? ? ?常数列 ? ? ? ? 通项公式法?解析法? ?表示? ? ? ? ?递推公式法 ?



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