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高考数学综合能力题30讲第03讲 指数函数与对数函数



数学高考综合能力题选讲 3

指数函数与对数函数
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数, 也是我们在高中阶段研究函数问题时主 要的载体.其它初等函数与之相复合,所得到的新函数的定义域、值域、单调性,以及它们 与不等式的综合常常成为考查的核心.

梁丽平

范例选讲 例 1.已知 f ? x ? ? log a x ? x 2 ? 1 ,其中 a ? 1 . (1)试求 f ? x ? 的定义域和值域;求出 f ? x ? 的反函数 f ?1 ?x ? ; (2)求出 f ? x ? 的反函数 f ?1 ?x ? ; (3)判断函数 f ?1 ?x ? 的奇偶性和单调性; (4)若实数 m 满足 f ?1 ?1 ? m? ? f ?1 ?1 ? m 2 ? ? 0 ,求 m 的取值范围. 讲解 (1) 由于 x 2 ? 1 ? x ,所以,函数 f ? x ? 的定义域为 R. 为求 f ? x ? 的值域,观察函数 u ?x ? ? x ? x 2 ? 1 的解析式.注意到 u ? x ? 其实是 一个单调函数( y ? x )和一个非单调函数( y ? x 2 ? 1 )之和,因此, u ? x ? 的 单调性并不能通过简单判断很快得到. 解决这个问题,我们可以有下面的两种选择: 一、 从单调性的定义出发. 即任取 x1 , x 2 ? R ,且 x1 ? x2 ,比较 u?x1 ?、u?x2 ? 的 大小关系,这种方法留给同学自己完成. 二、通过刚才的观察,很快可以看出:u ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增,此时,u ? x ? 的取值范围为 ?1,??? ; 当 x ? ?? ?,0? 时, ? x ? ?0,??? ,因此,若令 t ? ?x ,则

?

?

u ?x ? ? ? t ? t 2 ? 1 ?

1 t ? t 2 ?1

由 t ? ?0,??? ,则 t ? t 2 ? 1 ? ?1,??? 可知:此时 u ? x ? 的取值范围为 ?0,1? . 又 x ? 0 时, u ( x) ? 1 .所以,函数 u ?x ? ? x ? x 2 ? 1 的值域为 ?0,??? . 所以,函数 f ? x ? 的值域为 R. (2)设 y ? f ?x ? ,则 a y = x ? x 2 ? 1 ,利用 x ? x 2 ? 1 与 x 2 ? 1 ? x 互为倒 数,可得 a ? y = x 2 ? 1 ? x ,所以, x ? 所以, f ?1 ?x ? =
1 y a ? a?y . 2

?

?

1 x a ? a ? x , x ?R. 2 1 (3)任取 x ?R,则 f ?1 ?? x ? = a ? x ? a x = ? f 2 函数.

?

?

?

?

?1

?x ? ,所以,函数 f ?1 ?x ? 为奇

任取 x1 , x 2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则由 a ? 1 及指数函数的性质可知:
a x1 ? a x2 , a ? x1 ? a ? x2 ,

所以, a x1 ? a ? x1 ? a x2 ? a ? x2 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ?. 所以, f ?1 ?x ? 在定义域内单调递增. (4)由 f ?1 ?1 ? m? ? f ?1 ?1 ? m 2 ? ? 0 得: f ?1 ?1 ? m? ? ? f ?1 ?1 ? m 2 ? ,即:
f
?1

?1 ? m? ?

f

?1

?? 1 ? m ?
2

结 合 f ?1 ?x ? 的 单 调 性 可 知 : 上 式 等 价 于 : 1 ? m ? ?1 ? m 2 , 解 之 得 :

m ? 1或m ? ?2 .
点评 ①定义域是研究函数的基础.求值域、判断奇偶性、单调性、研究函 数图象等都应先从定义域出发.②从定义域出发,利用函数的单调性,是求函数 值域常用的方法. 例 2. 已知函数 f ?x ? ? log a
1 ? m?x ? 2? x?3

?a ? 0, a ? 1? ,对定义域内的任意 x 都

有 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 成立. (1)求实数 m 的值; (2)若当 x ? ?b, a ? 时, f ? x ? 的取值范围恰为 ?1,??? ,求实数 a, b 的值.

讲解: (1)由 f ?x ? ? log a
log a

1 ? m?x ? 2? 及 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 可得: x?3

1 ? m??2 ? x ? ? 2? 1 ? m??2 ? x ? ? 2? ? log a ?0 ?2 ? x ? ? 3 ?2 ? x ? ? 3

解之得: m ? ?1 . 当 m ? 1 时,函数 f ? x ? 无意义,所以,只有 m ? ?1 . (2) m ? ?1 时, f ?x ? ? log a
x ?1 ,其定义域为 ?? ?,1? ? ?3,??? . x?3

所以, ?b, a ? ? ?? ?,1? 或 ?b, a ? ? ?3,??? . ①若 ?b, a ? ? ?3,??? ,则 3 ? b ? a . 为研究 x ? ?b, a ? 时 f ? x ? 的值域,可考虑 f ?x ? ? log a 性.下证 f ? x ? 在 ?3,??? 上单调递减. 任取 x1 , x 2 ? ?3,??? ,且 x1 ? x2 ,则
x1 ? 1 x 2 ? 1 3? x 2 ? x1 ? ? ? ?0 x1 ? 3 x 2 ? 3 ?x1 ? 3??x 2 ? 3?

x ?1 在 ?3,??? 上的单调 x?3

又 a ? 1 ,所以, log a

x1 ? 1 x ?1 ? log a 2 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? . x1 ? 3 x2 ? 3

所以,当 ?b, a ? ? ?3,??? , f ? x ? 在 ?3,??? 上单调递减 由题: x ? ?b, a ? 时, f ? x ? 的取值范围恰为 ?1,??? ,所以,必有 b ? 3且f ?a ? ? 1, 解之得: a ? 2 ? 3 (因为 a ? 3 ,所以舍去 a ? 2 ? 3 ) ②若 ?b, a ? ? ?? ?,1? ,则 b ? a ? 1 .又由于 a ? 0, a ? 1 ,所以, 0 ? a ? 1 . 此时,同上可证 f ? x ? 在 ?? ?,1? 上单调递增(证明过程略) . 所以, f ? x ? 在 ?b, a ? 上的取值范围应为 ? f ?b ?, f ?a ?? , f ?a ? 为常数, f ? x ? 的 而 故 取值范围不可能恰为 ?1,??? . 所以,在这种情况下, a, b 无解. 综上,符合题意的实数 a, b 的值为 a ? 2 ? 3 , b ? 3

点评

本题(2)中,充分的运用已知条件,可以减少分类讨论的次数.

高考真题 1. (1989 年全国高考)已知 a>0 且 a≠1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围.
x x x 2. (1990 年全国高考)设 f(x)=lg 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? n a ,其中 a 是实数,n

n

是任意给定的自然数,且 n≥2. ①如果 f(x)当 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围; ②如果 a∈(0,1),证明 2f(x)<f(2x)当 x≠0 时成立. 2x ?1 3. (1991 年三南高考)已知函数 f(x)= x 2 ?1 ⑴证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数; ⑵证明:对不小于 3 的自然数 n 都有 f(n)>
n n ?1

. [答案与提示:1. 当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解;2.
? ? 1 范围为 ?a a ? ? ?n ? 1?? , (2)可用数学归纳法证明;3. 略.] 2 ? ?

a的取值



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