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圆锥曲线章末测试题人教A



(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知抛物线的方程为 y=2ax2 ,且过点(1,4),则焦点坐标为( A. ?0, ? 1? 16? 1 B. ? ,0? ?16 ? D.(0,1) 1 ∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,∴a=2,∴抛物线

方程为 x2 = y,焦点坐标为 4 )

C.(1,0) 解析:

?0, 1 ?. ? 16?
答案: A
2

y 2.双曲线方程为 3x2 - =1,则它的右焦点坐标为( 2 A. ? 2,0? ?2 ? C. ? 21,0? ? 3 ? 解析: B. ? 5,0? ?2 ? D.( 3,0)

)

x2 y2 将双曲线方程化为标准方程为: - =1, 1 2 3

1 7 21 2 2 2 2 2 ? 21 ?. ∴a = ,b =2,∴c =a +b = ,∴c= ,故右焦点坐标为 ? 3 ,0? 3 3 3 答案: C

3.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率 为( ) A. 6 C. 6 2 B. 5 D. 5 2

解析:

x2 y2 b 设双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为 y=± x, a b a

c2 -a2 1 b 1 5 5 因为点(4, -2)在渐近线上, 所以 = , 根据 c2 =a2 +b2 , 可得 2 = , 解得 e2 = , e= . a 2 a 4 4 2 答案: D

4.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为 ( )
1

x2 y2 A. + =1 9 16 C. x y x y + =1 或 + =1 25 16 16 25
2 2 2 2

B.

x2 y2 + =1 25 16 x y + =1 16 25
2 2 2 2

D.
2

解析:

2c=6,∴c=3,∴2a+2b=18,a =b +c ,∴?

? ?a=5 ? ?b=4

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 25 16 16 25 答案: C
2 2

x y 5.已知双曲线 2 - =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( a 5 A. C. 3 14 14 3 2 根据离心率的定义求解.
2 2 2 2 2

)

B.

3 2 4 4 3

D.

解析:

由双曲线中 a,b,c 的关系 c =a +b ,得 3 =a +5, c 3 2 ∴a =4.∴e= = . a 2 答案: C )

6.若 P(x0 ,y0)是抛物线 y2 =-32x 上一点,点 F 为抛物线的焦点,则|PF|=( A.x0 +8 C.8-x0 解析: B.x0 -8 D.x0 +16 由题意可知抛物线开口向左,且 p=

32 =16,因此抛物线的准线方程为 x=8, 2

因此|PF|=8-x0. 答案: C
2 2 2

7.设 k>1,则关于 x、y 的方程(1-k)x +y =k -1 表示的曲线是( A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线 解析:

)

y2 x2 原方程可化为 2 - =1,∵k>1,∴k 2 -1>0,k+1>2,则为实轴在 y 轴 k -1 k+1

上的双曲线,故选 C. 答案: C

8.直线 y=kx-2 与抛物线 y2 =8x 交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点的纵坐标为 2,
2

则 k 的值是( A.-1 C.-1 或 2 解析:
2

) B.2 D.以上都不是

设 A(x1 ,y1),B(x2 ,y2 ),
2

则 y 1=8x1 ,y2 =8x2 , ∴(y1 +y2 )(y1 -y2)=8(x1 -x2), 由已知 y1 +y2 =4, ∴ y1 -y2 8 = =2.故选 B. x1 -x2 y1 +y2 B

答案:

x2 y2 9.已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物 a b 线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A. C. x2 y2 - =1 36 108 x2 y2 - =1 108 36
2 2 2

) x2 y2 B. - =1 9 27 D. x2 y2 - =1 27 9

解析:

x y 因为双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线 y2 =24x 的准线上,所以 a b

b F(-6,0)是双曲线的左焦点, a2 +b2 =36, 即 又双曲线的一条渐近线方程是 y= 3x, 所以 = a x2 y2 3,解得 a2 =9,b2 =27,所以双曲线的方程为 - =1,故选 B. 9 27 答案: B

10.若动圆圆心在抛物线 y2 =8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点 ( ) A.(4,0) C.(0,2)
2

B.(2,0) D.(0,-2)

解析: 抛物线 y =8x 上的点到准线 x+2=0 的距离与到焦点(2,0)的距离相等, 故动圆 必过焦点(2,0). 答案: B

11. 设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F 1 , 2 .若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF 1 |∶|F 1 F2 |∶|PF 2| F =4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 ) 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2
3

解析:

设圆锥曲线的离心率为 e,由|PF 1 |∶|F 1F 2 |∶|PF 2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线 |F 1 F2 | 3 1 = = ;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲 |PF 1|+|PF 2 | 4+2 2

为椭圆,由椭圆的定义,则有 e= 线的定义,则有 e= 答案: A
2 2

|F 1 F2 | 3 3 1 3 = = .综上,所求的离心率为 或 .故选 A. |PF 1|-|PF 2 | 4-2 2 2 2

x y 3 2 2 12. 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x -y =1 的渐近线与椭圆 C a b 2 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 8 2 C. x2 y2 + =1 16 4 B. x2 y2 + =1 12 6 x2 y2 + =1 20 5 )

D.

解析:

利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.

a2 -b2 3 c 3 ∵椭圆的离心率为 ,∴ = = ,∴a=2b. 2 a a 2 ∴椭圆方程为 x +4y =4b . ∵双曲线 x2 -y2 =1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2 +4y2 =4b2 在第一象限的交点为?2 5b,2 5b ?, ? 5 5 ? ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 x2 y2 2 2 ∴a =4b =20.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 答案: D 2 5 2 5 b× b=4,∴b2 =5, 5 5
2 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中的横线上) x2 y2 13.已知椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, 是椭圆上一点,且满足|PF 2| P 25 16 =|F 1 F2 |,则△PF 1F 2 的面积等于_______________________________________________. 解析: 由 x2 y2 + =1 知,a=5,b=4,∴c=3,即 F 1 (-3,0),F 2(3,0),∴|PF 2|=|F1 F 2| 25 16

1 1 =6.又由椭圆的定义,知|PF 1 |+|PF2 |=10,∴|PF 1 |=10-6=4,于是 S△PF 1F 2 = · 1 |· |PF h= 2 2 ×4× 4 62 -? ?2 =8 2. ?2? 8 2

答案:

14.已知过抛物线 y2 =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点,|AF|=2,则|BF| =________.
4

解析:

设点 A,B 的横坐标分别是 x1 ,x2 ,

则依题意有焦点 F(1,0),|AF|=x1 +1=2,x1 =1, 直线 AF 的方程是 x=1,此时弦 AB 为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2. 答案: 2
2

15.点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,-1)的距离与 P 到直线 x=-1 的距离和的最小值是________. 解析: 可知抛物线的焦点为 F(1,0),∴直线 x=-1 是抛物线的准线.设点 P 到准线

的距离为 d,由抛物线的定义知 d=|PF|,∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|,当且仅当 A,F,P 三点共线时,取等号.故所求的最小值为|AF|= 2. 答案: |AF|= 2

x2 y2 16.已知双曲线 C: - =1,给出以下 4 个命题,真命题的序号是________. 4 9 3 ①直线 y= x+1 与双曲线有两个交点; 2 y2 x2 ②双曲线 C 与 - =1 有相同的渐近线; 9 4 ③双曲线 C 的焦点到一条渐近线的距离为 3; 解析: 3 3 ①错误,因为直线 y= x+1 与渐近线 y= x 平行,与双曲线只有一个交点; 2 2

3 3 ②正确,渐近线方程为 y=± x;③正确,右焦点为( 13,0)到渐近线 y= x 的距离为 3. 2 2 答案: ②③

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) x2 y2 17.(本小题满分 12 分)求与椭圆 + =1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程, 144 169 并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 解析: 椭圆 x2 y2 + =1 的焦点是(0,-5)、(0,5),焦点在 y 轴上,于是设双曲线方 144 169

y2 x2 程是 2 - 2 =1(a>0,b>0), a b 又双曲线过点(0,2),∴c=5,a=2, ∴b2 =c2 -a2 =25-4=21, y2 x2 c 5 ∴双曲线的标准方程是 - =1,实轴长为 4,焦距为 10,离心率 e= = , 4 21 a 2 2 21 渐近线方程是 y=± x. 21
5

18.(本小题满分 12 分)正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2 =2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

解析: 如图,设正三角形 OAB 的顶点 A、 在抛物线上,且坐标分别为(x1,y1 ) 、(x2 , B y2 ), 则 y 1=2px1 ,y2 =2px2 , 又|OA|=|OB|, ∴x2 +y2 =x 2 +y2 , 1 1 2 2 即(x1 +x2 )(x1 -x2)=2px2 -2px1 , ∴(x1 -x2 )(x1 +x2 +2p)=0. ∵x1 >0,x2 >0,2p>0,∴x1 -x2 =0,即 x1 =x2 . 由此可知|y1 |=|y2 |,即线段 AB 关于 x 轴对称, ∴x 轴垂直于 AB,且∠AOx=30° . y 3 ∴ 1 =tan 30° = . x1 3 ∵x1 = y2 1 ,∴y1 =2 3p,|AB|=2y1 =4 3p. 2p
2 2

∴这个正三角形的边长为 4 3p. 19.(本小题满分 12 分)已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1 ,F 2 为左、右焦点, P 为双曲线上一点,且∠F1 PF 2 =60° ,S△PF 1F 2 =12 3,求双曲线的标准方程.

解析:

x2 y2 如图所示,设双曲线方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b

c ∵e= =2,∴c=2a. a 由双曲线的定义,得||PF1 |-|PF 2 ||=2a=c, 在△PF 1F 2 中,由余弦定理,得: |F 1 F2 |2 =|PF1 |2 +|PF2 |2 -2|PF1 ||PF 2 |cos 60° =(|PF1 |-|PF 2|)2 +2|PF1 ||PF 2 |(1-cos 60° ),
6

即 4c2 =c2 +|PF 1 ||PF2 |. 1 又 S△PF1 F 2 =12 3,∴ |PF 1 ||PF 2|sin 60° =12 3, 2 即|PF 1||PF 2 |=48.由①②,得 c2 =16,c=4, 则 a=2,b =c -a =12, x y ∴所求的双曲线方程为 - =1. 4 12 20.(本小题满分 12 分)已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上,又知此抛物线上一点 A(4,m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线 y=kx-2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2, 求 k 的值. 解析: p 2 (1)由题意设抛物线方程为 y =2px,p≠0 其准线方程为 x=- , 2
2 2 2 2 2

∵A(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离, p ∴4+ =6,∴p=4, 2 ∴此抛物线的方程为 y =8x. (2)由?
? 2 ?y =8x ? ?y=kx-2
2

消去 y 得 k x -(4k+8)x+4=0,

2 2

∵直线 y=kx-2 与抛物线相交于不同两点 A、B, 则有?
?k≠0 ?Δ>0



解得 k>-1 且 k≠0,解得 k=2 或 k=-1(舍去) ∴所求 k 的值为 2. x2 y2 2 21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1), 离心率为 , a b 2 过点 B(0,-2)及左焦点 F 1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F 2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF 2 的面积. 解析: c 2 (1)由题意知 b=1, = ,且 c2 =a2 +b2 ,解得 a= 2,c=1. a 2

x2 易得椭圆方程为 +y2 =1. 2 (2)∵F 1(-1,0), ∴直线 BF 1 的方程为 y=-2x-2,
7

?y=-2x-2 ? 由? x2 2 得 9x2 +16x+6=0. ? ? 2 +y =1
∵Δ=162 -4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1 ,y1 ),D(x2 ,y2),

?x +x =-16 9 则? 2 x ?x · =3
1 2 1 2

∴|CD|= 1+?-2?2|x1 -x2 | = 5· ?x1 +x2 ?2 -4x1 x2 16 2 2 10 = 5· ?- ? -4× = 2, ? 9? 3 9 4 5 又点 F 2 到直线 BF 1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF 2 = |CD|· d= 10. 2 9 x2 y2 22.(本小题满分 13 分)过点 C(0,1)的椭圆 2 + 2 =1(a>b>0) a b 的离心率为 3 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0),B(-a,0),过点 C 的 2

直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; → → (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP · 为定值. OQ 解析: c 3 x (1)由已知得 b=1, = ,解得 a=2,c= 3,所以椭圆方程为 +y2 =1. a 2 4
2

椭圆的右焦点为( 3,0), 此时直线 l 的方程为 y=- 3 x+1, 3

代入椭圆方程化简得 7x2 -8 3x=0, 8 3 解得 x1 =0,x2 = , 7 1 代入直线 l 的方程得 y1 =1,y2 =- , 7

8

所以 D 点的坐标为 故|CD|=

?8 3 1? ? 7 ,-7?.

?8 3 ?2 +? -1-1?2 =16. ? 7 -0? ? 7 ? 7

(2)证明:当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠ ), 2 代入椭圆方程化简得(4k 2 +1)x2 +8kx=0, -8k 解得 x1 =0,x2 = 2 , 4k +1 1-4k 2 代入直线 l 的方程得 y1 =1,y2 = 2 , 4k +1 -8k 1-4k 2 所以 D 点坐标为? 2 , 2 ?. ?4k +1 4k +1? x 又直线 AC 的方程为 +y=1, 2 1+2k 直线 BD 的方程为 y= (x+2), 2-4k 联立解得?
?x=-4k ? ? ? y=2k+1

,因此 Q 点坐标为(-4k,2k+1).

1 又 P 点坐标为?- ,0?, ? k ? 1 → → 所以OP · =?- ,0 ?· OQ ? k ? (-4k,2k+1)=4. → → 故OP · 为定值. OQ

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