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高中数学:第二章《等差数列和等比数列的综合应用》测试(新人教A版必修5)



第 4 课时

等差数列和等比数列的综合应用

基础过关 1.等差数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有 . * ⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N ,k 为常数)是 数列. ⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 数列. 2.在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一

项及它前面的项皆取正(负) 值或 0,而它后面的各项皆取负(正)值.
an ? 0 ⑴ a1> 0,d <0 时,解不等式组 ? 可解得 Sn 达到最 ? ? an ?1 ? 0

值时 n 的值.

⑵ a1<0,d>0 时,解不等式组 ?

? ? ? ?

可解得 Sn 达到最小值时 n 的值.

3.等比数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有 ⑵ {an}是等比数列,则{a 2 n }、{
1 }是 an



数列. 数列.

⑶ 若 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 典型例题

例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c,使它们同时满足以下三个条件: ① a+b+c=6 ② a、b、c 成等差数列. ③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列. 解:设存在这样的三位数 a,b,c. 由 a+b+c=6,2b=a+c 得:b=2,a+c=4 ① 若 b 为等比中项,则 ac=4,∴ a=c=2 与题设 a≠c 相矛盾. ② 若 a 为等比中项,则 a2=2c,则 a=c=2(舍去)或 a=-4,c=8. ③ 若 c 为等比中项,则 c2=2a,解得 c=a=2(舍去)或 c=-4,a=8. ∴存在着满足条件的三个数:-4,2,8 或 8,2,-4.
1 1 1 变式训练 1.若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, , , 成等差数列,则 a、c、e 成 c d e ( ) A.等差数列 B.等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.以上答案都不是

答案:B。解析:由 2b ? a ? c,? b ? ∴

a?c 2 1 1 2c 2 2 ,由 c ? bd ,? d ? ,由 ? ? , 2 d c e a?c

a?c c?e ? ,? c 2 ? ae ,即 a , c , e 成等比数列。 2 c ce
1 }满足 a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8 依次成等比数列, an

例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{ 求数列{an}的通项公式 an.

解:设{ ∴( ∴(

1 1 1 1 }的公差为 d(d>0),由 a2,a4,a8 成等比数列可知 , , 也成等比数列, an a2 a4 a8

1 2 1 1 )= · a4 a 2 a8 1 1 1 +3d)2=( +d)( +7d) a1 a1 a1 d 1 ,∴ =d a1 a1

化简得 d2=

又 a2a4+a4a6+a6a2=1 化简为
1 1 1 1 + + = a2 a4 a6 a2 a4 a6

∴3· ∴

1 1 1 = · a4 a2 a6 a4

1 1 1 1 · =3,即( +d)( +5d)=3 a2 a6 a1 a1
1 2 1 1 = 2 a1

2d· 6d=3 ∴d= , ∴

n 1 1 = +(n-1)d= 2 an a1

∴an=

2 n

1 1 1 b?c a?c a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列。 a b c a b c 1 1 1 2 1 1 解析:由 , , 成等差数列,则 ? ? ,? 2ac ? b(a ? c), a b c b a c
变式训练 2.已知 ∴ 即
b ? c a ? b (b ? c) ? c ? a(a ? b) bc ? c2 ? a2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c2 (a ? c)2 2(a ? c) ? ? ? ? ? ? a c ac ac ac ac b
b?c a ?c a ?b 成等差数列。 , , a b c

例 3. 已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.求证: △ABC 是等边三角形. 解:由 2B=A+C,且 A+B+C=180°,B=60°,由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac cosB=
1 a2 ? c2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac = = 2 2ac 2ac

得(a-c)2=0,∴ a=c ∴△ABC 为等边三角形. 变式训练 3.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a = ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4

?a ? c ? 2b, ? 2 ? 答案: D.解析:依题意有 ?bc ? a , ?a ? 3b ? c ? 10. ?

? a ? ?4, ? ?b ? 2, ?c ? 8. ?
1 3

例 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3……

求:⑴ a2、a3、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2+a4+a6+…+a2n 的值. 解析:(1)由 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,…得 a2= S1= a1= ,a3= S2= (a1+a2) = ,a4= S3= (a1+a2+a3)=
1 3 1 3 4 9 1 3 1 3
16 27

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

由 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2),得 an+1= an(n≥2),又 a2= ,∴an= · ( )n 2(n≥2) ∴ {an}通项公式为 an= ? ?1 4
? 1 n ?1 ?( ) ? ?3 3
n?2

4 3

1 3

1 3

4 3



n?2
1 3 4 3

(2) 由(1)可知 a2、a4、…a2n 是首项为 ,公比为( )2,项数为 n 的等比数列.
4 1 ? ( ) 2n 1 3 ∴ a2+a4+a6+…+a2n= × 3 1 ? ( 4 )2 3

= [( )2n-1] 变式训练 4.设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? 求首项 a1 与通项 an 。 解析: (I) a1 ? S1 ?

3 7

4 3

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1,2,3...... 3 3 3

所以数列 所以:

4 1 2 a1 ? ? 22 ? ,解得: a1 ? 2 3 3 3 4 4 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an ? ? 2n?2 ? 2n?1 ? ? a ? 2n?1 ? 4 ? a ? 2n ? n ?1 n 3 3 3 n ?an ? 2 ?
an ? 2 ? ? a1 ? 21 ? ? 4n?1
n

是公比为 4 的等比数列

n n 得: an ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

归纳小结 1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或 等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若 m+n=p+r,则 am+an=ap+ar(或 am· an=ap· ar) 进行解答. 2.若 a、b、c 成等差(或等比)数列,则有 2b=a+c(或 b2=ac) . 3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等 于 180°这一性质. 4.在涉及 an 与 Sn 相关式子中用 Sn-1 和 Sn 的关系表示 an 时应该注意“n≥2”这个特点.



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